Somma delle cifre.

[Bruno]

Questo problemino è ispirato a un post proposto da Domenico Annunziata su fb.

Stiamo lavorando in base dieci. Abbiamo due naturali $\,a\,$ e $\,b$, uno è formato da 2023 otto e l'altro è formato da 2023 cinque.

Qual è la somma delle cifre di $\; 9ab$ ?

[Pasquale]

Ad occhio e croce, direi 18.207, perché non si può dimostrare che la somma cercata sia diversa.

[Bruno]

Hai un occhio e una croce formidabili, caro Pasquale

... perché non si può dimostrare che la somma cercata sia diversa.

Be', si può però dimostrare che sia proprio quella

[NothIng]

Ad occhio e croce, direi 18.207, perché non si può dimostrare che la somma cercata sia diversa.

In generale la somma delle cifre di $9 * \overbrace{8...8}^{n} * \overbrace{5...5}^{n}$ vale $9*n$ ma ho solo un abbozzo di dimostrazione

[Quelo]

$9 \cdot 8 \cdot 5 =360$
$9 \cdot 88 \cdot 55 =43560$
$9 \cdot 888 \cdot 555 =4435560$
$9 \cdot 8888 \cdot 5555 =444355560$
$9 \cdot \underbrace{8..8}_n \cdot \underbrace{5..5}_n =\underbrace{4..4}_{n-1}3\underbrace{5..5}_{n-1}60$

[Bruno]

Sì, il concetto è questo, ma non è propriamente una dimostrazione

[Gianfranco]

Pensierini della sera...
Consideriamo un caso più semplice con 4 cifre ripetute invece di 2023.
$9\cdot8888\cdot5555=...$
Il prodotto termina sicuramente per 0, che non influisce sulla somma delle cifre, perciò posso eliminare un fattore 5 e un fattore 2.
$9\cdot4444\cdot1111=...$
Moltiplico i fattori 4 e 9
$36\cdot1111\cdot1111=...$
Perciò il problema si riduce a trovare la somma delle cifre di:
$36\cdot{1111}^2=...$
Oppure di:
${6666}^2=...$
Ovvero:
${6666...}^2=...$ con la cifra 6 ripetuta 2023 volte.
Ci sto provando per induzione, ma ho qualche difficoltà...

[Bruno]

Bella idea

[Gianfranco]

Per induzione forse si può fare.
Cioè si può dimostrare che la somma delle cifre vale 9*2023, come già detto da Pasquale e NothIng.
Bisogna dimostrare che ad ogni aggiunta di una cifra 6, la somma delle cifre di 666...^2 aumenta di 9 unità.

1° passo: vale per 6 perché $6^2=36$ e $3+6=9$

2° passo Facciamolo in un caso semplice con 5 cifre che si può generalizzare.

a) Supponiamo che la somma delle cifre di $6666^2$ sia $9\cdot4$.

Dimostriamo che la somma delle cifre di $66666^2$ è $9\cdot4+9$
Scriviamo:
$66666^2=(60000+6666)^2=3600000000+12\cdot10000\cdot6666+{6666}^2$

Osserviamo che $6666^2$ ha esattamente $8$ cifre, cioè tante quante gli zeri di $3600000000$
Indichiamo $6666^2$ con $00xxxxxxxx$
Indichiamo $12\cdot10000\cdot6666=666600000+66660000+66660000$

Osserviamo che la somma del primo e dell'ultimo termine del quadrato
$
\Large\tt3600000000+\\
\Large\tt00xxxxxxxx
$
fa aumentare di 9 unità la somma delle cifre rispetto al caso precedente.

Dobbiamo dimostrare che il rimanente termine del quadrato (il doppio prodotto) LASCIA INVARIATA la somma delle cifre dell'intero numero.
$
\Large\tt0666600000+\\
\Large\tt0066660000+\\
\Large\tt0066660000=
$

Beh, si può dimostrare?

[bautz]

Ciao, provo altra strada.
Come già detto da altri, basta trovare la somma delle cifre di (semplifico a 5 cifre per finalità di scrittura):
$66666^2$
ma potremmo anche scrivere:
$44444*99999$
cioé
$44444*10^5-44444=$
$4444*10^6+4*10^5-44444=$
$4444*10^6+3*10^5+10^5-44444=$
$4444*10^6+3*10^5+55556$
Sommare le cifre del risultato di questa equazione equivale al sommare le cifre dei 3 addendi che compongono questa sommatoria, ovvero:
$(4444*10^6)+(3*10^5)+(55556)$
Infatti considerando n il numero delle cifre iniziali (2023, semplificate a 5) il primo addendo ha n+1 zeri, il secondo ha n zeri e 1 sola cifra, il 3, e il terzo ha n cifre.
Quindi basta sommare:
$4*(n-1)+3+5*(n-1)+6$
ovvero
$9*(n-1)+9$
e quindi
$9n=18207$

[Gianfranco]

Ciao, provo altra strada.

Ottimo, così hai fatto praticamente anche questa dimostrazione richiesta su Proof Wiki:
https://proofwiki.org/wiki/Square_of_Re ... ances_of_6

[Bruno]

Molto bene

[bautz]

Bene!
Ho corretto 2 termini, ho messo "addendo" invece di "somma" e "sommatoria" invece di "equazione".
Giusto per chiamare le cose col loro nome.