Percorsi minimi (nocciolina)

[Gianfranco]

Cari amici, ancora un problema facile, tratto dalla IJMO (International Junior Math Olympiad) e rivolto ai gradi scolastici 6, 7, 8. Praticamente la scuola media.
E' molto facile (ma non banalissimo) per chi conosce la geometria del taxi (Taxicab geometry).
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Nello schema seguente, quanti sono i percorsi minimi da A a B?

percorsominimo1.png (6.5 KiB) Visto 14267 volte

[Quelo]

I percorsi minimi sono 6, ma se aggiungiamo 2 strade, qual è il percorso minimo? Da cosa dipende?

Percorso minimo.png (11.23 KiB) Visto 14248 volte

[Gianfranco]

Corretto grave errore, grazie alla segnalazione di Bruno.

percorsiquelo.png (32.73 KiB) Visto 14205 volte

percorsiquelo2.png (30.43 KiB) Visto 14205 volte

La conclusione rimane la stessa.
A prima vista direi che la scelta è tra il percorso blu e quello rosso.
1) Se a>b allora vince il rosso
2) Se a<b allora vince il blu
3) Se b=a allora sono uguali

Salvo erori & soprattutto ommisioni.

[Bruno]

Gianfranco, premetto che ho una blanda confidenza con la geometria del taxi e tuttavia non capisco perché sulle diagonali hai messo delle radici quadrate
La distanza del taxi rappresentata dalla diagonale non dovrebbe essere il semiperimetro del rettangolo a cui la diagonale appartiene?

[Gianfranco]

Gianfranco, premetto che ho una blanda confidenza con la geometria del taxi e tuttavia non capisco perché sulle diagonali hai messo delle radici quadrate
La distanza del taxi rappresentata dalla diagonale non dovrebbe essere il semiperimetro del rettangolo a cui la diagonale appartiene?

Infatti, nel problema originale non ci sono cenni alla geometria del taxi.
Però a me è stato utile vederlo come un'espansione del reticolo quadrato con l'aggiunta di una strada in diagonale, soprattutto per contare il numero dei percorsi minimi.
L'analogia finisce qui perché quando si percorre la diagonale, la distanza è uguale alla lunghezza della diagonale calcolata col teorema di Pitagora.
Poi Sergio ha aggiunto altre diagonali...

[Bruno]

Ho capito.

Però i radicandi non derivano dal teorema di Pitagora... o ti fraintendo?

[delfo52]

Forsenon ho capito bene, ma ilmio ragionamento è questo:
Con solo segmenti ortogonali, i percorsi appena appena ragionevoli sono tutti lunghi uguali.
Se introduciamo qualche diagonale, sostituiamo una ipotenusa ai due corrispondenti cateti. Il "risparmio" in termini di lunghezza è tanto maggiore, tanto più il quadrilatero è simile ad un quadrato. Nel caso in esame, l'aggiunta di due diagonali in rettangoli "allungati" non porta miglioramenti rispetto al quadrilatero più centrale, quasi quadrato

[Gianfranco]

Ho capito.
Però i radicandi non derivano dal teorema di Pitagora... o ti fraintendo?

Orrore! Facendo il disegno avevo dimenticato di elevare al quadrato. La conclusione però è la stessa.
Ho corretto anche il messaggio originale.

[Quelo]

Il percorso nero vale: $\displaystyle 3a+3b+\sqrt{a^2+b^2}$
Il percorso rosso vale: $\displaystyle 3a+2b+\sqrt{a^2+4b^2}$
Il percorso blu vale: $\displaystyle 2a+3b+\sqrt{4a^2+b^2}$

I percorsi rosso e blu sono sempre più brevi del percorso nero, indipendentemente da a e b, infatti

$\displaystyle 3a+3b+\sqrt{a^2+b^2}>3a+2b+\sqrt{a^2+4b^2}$
$\displaystyle b+\sqrt{a^2+b^2}>\sqrt{a^2+4b^2}$
$\displaystyle b^2+2b\sqrt{a^2+b^2}+a^2+b^2>a^2+4b^2$
$\displaystyle 2b\sqrt{a^2+b^2}>2b^2$
$\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}>b$ vero per $a>0$

Il percorso rosso è più breve di quello blu per $a>b$ come già segnalato da Gianfranco

SE&O

[Gianfranco]

Il problema originale era una nocciolina ma con l'aggiunta di Quelo è diventato più impegnativo.
Ho cercato di arrivare a una conclusione un po' più motivata con l'aiuto di wxMaxima.
Condivido il procedimento, partendo dalle espressioni di Quelo.
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Il percorso rosso vale: $\displaystyle 3a+2b+\sqrt{a^2+4b^2}$
Il percorso blu vale: $\displaystyle 2a+3b+\sqrt{4a^2+b^2}$
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1) Esprimo la differenza BLU-ROSSO (con qualche calcolo)
$\displaystyle BLU-ROSSO = -\sqrt{4 {{b}^{2}}+{{a}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+4 {{a}^{2}}}+b-a$
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2) Ponendo tale differenza >0 si ottiene una disequazione un po' complicata, perciò preferisco sostituire:
$\displaystyle a=k\cdot b$
dove:
a>0
b>0
k>0
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3) Si ottiene:
$\displaystyle BLU-ROSSO= \sqrt{4 {{b}^{2}} {{k}^{2}}+{{b}^{2}}}-\sqrt{{{b}^{2}} {{k}^{2}}+4 {{b}^{2}}}-b k+b$

$\displaystyle BLU-ROSSO= \left| b\right| \sqrt{4 {{k}^{2}}+1}-\left| b\right| \sqrt{{{k}^{2}}+4}-b k+b$
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4) Siccome b>0, si può semplificare per b
$\displaystyle \frac{BLU-ROSSO}{b}=\sqrt{4 {{k}^{2}}+1}-\sqrt{{{k}^{2}}+4}-k+1$
Inoltre, il segno di (BLU-ROSSO) non si modifica dividendo per b.
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5) Perciò posso considerare la funzione:
$\displaystyle y=\sqrt{4 {{k}^{2}}+1}-\sqrt{{{k}^{2}}+4}-k+1$
il cui segno è uguale a quello di (BLU-ROSSO) in funzione di k.
Mi faccio disegnare il grafico della funzione e ricordo che $\displaystyle a=k\cdot b$:

rossoblu.png (18.3 KiB) Visto 14146 volte

Salvo errori e omissioni.