L'amico Sergio Casiraghi ha pubblicato qualche giorno fa questo problema:
( Quelo, devo dirti che ti ho pensato appena l'ho letto )
Potenze con tutte le cifre.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Potenze con tutte le cifre.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Potenze con tutte le cifre.
Trattandosi di potenze, possiamo supporre che nei numeri molto grandi le cifre siano distribuite in modo uniforme.
Già intorno alle 20 cifre dovremmo trovare tutte le cifre da 0 a 9.
Se poi consideriamo che 2^98 ha 30 cifre e contiene tutte le cifre da 0 a 9 è difficile ipotizzare che non esista una potenza con base maggiore di 2 e con un esponente di due cifre che contenga tutte le cifre da 0 a 9.
Comunque proviamo velocemente tutte le basi da 2 a 99 e vediamo che tutte hanno una potenza pan-digitale con esponente di massimo 2 cifre (mediamente le potenze più piccole hanno tra le 15 e le 30 cifre).
Casi particolari sono i numeri che terminano con 0, ma anche in questi casi gli esponenti non superano il 51.
Naturalmente le potenze di 10 hanno solo 2 cifre, per qualunque esponente.
Da segnalare $5^{19}=19073486328125$ e $15^{12}=129746337890625$ che hanno ogni cifra ripetuta al massimo 2 volte.
Già intorno alle 20 cifre dovremmo trovare tutte le cifre da 0 a 9.
Se poi consideriamo che 2^98 ha 30 cifre e contiene tutte le cifre da 0 a 9 è difficile ipotizzare che non esista una potenza con base maggiore di 2 e con un esponente di due cifre che contenga tutte le cifre da 0 a 9.
Comunque proviamo velocemente tutte le basi da 2 a 99 e vediamo che tutte hanno una potenza pan-digitale con esponente di massimo 2 cifre (mediamente le potenze più piccole hanno tra le 15 e le 30 cifre).
Casi particolari sono i numeri che terminano con 0, ma anche in questi casi gli esponenti non superano il 51.
Naturalmente le potenze di 10 hanno solo 2 cifre, per qualunque esponente.
Da segnalare $5^{19}=19073486328125$ e $15^{12}=129746337890625$ che hanno ogni cifra ripetuta al massimo 2 volte.
[Sergio] / $17$
Re: Potenze con tutte le cifre.
Fra parentesi, possiamo segnalare anche la quarta potenza di 69636 (però non è l'unico caso), che si scrive utilizzando tutte le cifre esattamente 2 volte:
69636⁴ = 23514473895962870016.
Oppure quest'altro fatto: 32043² = 1026753849 (in buona compagnia).
Ma come escludiamo, Sergio, che esistano potenze minime "pan-digitali" con esponenti di tre cifre?
69636⁴ = 23514473895962870016.
Oppure quest'altro fatto: 32043² = 1026753849 (in buona compagnia).
Ma come escludiamo, Sergio, che esistano potenze minime "pan-digitali" con esponenti di tre cifre?
(Bruno)
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Re: Potenze con tutte le cifre.
Non so se esiste un criterio di pandigitalità da verificare, però intanto ho testato fino a $999999^{99}$ che ha 594 cifre
[Sergio] / $17$
Re: Potenze con tutte le cifre.
Aggiungerei a riguardo delle potenze formate da 10 cifre diverse (ripetute una sola volta) che, oltre la più piccola già segnalata da Bruno $32043^2 = 1026753849$, ne troviamo in totale 87, tutte potenze del 2, di cui la maggiore $9814072356 = 99066^2$
Inoltre, con basi entro i 100.000 e risultati da 20 cifre, comprendenti tutte le 10 cifre ripetute 2 volte, compresa quella già segnalata, abbiamo:
$69636^4 = 23514473895962870016$
$70215^4 = 24306341799881750625$
$77058^4 = 35259076387041812496$
$80892^4 = 42817597245013360896$
Inoltre, con basi entro i 100.000 e risultati da 20 cifre, comprendenti tutte le 10 cifre ripetute 2 volte, compresa quella già segnalata, abbiamo:
$69636^4 = 23514473895962870016$
$70215^4 = 24306341799881750625$
$77058^4 = 35259076387041812496$
$80892^4 = 42817597245013360896$
Ultima modifica di Pasquale il ven dic 17, 2021 9:41 pm, modificato 4 volte in totale.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: Potenze con tutte le cifre.
Ottimo, Pasquale
Mi sembrava infatti che 1026753849 fosse in buona compagnia
(Bruno)
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Re: Potenze con tutte le cifre.
Per i quadrati bi-pan-digitali (che sono circa mezzo milione), vi rimando a questo postPasquale ha scritto: ↑mar ott 19, 2021 1:59 amAggiungerei a riguardo delle potenze formate da 10 cifre diverse, ripetute una sola volta, che oltre la più piccola già segnalata da Bruno $32043^2 = 1026753849$ , ne esistono in totale 87, tutte potenze del 2, di cui la maggiore $9814072356 = 99066^2$
Inoltre, con basi entro i 100.000 e risultati da 20 cifre, comprendenti tutte le 10 cifre ripetute 2 volte, compresa quella già segnalata, abbiamo:
$69636^4 = 23514473895962870016$
$70215^4 = 24306341799881750625$
$77058^4 = 35259076387041812496$
$80892^4 = 42817597245013360896$
Quadrati bi-pan-digitali
[Sergio] / $17$
Re: Potenze con tutte le cifre.
Grazie, Sergio
Qualche altra idea sul problema iniziale?
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