Sullo stesso piano

[Gianfranco]

Cari amici, questo problema, tratto dal libro The Simple Book of Not-So-Simple Puzzles della famiglia Grabarchuk mi lascia perplesso.
Gli autori danno una soluzione ma non mi convince.
Qual è la vostra soluzione?

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Cinque matite sono appoggiate su un tavolo come mostra la figura seguente.
Quale coppia di matite appartiene allo stesso piano?
Penso che intenda: Quale coppia di matite è appoggiata interamente su uno stesso piano?

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Testo originale: Five pencils are put on the table as shown. Which two of them are in the same plane?

[Pasquale]

Se al termine "stesso" non si deve attribuire un significato di precisione, direi ad occchio che al massimo si vedono due matite che giacciono "quasi" sullo stesso piano (quelle che convergono verso l'angolo in alto a destra del quadrato).
Potrebbero anche giacere sullo stesso piano, considerato che quella che poggia sulla matita a terra è posta più in avanti nel punto di appoggio, rispetto all'altra che però poggia sollevata di poco sulla parte bassa di altra matita: i due sollevamenti diversi potrebbero portare le due matite a giacere sullo stesso piano, ma non ci sono misure da valutare, per cui una risposta certa non è possibile.

[Gianfranco]

Grazie Pasquale,
già, la parola "stesso" è un punto debole di questo problema.
Io ho pensato tre possibili significati.

1) Quello che dici tu, cioè "circa lo stesso", ma ciò mi lascia matematicamente insoddisfatto.

2) "Entrambe le matite appoggiate su un piano per la loro intera lunghezza", ma ciò è sovrabbondante perché QUALUNQUE coppia di matite che si toccano sono interamente appoggiate su un piano, dalle facce opposte del piano stesso (quindi il problema avrebbe 5 soluzioni).

3) "Entrambe le matite appoggiate sulla stessa faccia di un piano per la loro intera lunghezza", ma in questo caso non riesco a trovare una risposta valida.

Ci sono altre interpretazioni accettabili?

Salvo errori e omissioni...

5matitepiano2.png (50.99 KiB) Visto 21418 volte

P.S. Ho messo i numeri alle matite per facilitare la scrittura della soluzione.
Secondo l'autore del problema, la soluzione è 1, 2

[giobimbo]

Vedo che Pasquale ha già risposto, comunque dico la mia. Purtroppo avevo già fatto il disegno...
Se denotiamo con 0 la pendenza del piano su cui poggiano le matite, indichiamo la pendenza di esse come media delle 2 estremità. Un’estremità vale 0 se tocca il piano base e 1 se tale estremità passa sopra a una matita che giace sul piano base; la pendenza di tale matita sarà
P(matita) = (0+1)/2 = 0,5

soluzione.png (33.98 KiB) Visto 21408 volte

Nella figura del mio esempio abbiamo:
P(A) = (0,5 + 0,75)/2 = 0,625
P(B) = (0 + 1,5)/2 = 0,75
P(C) = (0 + 1)/2 = 0,5
P(D) = (0 + 0)/2 = 0
P(E) = (0 + 1)/2 = 0,5

Siccome la pendenza della matita è uguale alla pendenza del piano su cui giace allora solo C e E stanno sullo stesso piano (come, vedo ora, dice anche l'autore del problema).

[Gianfranco]

Grazie Giobimbo, bel ragionamento e bella dimostrazione.
Probabilmente l'autore intendeva proprio questo.

(Testo modificato)
Tuttavia mi rimane qualche dubbio,
Dal disegno originale risulta che i punti A e B su cui sono appoggiate le matite si trovano allo stesso livello, che chiamiamo "0".
Anche i punti C e D delle matite sono appoggiati sullo stesso livello che chiameremo "1".
Ma, vista l'asimmetria delle due matite, non si può essere sicuri che esse siano appoggiate su uno stesso piano. Potrebbero essere sghembe, cioè né parallele né secanti..

5matitepiano3.png (50.17 KiB) Visto 21384 volte

[Pasquale]

Infatti Gianfranco, in riferimento al disegno originale, avevo scartato la complanarità per le matite con punte 1 e 2, considerate le diverse lunghezze dei tratti a e b .
Mi ero quindi orientato sulle matite con punte 1 e 3, con a sola "speranza" che le diverse lunghezze rispetto ai punti di appoggio potessero essere compensate dalle diverse inclinazioni rispetto alle verticali.
Potrebbe essere incompleto il testo del quesito, oppure lo stesso non avere una soluzione certa' ?

[Gianfranco]

Potrebbe essere incompleto il testo del quesito, oppure lo stesso non avere una soluzione certa' ?

Riporto il testo originale con la soluzione degli autori.

5matitepiano4.png (43.66 KiB) Visto 21382 volte

Tratto da:
Serhiy Grabarchuk, Peter Grabarchuk, Serhiy Grabarchuk, Jr.
The Simple Book of Not-So-Simple Puzzles
2008

[Bruno]

Sì, non convince nemmeno me questa soluzione.

[bautz]

Ciao, dico la mia.
Concordo col fatto che le matite complanari siano la 1 e la 2: infatti il segmento AB é certamente parallelo al segmento CD (almeno così sembra, tracciando le 2 linee sul disegno)
E se 2 segmenti sono paralleli, giacciono per forza sullo stesso piano. E di conseguenza anche le matite

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[Bruno]

Ciao, dico la mia.
Concordo col fatto che le matite complanari siano la 1 e la 2: infatti il segmento AB é certamente parallelo al segmento CD (almeno così sembra, tracciando le 2 linee sul disegno)
E se 2 segmenti sono paralleli, giacciono per forza sullo stesso piano. E di conseguenza anche le matite

Bautz, dall'apparenza non dovremmo dedurre una certezza

[Marco1983]

Buonasera a tutti. Mi sono iscritto da poco e sono ben contento di partecipare ad un Forum così stimolante.

In questo specifico problema penso si chieda per quale coppia di matite può essere fatto passare un piano. La geometria non dice che date due rette incidenti vi è uno e un solo piano che le contiene?

[Gianfranco]

Buonasera a tutti. Mi sono iscritto da poco e sono ben contento di partecipare ad un Forum così stimolante.

In questo specifico problema penso si chieda per quale coppia di matite può essere fatto passare un piano. La geometria non dice che date due rette incidenti vi è uno e un solo piano che le contiene?

Benvenuto nel Forum, Marco1983.
Ciò che dici è giusto ma secondo me lo "spirito" della questione è diverso.
E' tratto da un libro di puzzle (non strettamente matematici) scritto dalla famiglia Grabarchuk, autori molto prolifici e bravi.
Serhiy Grabarchuk, Peter Grabarchuk, Serhiy Grabarchuk, Jr.
The Simple Book of Not-So-Simple Puzzles

Il testo del puzzle è brevissimo, quindi bisogna cercare di capirne il senso.
Credo che non si possano considerare le matite come se fossero rette, altrimenti il problema sarebbe troppo semplice e avrebbe più soluzioni possibili.
Secondo me si intende che le matite devono essere appoggiate sullo stesso piano, dalla stessa parte del piano stesso.
Due matite che si toccano in un punto sono "appoggiate" su uno stesso piano ma se una è "sopra" il piano allora l'altra è "sotto".