Curiose identità.

[Bruno]

L'amico Sergio Casiraghi ha trovato su Twitter questa identità:

$\displaystyle\sqrt 3+\sqrt 3+\sqrt 3 =\sqrt 3\cdot\sqrt 3\cdot\sqrt 3$

a cui egli ha aggiunto la prima e le successive:

$
\\
2+2 = 2\cdot 2 \\
\sqrt 3+\sqrt 3+\sqrt 3 =\sqrt 3\cdot\sqrt 3\cdot\sqrt 3 \\
\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4} =\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{4} \\
\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{5} \\
\sqrt[5]{6}+\sqrt[5]{6}+\sqrt[5]{6}+\sqrt[5]{6}+\sqrt[5]{6}+\sqrt[5]{6}=\sqrt[5]{6}\cdot\sqrt[5]{6}\cdot\sqrt[5]{6}\cdot\sqrt[5]{6}\cdot\sqrt[5]{6}\cdot\sqrt[5]{6} \\
...
$

Dimostrare tali scritture in via generale è facile e tuttavia non le avevo mai incontrate prima.

Voi le avete già viste?

[Pasquale]

No, ma adesso sappiamo che si può proseguire all'infinito, come con :

$\sqrt[6]{7}$ ripetuto 7 volte e così via.

Chissà che non si possa tirar fuori altra particolare uguaglianza?

[Quelo]

$\displaystyle \Bigl\lceil\sqrt{e^0}\Bigr\rceil=1$

$\displaystyle \Bigl\lceil\sqrt{e^1}\Bigr\rceil=2$

$\displaystyle \Bigl\lceil\sqrt{e^2}\Bigr\rceil=3$

$\displaystyle \Bigl\lceil\sqrt{e^3}\Bigr\rceil=5$

$\displaystyle \Bigl\lceil\sqrt{e^4}\Bigr\rceil=8$

$\displaystyle \Bigl\lceil\sqrt{e^5}\Bigr\rceil=13$

$\displaystyle \Bigl\lceil\sqrt{e^6}\Bigr\rceil=21$

$\displaystyle \Bigl\lceil\sqrt{e^7}\Bigr\rceil=34$

$\displaystyle \Bigl\lceil\sqrt{e^8}\Bigr\rceil=55$

[Bruno]

Bellissime, Sergio

Le hai trovate tu, queste identità?

[Quelo]

No, no, viste in un post su Istagram, non ricordo l'autore.

[Bruno]

Un po' più complicate:

$\large \lceil\pi^{\frac{-2}{e}}\rceil =$ A022859(1) $= 1$
$\large \lceil\pi^{\frac{-1}{e}}\rceil =$ A022859(2) $= 1$
$\large \lceil\pi^{\frac{0}{e}}\rceil =$ A022859(3) $= 1$
$\large \lceil\pi^{\frac{1}{e}}\rceil =$ A022859(4) $= 2$
$\large \lceil\pi^{\frac{2}{e}}\rceil =$ A022859(5) $= 3$
$\large \lceil\pi^{\frac{3}{e}}\rceil =$ A022859(6) $= 4$
$\large \lceil\pi^{\frac{4}{e}}\rceil =$ A022859(7) $= 6$
$\large \lceil\pi^{\frac{5}{e}}\rceil =$ A022859(8) $= 9$
$\large \lceil\pi^{\frac{6}{e}}\rceil =$ A022859(9) $= 13$
$\large \lceil\pi^{\frac{7}{e}}\rceil =$ A022859(10) $= 20$
$\large \lceil\pi^{\frac{8}{e}}\rceil =$ A022859(11) $= 30$
$\large \lceil\pi^{\frac{9}{e}}\rceil =$ A022859(12) $= 45$
$\large \lceil\pi^{\frac{10}{e}}\rceil =$ A022859(13) $= 68$
$\large \lceil\pi^{\frac{11}{e}}\rceil =$ A022859(14) $= 103$

[Quelo]

$\displaystyle \sqrt[\sqrt{-1}]{-1}=e^{\pi}\simeq 20+\pi$

[Quelo]

$\displaystyle e^{i \pi} \simeq \pi^{ie}$