Divisibilità

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Paolo3
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Divisibilità

Messaggio da Paolo3 » lun gen 18, 2016 10:28 am

Questo è in argomento tipico del primo anno della scuola secondaria inferiore: la divisibilità di un numero per numeri primi, serve soprattutto per calcolare MCD e MCM.

Un numero è divisibile per 2 quando l'ultima cfra è pari; Per tre quando la somma di tutte le cifre è un numero divisibile per 3 .La somma si può iterare finchè il numero diventi di una sola cifra, per esempio 1233, la somma dà 12, 2+1= 3. Il numero è divisibile per 5 se l'ultima cifra è 5 oppure 0. Un numero è divisibile per 9 quando la somma di tutte le cifre è un multiplo di 9, anche qui si può iterare la somma; Se un numero multiplo di 11 dà come risultato un numero di tre cifre allora è divisibile se la somma delle due cifre esterne è uguale alla cifra interna es. 143, 3+1=4 quindi 143 è divisibile per 11. L'MCD è il massimo comun divisore e l'mcm è il minimo comune multiplo. Ci sono criteri di divisibilità anche per 13, 17, 19 etc. ma sono parecchio più complicati, meglio procedere per tentativi. :roll:

P.S.Questi criteri sono importanti quando non si hanno altri mezzi per scomporre un numero in fattori primi, il calcolatore o le tavole.

peppe
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Re: Divisibilità

Messaggio da peppe » ven gen 22, 2016 5:26 pm

Ciao Paolo3,
dopo aver fatto una doverosa passeggiata nei...paraggi,
puoi approfondire l'argomento consultando l'archivio di Base 5:

http://utenti.quipo.it/base5/ricevuto/ricgen02.htm

Oppure consultare il Forum dove trovi un mio vecchio intevento datato mar gen 15, 2013 3:38 pm :

http://www.base5forum.it/92-20-11-t7459.html#p20339

in cui segnalo alcuni siti,tra i quali uno relativo ad un Criterio generale di divisibilità per tutti i numeri:

http://www.matarti.it/criterio.shtml

E sempre dal Forum un mio intervento ancora più vecchiio: ven dic 10, 2010 1:09 pm :

http://www.base5forum.it/off-topic-t1348.html#p12810
in cui segnalo questo sito:
http://www.webalice.it/mauro.cerasoli/D ... /Did04.htm

L'argomento divisibilità, mi ha sempre interessato e anche successivamente alle discussioni
nel Forum ho continuato la ricerca sul web (ho il difetto di essere caparbio) è ho avuto il piacere
di :
1) Scovare un corposo file in PDf di V.Vitale:
http://www.integernumbers.org/nesp1.pdf

che approfondisce l'argomento utilizzando le congruenze e non solo quelle.

2) Visualizzare un video in cui l'Autore presenta un suo libro dedicato all'argomento:

https://www.youtube.com/watch?v=eqd4h5ew3DE

L'ho subito ritirato (perché non è facile reperirlo in libreria) e non mi sono
pentito di averlo fatto.

Appagato, mi ero disinteressato all'argomento, ma questo tuo intervento ha
risvegliato l'interesse e così mi sono rimesso a "navigare".
La "pesca" non è stata infruttuosa,e ti ringrazio per questo, perché proprio oggi ho beccato
un "pesce" pregiato.
Mi è piaciuto così tanto che non ho resistito alla tentazione di intervenire per segnalarlo:

http://openarchive.enea.it/bitstream/ha ... sequence=1

La divisibilità viene spiegata con il metodo dell'affascinante e misteriosa matematica Vedica.

E se il 7 ti piace leggi qui:
http://areeweb.polito.it/didattica/poly ... umero7.htm

Saluti a tutti.peppe
---
P.S.
Mi era sfuggito:
189. Super-criterio di divisibilità per 7, 11, 13 di Enrico Delfini
http://utenti.quipo.it/base5/ricevuto/ricfeb02.htm
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

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Re: Divisibilità

Messaggio da Admin » mar gen 26, 2016 3:03 pm

Ciao peppe,
grazie per l'intervento.

Proprio di recente mi sono re-interessato all'argomento, con questo articolo sul mio blog.

Colgo l'occasione per segnalare il ricco libro sulla matematica vedica, in inglese:
https://en.wikipedia.org/wiki/Vedic_Mat ... %28book%29
(Non so se si riesce a trovare in commercio.
Mia sorella l'ha comprato in India, su una bancarella di libri usati, per 1 €!)

P.S.: grazie per il link al rapporto tecnico ENEA, che mi mancava...

Saluti
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

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Re: Divisibilità

Messaggio da peppe » mer gen 27, 2016 5:59 pm

Ciao Pietro.
Sono contento di aver ridestato il tuo interesse per l'argomento.
Ti ringrazio per le ulteriori segnalazioni, che mi hanno dato l'opportunita
di conoscere il tuo Blog.Ho letto con interesse questo post:
"Personalita' ricreative - Walter William Rouse Ball":
http://www.pvitelli.net/category/matematica/

Il sito dell'ENEA, è stato un caso di "serendipità"(neologismo che non conoscevo...) multipla.
Infatti,oltre al file pdf già segnalato, ho scovato anche questo:
http://openarchive.enea.it/bitstream/ha ... sequence=1
che , unitamente alla sezione opuscoli relativi alle nuove tecnologie energetiche, ritengo interessante e
che giustica la mia ritrosia verso certe diavolerie utilizzate in cucina.

La pentola a pressione l'ho sempre guardata con diffidenza e a casa mia non si usa. Non si usa e basta!

Neppure la "moka" mi è simpatica. Ma siccome al caffè casalingo mattutino ancora non riesco a
rinunciare , quindi sia pure con diffidenza, e standomene a debita distanza dal fornello, la utilizzo.

La temo perché ricordo ancoran il buco che una caffettiera con la valvola difettosa fece nel tetto
della casa di un mio zio moltissimi anni fa,dopo essere schizzata in aria come un razzo!
+++
A propsito di Vedica:

Rimpiango di non aver studiato quel barbarismo della lingua inglese!
Ci sono siti e pubblicazioni interessanti sulla matematica vedica:
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0611/0611347.pdf
http://www.vedicmaths.org/
http://www.vedicmaths.org/Shop/books

Per fortuna c'è chi ha pensato anche agli italiani che non masticano l'inglese:
http://matematicavedica.com/

e :
http://calcoloveloce.altervista.org/jml ... ella-torta

In quest'ultimo sito di Pietro Nolasco si trova materiale sul calcolo veloce.
Sono pillole di matematica vedica con esempi numerosi, chiari e dettagliati per
apprendere e fare proprie le tecniche adottate. Gli opuscoli sono
gratuiti e, soprattutto, in italiano.
Lo scopo è sensibilizzare insegnanti e studenti all'uso di una matematica
complementare a quella classica che sia intellettualmente stimolante e, soprattutto, più divertente.

Beh, che dire? Sono soddisfattissimo di questi ulteriori approfondimenti.
Saluti.peppe
+++
P.S.
Ho trovato in chiusura:
http://www.vedicmaths.org/resources/books/free#book
Libri in PDF gratis tradotti in molte lingue tranne che in italiano!
Sono costretto a scaricare le versioni in francese, che a "orecchio" come i musicanti da strapazzo, riesco a decifrare.
Ultima modifica di peppe il ven gen 29, 2016 5:25 pm, modificato 1 volta in totale.
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fabtor
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Re: Divisibilità

Messaggio da fabtor » mer gen 27, 2016 6:38 pm

In realtà per verificare la divisibilità di un numero per un primo di almeno due cifre basta separare ad entrambi l'unità dal resto del numero, fare i prodotti a croce e verificare se la differenza dei risultati in valore assoluto è un multiplo del primo (ovviamente 0 e primo stesso compresi) e il sistema è anch'esso ricorsivo.

Ricordo di aver fatto anche una dimostrazione della cosa una volta (ma non l'ho mai ricontrollata ed è finita da qualche parte per cui non ci giurerei sopra sulla sua rigorosità).

Es 34 è multiplo di 17 (ovviamente sì):

Separo il 4 dal 3 e il 7 dal 1
Moltiplico 4x1 = 4 e 7x3=21
|21 - 4| = 17 multiplo di 17 -> 17|34 (Fosse stato 73 il risultato della sottrazione in valore assoluto avrebbe fatto 46 e volendo reiterare il risultato della seconda sottrazione in valore assoluto avrebbe fatto 22 quindi 17 non | 73).

36 è multiplo di 19 (ovviamente no):
Separo il 6 dal 3 e il 9 dal 1
Moltiplico 6x1 = 6 e 9x3=27
|27 - 6| = 21 non multiplo di 19 -> 19 non | 36 ( fosse stato 38 il risultato della sottrazione in valore assoluto avrebbe fatto 19 quindi 19|38). ;)
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: |e^{-i\pi}|...

Pongo y = x^{2} quindi y=\frac {x^{2}}{pongo}
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

peppe
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Re: Divisibilità

Messaggio da peppe » mer gen 27, 2016 7:23 pm

Ciao fabtor,
curioso e interessante il metodo per
i numeri composti da due cifre.
Me ne ricorda un altro sulla divisibilità per 7.

"Se un qualunque numero di due cifre è divisibile per 7, il numero inverso a cui viene
sommato la cifra delle decine è ugualmente divisibile per 7
".
Esempio:
21 è divisibile per 7.
Allora il suo "inverso" (nel senso di ribaltare le cifre), ossia 12, più la cifra della decina (2) del 21 ossia 14
è pure esso divisibile per 7.

35:--> 53+3 = 56 divisibile per 7.
Dici:
" Ricordo di aver fatto anche una dimostrazione della cosa una volta "

Perché non la riproponi ? E dato che ci sei mi fai una cortesia se mi spieghi, perché funzionano gli ultimi due esempi sulla divisibiltà per 7 .
Sapere una procedura è un conto, capire perché funziona è più interessante.
E' un po' come la faccenda del M.C.D. e m.c.m. che mi insegnavano alle medie.
Non c'è stato mai nessun prof. (anzi "proffa" perché mi sono capitate solo donne) che abbiano mai fatto uno straccetto d' esempio
sul modo di utilizzarli per la risoluzione di problemi d'ordine pratico, diversi dagli utilizzi canonici: scomposizioni, espressioni aritmetiche ecc.

Avrebbero sicuramente tacitato tutti coloro che a più riprese si lagnavano ripetendo: " ma a che cosa mi servono ? ".
Sono certo che se qualcuno di quei lagnosi, nel frattempo ha deciso di fare il fioraio non si rende conto di applicare il M.C.D.
quando fa la composizione in mazzetti con i fiori di specie diverse che ha comperato dal fiorista.

Cosi come , se fa il turnista in fabbrica e fa parte di una combriccola di turnisti , il giorno in cui la piccola brigata decidesse di andare a mangiare
una pizza, non si scervellerebbe per stabile in quale giorno sono tutti liberi dal lavoro.
Basterebbe applicare quel m.c.m. che alle medie bistrattava.
Sembrano stupidate ma per me non lo sono. Spero che nel frattempo le cose siano cambiate.(*)

A giudicare da questi filmati direi proprio di si (anche se non ho visto nessun esempio concreto di cui sopra):

https://www.youtube.com/watch?v=qAZkD9Y8R68
https://www.youtube.com/watch?v=76rhGVjl7nE
Ciao.
---
(*) Al riguardo preciso che a giudicare dal livello dei docenti che frequentano questo forum non avevo nessun dubbio.
Spero che in generale sia cosi anche per le centinaia di altri insegnati di matematica.
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Pasquale
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Re: Divisibilità

Messaggio da Pasquale » ven gen 29, 2016 10:02 pm

L'internauta Peppe non perdona, come da sempre. Ciao Peppe.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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Re: Divisibilità

Messaggio da peppe » sab gen 30, 2016 1:09 pm

Ciao Pasquale.
Internet è una immensa risorsa.
Peccato che ai tempi in cui frequentavo la scuola di tutte queste belle
opportunità non esisteva neppure l'ombra.

L'invito al chiarimento proposto a fabtor, ovviamente è esteso a tutti.
Resto in attesa. Saluti. peppe.
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Re: Divisibilità

Messaggio da peppe » mar mar 08, 2016 12:55 am

Pietro scrive:
Colgo l'occasione per segnalare il ricco libro sulla matematica vedica, in inglese:
https://en.wikipedia.org/wiki/Vedic_Mat ... %28book%29
(Non so se si riesce a trovare in commercio.
Mia sorella l'ha comprato in India, su una bancarella di libri usati, per 1 €!)
Rileggendo con più attenzione,mi sono accorto che dalla nota (2)
in fondo pagina di wikipedia , è possibile scaricare il libro in formato pdf
cliccando sull'apposita icona (220 pagine). Ciao
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Re: Divisibilità

Messaggio da fabtor » ven gen 19, 2018 3:55 pm

Dopo lunga latitanza sono appena tornato da queste parti.
Beppe: La dimostrazione di allora era molto lunga perché non utilizzava l'aritmetica modulare.

Da allora l'ho rifatta (e ripersa) con l'aritmetica modulare ed è molto più breve e più generale.

Per quanto riguarda il criterio di divisibilità x 7, non hai torto, anzi in realtà ogni criterio essendo dimostrabile con l'aritmetica modulare può essere rappresentato con dei grafi su cui camminare per verificare la divisibilità di un numero dato.
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Re: Divisibilità

Messaggio da infinito » lun mar 12, 2018 12:02 am

Non so se vi interessa, ma tutte le regolette “semplici” riportate da Paolo3 all'inizio, valgono in qualunque base n (maggiore di 1).
Paolo3 ha scritto:Un numero è divisibile per 2 quando l'ultima cfra è pari; … (omissis) Il numero è divisibile per 5 se l'ultima cifra è 5 oppure 0.
e aggiungo “Un numero è divisibile per 10 sse l'ultima cifra è “0”.
Nella notazione posizionale in base n, il numero n si scrive “10”, e moltiplicare un numero qualunque per n si riduce ad “aggiungere uno “0” dopo l'ultima cifra della notazione posizionale di quel numero. Quindi il resto della divisione di un numero m per n è proprio il numero indicato dall'ultima cifra di m (in base n).
Se n è il prodotto di potenze naturali di numeri primi (esempio 10=2·5), allora il resto della divisione di qualunque divisore d di n è il resto della divisione per d dell'ultima cifra. E d divide m sse tale resto è 0.
Analogamente per la divisione di potenze di d: in relazione alla massima potenza di d che divide n, si valutano i numeri espressi dalle ultime 2 cifre, 3 cifre o più (come in base 10, per vedere se un numero è divisibile per 4 o per 25 si valuta il numero espresso dalle due ultime cifre e per 8 o 125 si valuta quello espresso dalle ultime 3 cifre).



Paolo3 ha scritto:Per tre quando la somma di tutte le cifre è un numero divisibile per 3 .La somma si può iterare finchè il numero diventi di una sola cifra, per esempio 1233, la somma dà 12, 2+1= 3.... (Omissis) Un numero è divisibile per 9 quando la somma di tutte le cifre è un multiplo di 9, anche qui si può iterare la somma;
Un numero scritto in base n è multiplo di n-1 sse lo è la somma delle sue cifre (il procedimento si può iterare), e, come prima, questo vale anche per tutti i suoi divisori (come vale per il 3 in base 10, visto che 3 divide 9).


Paolo3 ha scritto:Se un numero multiplo di 11 dà come risultato un numero di tre cifre allora è divisibile se la somma delle due cifre esterne è uguale alla cifra interna es. 143, 3+1=4 quindi 143 è divisibile per 11.
Un numero scritto in base n è multiplo di n+1 sse lo è la differenza fra la somma delle sue cifre “di ordine dispari” e la somma di quelle “di ordine pari” (il procedimento si può iterare), e, come prima, questo vale anche per tutti i suoi divisori (in base 10 il numeor 11 non ha divisori diversi da se stesso e da 1, quindi no possiamo avere un esempio analogo a prima).

E come in base 10 la prova del 9 è meno efficiente di quella dell'11, così in base n la prova dell'”n-1” è meno efficiente di quella dell'”n+1”.
Infatti, per esempio, se nell'eseguire una moltiplicazione in colonna sbaglio a sommare una cifra e la considera in una colonna “vicina” (ma una sola cifra), questo errore non verrà considrato dalla prova dell'”n-1” (dalla prova del 9), ma verrà sicuramente evidenziato dalla prova dell'”n+1” (dell'11), a meno n sia dispari e che la cifra sommata sia quella che esprime (n+1)/2 (quindi in base 10 la prova dell'11 per questo caso è “sicura”).
Gaspero

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Re: Divisibilità

Messaggio da infinito » dom mar 25, 2018 5:09 pm

Dimenticavo:
sopra ho scritto, a proposito delle divisibilità per n+1, in base n: «... la differenza fra la somma delle sue cifre “di ordine dispari” e la somma di quelle “di ordine pari” ... » e non l'inverso, perché questa differenza è effettivamente il resto (nell'aritmetica modulare) della divisione per n+1.

E a proposito di queste proprietà, sulla divisibilità e delle prove dell' "n-1" e dell' "n+1", riporto un episodio di diversi anni fa, quando alla mia scuola, a degli incontri intitolati "Il canto matematico", in sole due ore (dopo aver accennato la mattina alle basi diverse dal 10), spiegai ai pochissimi alunni presenti come si facevano i calcoli in base n, come si faceva la prova dell' "n-1" e dell' "n+1", come si usava il pallottoliere per fare somme e prodotti di numeri fino a 10 cifre, come si poteva usare il pallottoliere per calcoli in qualunque base fino a 11 (per quello comune in occidente) o fino a 18 (per quello "orientale"), così che alla fine riuscirono a fare, in base 6, un prodotto fra due numeri di poche cifre, e a fare le verifiche con le prove del 5 e del 7 (a onor del vero mi pare che l'incontro sforasse di un paio di minuti la durate prevista di due ore).
Per qualche tempo ho citato diverse volte quell'esperienza per indicare quante cose nuove si possono fare in poco tempo se c'è interesse e partecipazione.
Gaspero

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