Chi tanto e chi niente

[Bruno]

...

Riprendo una questione (rimasta senza risposta) dal forum precedente.

Sappiamo che l'equazione diofantea $\displaystyle a^2 - 3\cdot b^2 = 1$ ammette infinite
soluzioni intere.
Al contrario, la relazione

$\displaystyle a^2 - 3\cdot b^2 = -1$

non ammette soluzioni intere, nemmeno una.
Non è difficile dimostrarlo, anche se a prima vista non sembrerebbe.

Un saluto a tutti,

Bruno

[delfo52]

intervengo solo per "tradurre" in linguaggio non matematico il quesito.
Credo sia un modo per favorire coloro che hanno poca dimestichezza con formule e incognite.
Ovviamente tali persone sono rare sul nostro forum, ma sono, lo sappiamo, assai diffuse nel mondo "reale".
Ho già ricordato di come, tra gli esercizi che ci dava la mitica prof B. al ginnasio, ci fosse quello, non di tradurre in espressioni un problema espresso in italiano, ma il contrario.
Il quesito di Bruno diventa quindi:
Può accadere che il quadrato di un numero e il triplo del quadrato di un altro numero differiscano di una sola unità, che siano cioè due interi consecutivi.
In tal caso sarà sempre il quadrato semplice ad essere maggiore del triplo dell'altro quadrato più piccolo e mai il contrario.

[Pasquale]

$a^2-3b^2=-1$

$a^2+1=3b^2$

$\frac {a^2+1}{3}=b^2$

Dunque, affinché tutte le soluzioni di questa equazione siano intere, è necessario almeno che $a^2+1$ sia divisibile per 3, ma questo non è possibile.

Un qualsiasi valore intero di a, rispetto alla divisibilità per 3, può essere del tipo:

3k
3k+1
3k+2

ed in corrispondenza $a^2+1$ può essere del tipo:

$9k^2+1 = 1$ (MOD 3)

$9k^2+6k+2 = 2$ (MOD 3)

$9k^2+12k+5 = 2$ (MOD 3)

Questo dimostra che non esiste mai un $b^2$ intero e tantomeno un b in corrispondenza di valori interi di a.