Tutte le soluzioni intere.

[Bruno]

Con carta e penna e, eventualmente, una semplice calcolatrice:

x² + x·y + y² = 2451.


-----------------
Quiz proposto da Domenico Annunziata.
-----------------

[Quelo]

Poiché la somma termina con 1, y potrebbe essere 1
Se poniamo y=1 risulta:
$x^2+x=2450$
$(x+1)x=50\cdot49$
$x=49$
[49, 1] è la soluzione più semplice, ma ce ne sono altre 23.
Ovviamente [1, 49], [-49, -1], [-1, -49], ma anche [-50,1], [1, -50], [50, -1] e [-1, 50]

Il problema può essere visto anche in altro modo:
$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$
Il più piccolo quadrato maggiore di 2451 è 2500, quindi:
$x+y=50;\quad xy=49$, oppure $\;(x+y)^2=1;\quad xy=-2450$
e troviamo le soluzioni di prima e [50, -49], [-49, 50], [-50, 49], [49, -50]
Andando avanti arriviamo a $55^2=3025$
$x+y=55;\quad xy=574=2\cdot7\cdot41$
[14, 41], [41, 14], [-14, -41], [-41, -14] sono altre soluzioni

Si tratta dell'equazione di un ellisse con centro nell'origine degli assi, ogni soluzione intera si trova 4 volte

[Quelo]

Non mi ero accorto che il titolo chiedeva tutte le soluzioni intere.

Ma se 1, 49 e -50 costituiscono complessivamente 12 soluzioni, allora anche 14, 41 e -55
Infatti se sostituisco x con z-y dove z=x+y ottengo
$(z-y)^2+(z-y)y+y^2=z^2-zy+y^2$
quindi [y, -z] è una soluzione
Le restanti 6 soluzioni sono
[14, -55], [-55, 14], [-14, 55], [55, -14]
[41, -55], [-55, 41], [-41, 55], [55, -41]
Manca la dimostrazione che non ci sono altre soluzioni intere

[Gianfranco]

Bravo Sergio!

Questa qui sotto non è una dimostrazione, ma mi è piaciuta.
Per di più ho usato il calcolatore.

diofantea_1.PNG (27.12 KiB) Visto 7985 volte

vic20.jpg (68.8 KiB) Visto 7985 volte

[Bruno]

Manca la dimostrazione che non ci sono altre soluzioni intere

Infatti.

Questa qui sotto non è una dimostrazione, ma mi è piaciuta.
Per di più ho usato il calcolatore.

Bello
Da quella via potevi allungarti verso WolframAlpha



A me è capitato di ragionare così.
Con carta e penna e una semplice calcolatrice, osservo che:
(2·x+y)² = 9804-3·y².
Perciò il secondo membro è un quadrato e, in valore assoluto, 𝘺 non è maggiore di 55 (dico questo perché si vede subito che non può essere un multiplo di 3, né di 4, 19 e 43).
Quindi, trovo facilmente:
y = ±1, ±14, ±41, ±49, ±50 e ±55,
e, in corrispondenza di questi valori, per x ottengo:
x = ±49, ±41, ±14, ±1, ∓1 e ∓14.
Totalizzo, così, 12 coppie di soluzioni.
Poiché nell'equazione data le variabili si possono scambiare, individuo immediatamente tutte le soluzioni richieste, che sono 24.

[Gianfranco]

Ottimo Bruno!

Da quella via potevi allungarti verso WolframAlpha

E' vero, ma a me dà una sensazione di avventura fenomenale usare linguaggi assolutamente primitivi come il BASIC o il LISP e mi piace anche il linguaggio di Maxima e quella specie di Algol di GAP. Peccato che di quest'ultimo non ci sia un comodo ambiente di sviluppo.

Ormai ho un'età in cui, almeno in matematica, posso fare ciò che mi piace, senza il problema di mantenere la "reputazione".
Anzi, mi è persino venuto in mente di scrivere un articolo intitolato: "Se Diofanto avesse avuto un VIC-20...". Ma non lo scriverò. O forse sì?

[Bruno]

Gianfranco, non ti dico quanto vorrei leggere quel tuo articolo (perdonami la paralipsi), scrivilo senza indugio

E' vero, ma a me dà una sensazione di avventura fenomenale usare linguaggi assolutamente primitivi come il BASIC o il LISP e mi piace anche il linguaggio di Maxima e quella specie di Algol di GAP. Peccato che di quest'ultimo non ci sia un comodo ambiente di sviluppo.

Sono d'accordo con te.
Un grande collaboratore di OEIS, Peter Luschny, mi ha consigliato un giorno Julia e per un po' l'ho usato: mi sono divertito. Lo conosci, Gianfranco?

[Gianfranco]

Sì, conosco Julia, lo seguo e sono iscritto alla newsletter degli users da anni.
Però l'ho usato solo per fare delle prove.

[Pasquale]

Proposta di procedimento

Risolvendo le seguenti due equazioni di secondo grado simmetriche, nelle quali una delle due variabili
entra a far parte del termine noto, si ottengono tutti i risultati voluti, testando tutti i valori possibili
attribuibili alle variabili y o x sotto radice, tali che i vari radicandi rappresentino un numero quadrato positivo,
restando validi inoltre solo i risultati interi delle formule risolutive classiche delle due equazioni tipo ax^2+bx+c=0 :

x^2 + yx + (y^2 - 2451) = 0

y^2 + xy + (x^2 - 2451) = 0

Dalle due equazioni risultano:

x = -1; y = 50
x = 1; y = 49
x = -14; y = 55
x = 14; y = 41
x = 41; y = 14
x = 49; y = 1

x = 1; y= -50
x = 14; y = -55
x = 41; y = -55
x = 49; y =-50
x = 50; y = -49
x = 55; y = -41