A proposito di sistemi

[leandro]

Risolvere il sistema:
$\{\sqrt{(3x)}\left (1+\frac{1}{x+y}\right)=2\\\sqrt{(7y)}\left( 1-\frac{1}{x+y}\right) =4\sqrt2$
Leandro

[Bruno]

...

Caro Leandro, sappi che ho provato a pensare un pochino a questo
tuo sistema, che m'intriga assai...
Vorrei trovare una strada agile, senza perdermi in troppi passaggi
algebrici, ma ancora non vedo nulla!
Spero di poterlo riprendere sotto la penna (devo andar via per alcuni
giorni), ma intanto sento di ringraziarti per questa tua proposta.
Ciao

[jepa]

MMM mica male, a primo acchitto sembrava semplice invece è proprio tosto.

Se può aiutare qualcuno:

[jepa]

Hem come si posta un immagine?

[Admin]

Ciao jepa,
per postare un'immagine, dopo averla caricata su altervista,
ti copi l'indirizzo risultante dell'immagine;
nel tuo caso mi sembra sia http://www.base5images.altervista.org/_ ... _ht/eq.jpg

dopo di che copi questo indirizzo all'interno del tuo messaggio, tra i tag img e /img,
in questo modo:

Codice: Seleziona tutto

[img]http://www.base5images.altervista.org/_altervista_ht/eq.jpg[/img]

provvedo subito a rendere visibile la tua immagine nel post precedente.

Ciao
Admin

[Admin]

X jepa

Visto che l'immagine da te postata è una formula, potevi anche utilizzare il tex;
in questo modo:

Codice: Seleziona tutto

[tex]\sqr{3x}=1-2\frac{\sqr2}{\sqr{7y}}[/tex]

ottenendo:

$\sqr{3x}=1-2\frac{\sqr2}{\sqr{7y}}$

Ciao
Admin

[jepa]

Mille grazie!

[Admin]

Mi è venuto il sospetto che il sistema non sia risolvibile algebricamente,
ma solo con dei metodi numerici tipo Metodo di Gauss, Metodo di Newton-Jacobi, etc..

Però, ho provato graficamente, ed il sistema risulta avere un'unica soluzione.

Devo provare altre strade...

In ogni caso, davvero un interessante sistema!

Ciao
Admin

[prontoadimparare]

Personalmente, ho provato un paio di volte, ma ho come il sospetto che sia oltre le mie capacità.

In ogni caso
Saluti
Pai

[elena]

Io ho trovato x=(11+4sqr7)/21 e y=(22+8sqr7)/7, con passaggi un po'
soppesati, ma piuttosto normali (sommare, quadrare, sottrarre,...)

Molto carino comunque come sistema.

Ciao
Elena

[Pasquale]

$\{\sqrt{3x}\(1+\frac{1}{x+y}\)=2\\ \sqrt{7y}\(1 - \frac{1}{x+y}\)=4\sqrt{2}$

(*) deve essere $x \neq -y$

pongo:

1) $t = \frac{1}{x+y}$

$\{\sqrt{3x}\(1+t\)=2\\ \sqrt{7y}\(1 - t\)=4\sqrt{2}$

$\{1+t = \frac{2}{\sqrt{3x}}\\ 1-t = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}$

$\{1+2t+t^2 = \frac{4}{3x} \\ 1-2t+t^2 = \frac{32}{7y}$

$\{ \text A) 3x(1+2t+t^2)=4 \\B) 7y(1-2t+t^2)=32$

Nel sistema, moltiplico i due membri della prima eq. per 7y e quelli della seconda per -3x:

$\{21xy(1+2t+t^2)=28y\\ -21xy(1-2t+t^2)= -96x$

$\{ 21xy +42xyt+21xy t^2=28y \\ -21xy +42xyt - 21xyt^2 = -96x$

Sommando le due eq. membro a membro, si ottiene:

84xyt = 28y - 96x
21xyt = 7y -24x
21xyt - 7y + 24x = 0

Sostituendo il valore della t di cui alla 1):

$\frac{21xy}{x+y} - 7y +24x = 0$, da cui con qualche passaggio si perviene a:

$7y^2 -38xy -24x^2 = 0$

da cui:

$\text y1 = -\frac{4}{7}x; y2 = 6x$

Sostituendo nella A) i valori della 1) e della y1, si perviene all'equazione:

$9x^3 + 30x^2 +49x = 0$, da cui:

$x(9x^2 + 30x + 49) = 0$

che ha in x = 0; la sola radice reale, da cui y = 0; soluzione non accettabile per la condizione iniziale (*)

Sostituendo nella A) i valori della 1) e della y2, si perviene all'equazione:

$x(147x^2-154x+3) = 0$

che genera le seguenti soluzioni del sistema:

x1 = 0; y1 = 0 (non accettabile)
$\text x_2 = \frac {11-4sqrt{7}}{21} ; y_2 = \frac {22-8sqrt{7}}{7}$
$\text x_3 = \frac {11+4sqrt{7}}{21} ; y_3 = \frac {22+8sqrt{7}}{7}$

[Admin]

Uhm...
i miei sospetti erano infondati!

Complimenti ad Elena per essere stata la prima
ed a Pasquale per la minuziosa risoluzione.

Ciao
Admin

[jepa]

Già, complimenti,una soluzione a cui non avevo pensato!

[prontoadimparare]

Bravo Pasquale! Uff, devo essermi arreso troppo presto...

Saluti§§imi (come direbbe Zerinf)
il vostro
Pai


Dimenticavo, brava pure Elena!

[leandro]

Bene Pasquale.Una semplificazione del suo procedimento
si puo' fare al 4° passaggio ed infatti sottraendo le due equazioni si ha:
$4t=\frac{4}{3x}-\frac{32}{7y}$
e risostituendo t:
$\frac{4}{x+y}=\frac{4}{3x}-\frac{32}{7y}$
che ridotta a forma intera porta all'equazione ( gia' trovata da Pasquale) :
$7y^2-38xy-24x^2=0$ da cui poi il seguito.
La condizione $x \neq -y$ puo' essere assorbita da quella piu'
stringente (se si opera nei reali) x>0,y>0.
Leandro