Il purgatorio degli scacchi

[franco]

Quando il Re degli scacchi viene "mattato" va a finire nel purgatorio degli scacchi, questa piccola scacchiera di formato 3x3:

Purgatorio.PNG (833 Byte) Visto 121445 volte

Dal suo punto di partenza (contrassegnato con la lettera $R$) il Re si muove casualmente alla sua maniera e inevitabilmente finirà prima o poi alla porta del Paradiso (contrassegnata con la lettera $P$) o a quella dell'Inferno (contrassegnato con la lettera $I$).
Qual è la sorte più probabile?

www.diophante.fr
G1938

[newdelfo]

visto che in paradiso ci si può arrivare da 5 caselle, e all'inferno da 3, sono propenso a essere ottimista.

[Gianfranco]

Ciao Enrico e buon Natale!
Il tuo ragionamento mi sembra bello, corretto e fulminante.
Praticamente risolve il problema di diophante.fr senza fere neppure un calcolo ma solo un conteggio e un confronto.
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Con il conforto della tua soluzione, provo anch'io a rispondere usando una matrice di Markov.
Sono un assoluto principiante in questo campo, spero che la procedura sia corretta questa volta...
Ci avevo già provato ma poi ho cancellato il messaggio perché c'era un errore.

1) Ho numerato le caselle degli scacchi così (vedi figura)

ScacchiMarkov.png (8.04 KiB) Visto 121412 volte

2) Ho scritto la matrice delle probabilità di movimento del Re da una casella ad un'altra.
Nel caso il Re finisca in 3 oppure 4 ho assegnato probabilità 1 di rimanervi.
Ecco la matrice in wxMaxima:

Codice: Seleziona tutto

A: matrix(
 [0,1/3,0,1/3,1/3,0,0,0,0], 
 [1/5,0,1/5,1/5,1/5,1/5,0,0,0], 
 [0,0,1,0,0,0,0,0,0], 
 [0,0,0,1,0,0,0,0,0], 
 [1/8,1/8,1/8,1/8,0,1/8,1/8,1/8,1/8], 
 [0,1/5,1/5,0,1/5,0,0,1/5,1/5], 
 [0,0,0,1/3,1/3,0,0,1/3,0], 
 [0,0,0,1/5,1/5,1/5,1/5,0,1/5], 
 [0,0,0,0,1/3,1/3,0,1/3,0]
)$

3) Poi ho "messo in moto" la matrice moltiplicandola per se stessa più volte di seguito (e qui non so se la procedura è corretta)
Dopo una quarantina di passaggi ho ottenuto che:
probabilità di essere all'inferno (3) = 0.405 circa
probabilità di essere in paradiso = 0.595 circa
Il che concorda con la soluzione di Enrico.
---
P.S. Ecco il copia e incolla della matrice A^^40:

Maxima_scacchi_sol.png (163.24 KiB) Visto 121397 volte

[Quelo]

Con una simulazione realistica esce:
Paradiso: 59,5%
Inferno 40,5%

[Gianfranco]

Con una simulazione realistica esce:
Paradiso: 59,5%
Inferno 40,5%

Hai ragione, avevo sbagliato a scrivere i numeri. Confermo che anche a me vengono gli stessi risultati approssimati.
Ho corretto il messaggio precedente riportando la matrice.
Buon Natale Quelo!

[Quelo]

Grazie Gianfranco

Buon Natale a te e tutta Base5

[panurgo]

Abbastanza ovviamernte il risultato dipende anche da dove entra il Re quando arriva in Purgatorio.

[franco]

Abbastanza ovviamernte il risultato dipende anche da dove entra il Re quando arriva in Purgatorio.

La porta d'entrata al Purgatorio è nella casella in basso a destra (quella contrassegnata dalla $R$).

Comunque complimenti!
Io delle matrici di Markov ancora non ci ho capito granchè ma era evidente che la soluzione passasse da quella strada.

Per conto mio mi ero fermato allo stesso punto a cui è arrivato Enrico.
Del resto, si chiedeva QUALE fosse la sorte più probabile (e non QUANTO fosse la probabilità).

Quindi una risposta qualitativa mi sembra più che adeguata

[Gianfranco]

Abbastanza ovviamernte il risultato dipende anche da dove entra il Re quando arriva in Purgatorio.

Sì, nella matrice di Markov, dopo un bel po' di iterazioni, si vedono le diverse probabilità in base alle varie entrate.
Se non sbaglio, solo entrando dalla casella 6 la probabilità è leggermente a favore dell'inferno, oppure potrebbe essere pari.
Buon Natale e buon anno!

[Gianfranco]

Io delle matrici di Markov ancora non ci ho capito granchè ma era evidente che la soluzione passasse da quella strada.

Per conto mio mi ero fermato allo stesso punto a cui è arrivato Enrico.
Del resto, si chiedeva QUALE fosse la sorte più probabile (e non QUANTO fosse la probabilità).

Quindi una risposta qualitativa mi sembra più che adeguata

Sono d'accordo.
Anch'io sono un assoluto principiante con le "catene di Markov" ma cercherò almeno di capire come funzionano.
Per fare esplorazioni uso wxMaxima con il quale è facilissimo fare calcoli con le matrici. La stessa cosa vale per molti altri "Computer Algebra Systems", immagino.
Buon Natale e buon anno!