Beh, questa sarebbe la spezzata non intrecciata (in 3D).
Il problema è che non sono sicuro che uno di quei sette punti esista.
Bisognerebbe dimostrare che esiste.
Oppure che non esiste, per chi vuole contestare la soluzione.
Tertium non datur, a meno che sia una di quelle cose indecidibili.
Lo sapevo. Per questo ho messo in dubbio l'esistenza di un punto della spezzata.
Tale punto è E (supponendo che la pezzata passi per tutti i vertici del cubo).
Infatti DE ed FE non hanno un punto di intersezione, dunque E non esiste.
Nel mio post precedente volevo mettere in evidenza che per risolvere il problema bisogna uscire dal cubo. Ero consapevole che c'era un errore.
Se rimaniamo sugli spigoli del cubo succede questo: il primo segmento della spezzata copre due vertici e ogni altro segmento aggiunge un vertice coperto. Dunque, per coprire 8 vertici servono 7 segmenti.
Se vogliamo riuscirci con 6 segmenti consecutivi, allora due di essi devono coprire 2 vertici ciascuno.
Dopo vari pasticci, ho trovato una soluzione inscrivendo il cubo in una piramide regolare quadrangolare.
Riporto la figura senza tracciare la soluzione. La spezzata è intrecciata.
Per trovare la lunghezza minima, bisogna variare l'altezza della piramide e trovare il minimo.
con quattro rette parallele che si congiungono all'infinito, ci si riesce; ma non è facile misurare la lunghezza, che proprio "minima" non è...
Grazie Enrico, per la soluzione "divergente"!
In effetti, nello spazio proiettivo ci sono anche i "punti all'infinito", uno per ogni direzione. Quindi le 4 rette parallele si incontrano in un unico punto.
Ma usando solo quelle quattro rette è forse impossibile tracciare una linea formata da segmenti consecutivi.
Mi sembra che se usiamo 1 punto all'infinito, servano 6 segmenti consecutivi.
delf1.png (59.6 KiB) Visto 195234 volte
Invece se si usano 2 punti all'infinito, bastano 5 segmenti consecutivi.
delf2.png (26.39 KiB) Visto 195234 volte
Ma con il cubo si possono usare anche 3 punti all'infinito...
...
Se vogliamo riuscirci con 6 segmenti consecutivi, allora due di essi devono coprire 2 vertici ciascuno.
Dopo vari pasticci, ho trovato una soluzione inscrivendo il cubo in una piramide regolare quadrangolare.
Riporto la figura senza tracciare la soluzione. La spezzata è intrecciata.
Per trovare la lunghezza minima, bisogna variare l'altezza della piramide e trovare il minimo.
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Gianfranco, la strada è quella giusta per rispondere alle domande (1) e (4).
Il problema però nasce dal vertice della piramide. In una spezzata chiusa ogni nodo unisce solo due estremi di due segmenti consecutivi ...
Per quanto riguarda la lunghezza minima la soluzione da me trovata si riferisce ad una spezzata aperta.
Facendo riferimento alla soluzione proposta da Gianfranco, ho provato a calcolare la lunghezza della spezzata.
Questa sarebbe la spezzata:
spezzata1.png (68.64 KiB) Visto 195120 volte
Facendo riferimento al triangolo DHC ho:
spezzata2.png (37.07 KiB) Visto 195120 volte
Un po' complicata da derivare (e comunque troppo lunga per la pausa pranzo ).
Tracciando il grafico con Doimos vedo che il minimo sta dalle parti di x=1,129 (circa 64°) e vale circa 12,453
(se non ho sbagliato i conti )
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Credo che il vertice in basso della spezzata esista in quanto entrambi i segmenti giacciono su un piano verticale passante per la diagonale dibase del cubo
Franco
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noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Credo che il vertice in basso della spezzata esista in quanto entrambi i segmenti giacciono su un piano verticale passante per la diagonale di base del cubo.
Esiste a condizione che l'angolo x sia maggiore di ...
).
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