Qual è il più grande?

[Quelo]

$\displaystyle \Large 8^{8^8} \; \text{o}\;\; (888888!)^\pi$

[franco]

Direi che è più grande il secondo.

Ho usato i logaritmi e fatto qualche ragionamento che riporto direttamente dal quaderno.

piu-grande.PNG (187.63 KiB) Visto 3771 volte

non ci metto la mano sul fuoco

ciao

[Quelo]

Ottimo Franco.
L'integrale è una buona approssimazione, sufficiente ai fini del problema.

[Bruno]

A me è invece capitato di applicare direttamente una limitazione abbastanza nota, utilizzata per stimare i fattoriali (anche nell'ambito dell'approssimazione di Stirling):

$n! \geq e\cdot \left ({\Large \frac{n}{e}} \right )^n$.

Pertanto, passando ai logaritmi naturali, ho valutato se il membro destro di questa limitazione

$ \log_e (888888!)^{\Large \pi} \geq \log_e \left [e\cdot \left ({\Large \frac{888888}{e}} \right )^{888888}\right ]^{\Large\pi} = \pi + \pi \cdot 888888\cdot ( \log_e 888888 -1) \approx 3.545... \cdot 10^7$

fosse maggiore di

$\log_e 8^{8^8} \approx 3.488... \cdot 10^7$

e ho ottenuto precisamente la conclusione di Franco.

[Quelo]

Ottimo anche l'approccio di Bruno
La mia soluzione era quella di Franco, ma dopo aver letto quella di Bruno ho trovato una strada ulteriore

$\displaystyle n! \simeq \left (\frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2\pi n}$

$\displaystyle \sqrt[\Large n\,]{n!} \simeq \frac{n}{e} \sqrt[\Large n\,]{\sqrt{2\pi n}} \simeq \frac{n}{e}$ (per n grande l'ultimo termine tende a 1)

$\displaystyle \sqrt[\Large 888888\pi\,]{(888888!)^\pi} \simeq \frac{888888}{e} = 327003,6$

$\displaystyle \sqrt[\Large 888888\pi\,]{8^{8^8}} = 8^{\large \left(\frac{16777216}{888888\pi}\right)} \simeq 8^6=262144$