Si dimostri che e' esattamente (leggi :senza ricorrere alla calcolatrice
e giustificando il risultato):
$\cos^3(\frac{2\pi}{7})+\cos^3(\frac{4\pi}{7})+\cos^3(\frac{8\pi}{7})=-\frac{1}{2}$
Leandro
Ettagono e..... dintorni
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Gianfranco
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Ciao a tutti,
Bene, Leandro, questa per me è stata una sfida tosta, perché non sono riuscito a trovare una dimostrazione "ricreativa" ed elementare.
Sono dovuto entrare nella torbida palude del campo dei numeri complessi.
Ecco la mia dimostrazione, in due passaggi:
a) dimostro che $cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{8\pi}{7}) = -\frac12$
b) poi dimostro che $cos^3(\frac{2\pi}{7})+cos^3(\frac{4\pi}{7})+cos^3(\frac{8\pi}{7}) = -\frac12$
Strano, ma vero!
Nota importante: l'espressione, ridotta al primo quadrante, ha questo volto:
$cos(\frac{2\pi}{7})-cos(\frac{3\pi}{7})-cos(\frac{\pi}{7})= -\frac12$
Lascio a voi i dettagli dei passaggi perché a scriverli con Tex mi servirebbe più di un'ora...
a) entrate nella torbida palude e trovate le sette radici dell'equazione:
$z^7 = 1$ (nei numeri complessi)
Le radici sono del tipo:
$cos(\frac{2k\pi}{7})+i\sin(\frac{2k\pi}{7})$, con k da 0 a 6
Per un noto lemmino si sa che:
$cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{6\pi}{7})+cos(\frac{8\pi}{7})+cos(\frac{10\pi}{7})+cos(\frac{12\pi}{7})=-1$
Portate tutto al primo quadrante, raccogliete i termini uguali e avrete:
$2(cos(\frac{2\pi}{7})-cos(\frac{3\pi}{7})-cos(\frac{\pi}{7}))=-1$
da cui:
$cos(\frac{2\pi}{7})-cos(\frac{3\pi}{7})-cos(\frac{\pi}{7})=-\frac12$
Fine della prima parte.
b) Ora bisogna dimostrare che anche elevando al cubo i singoli pezzi la somma è la stessa.
Si utilizza la "potentissima" formula:
$cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
Dalla quale si ricava (elevare, raccogliere, ritrasformare in coseno):
$cos^3\theta=\frac14cos3\theta+\frac34cos\theta$
Applicatela alla seguente:
$cos^3(\frac{2\pi}{7})-cos^3(\frac{3\pi}{7})-cos^3(\frac{\pi}{7})$
(Nota: è equivalente a quella proposta nel testo, è ridotta al primo quadrante)
E otterrete che è uguale a:
$-\frac14cos(\frac{\pi}{7})+\frac34cos(\frac{2\pi}{7})+\frac14cos(\frac{2\pi}{7})-\frac34cos(\frac{3\pi}{7})-\frac14cos(\frac{3\pi}{7})-\frac34cos(\frac{\pi}{7})$
Sommando i termini simili troverete un volto conosciuto:
$cos(\frac{2\pi}{7})-cos(\frac{3\pi}{7})-cos(\frac{\pi}{7})$
di cui sapete (toh, che coincidenza!) che è uguale a -1/2.
C.V.D. (spero)
Gianfranco
Bene, Leandro, questa per me è stata una sfida tosta, perché non sono riuscito a trovare una dimostrazione "ricreativa" ed elementare.
Sono dovuto entrare nella torbida palude del campo dei numeri complessi.
Ecco la mia dimostrazione, in due passaggi:
a) dimostro che $cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{8\pi}{7}) = -\frac12$
b) poi dimostro che $cos^3(\frac{2\pi}{7})+cos^3(\frac{4\pi}{7})+cos^3(\frac{8\pi}{7}) = -\frac12$
Strano, ma vero!
Nota importante: l'espressione, ridotta al primo quadrante, ha questo volto:
$cos(\frac{2\pi}{7})-cos(\frac{3\pi}{7})-cos(\frac{\pi}{7})= -\frac12$
Lascio a voi i dettagli dei passaggi perché a scriverli con Tex mi servirebbe più di un'ora...
a) entrate nella torbida palude e trovate le sette radici dell'equazione:
$z^7 = 1$ (nei numeri complessi)
Le radici sono del tipo:
$cos(\frac{2k\pi}{7})+i\sin(\frac{2k\pi}{7})$, con k da 0 a 6
Per un noto lemmino si sa che:
$cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{6\pi}{7})+cos(\frac{8\pi}{7})+cos(\frac{10\pi}{7})+cos(\frac{12\pi}{7})=-1$
Portate tutto al primo quadrante, raccogliete i termini uguali e avrete:
$2(cos(\frac{2\pi}{7})-cos(\frac{3\pi}{7})-cos(\frac{\pi}{7}))=-1$
da cui:
$cos(\frac{2\pi}{7})-cos(\frac{3\pi}{7})-cos(\frac{\pi}{7})=-\frac12$
Fine della prima parte.
b) Ora bisogna dimostrare che anche elevando al cubo i singoli pezzi la somma è la stessa.
Si utilizza la "potentissima" formula:
$cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
Dalla quale si ricava (elevare, raccogliere, ritrasformare in coseno):
$cos^3\theta=\frac14cos3\theta+\frac34cos\theta$
Applicatela alla seguente:
$cos^3(\frac{2\pi}{7})-cos^3(\frac{3\pi}{7})-cos^3(\frac{\pi}{7})$
(Nota: è equivalente a quella proposta nel testo, è ridotta al primo quadrante)
E otterrete che è uguale a:
$-\frac14cos(\frac{\pi}{7})+\frac34cos(\frac{2\pi}{7})+\frac14cos(\frac{2\pi}{7})-\frac34cos(\frac{3\pi}{7})-\frac14cos(\frac{3\pi}{7})-\frac34cos(\frac{\pi}{7})$
Sommando i termini simili troverete un volto conosciuto:
$cos(\frac{2\pi}{7})-cos(\frac{3\pi}{7})-cos(\frac{\pi}{7})$
di cui sapete (toh, che coincidenza!) che è uguale a -1/2.
C.V.D. (spero)
Gianfranco
Bellissimo Gianfrà, ci stavo lavorando ed ero arrivato solo alla riduzione al primo quadrante dei tre coseni: $cos(\frac{2\pi}{7})-cos(\frac{3\pi}{7})-cos(\frac{\pi}{7})$; altre cose, come il lemmino, non le conoscevo, come non avrei mai immaginato che la somma dei coseni fosse uguale alla somma dei cubi (troppo tosto per me... ho trovato una moltitudine di equivalenze che riportavano tutte a -1/2, ma con l'uso del calcolatore per la verifica).
_________________
$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Anch'io ho provato a cercare una strada un po' più elementare, ma
senza nessunissimo risultato.
Bella, e con un'esposizione notevole, la dimostrazione di Gianfranco.
Ho anche apprezzato il fatto che non abbia dato sbrigativamente
la seguente relazione (seconda parte del procedimento):
$cos3\theta = 4cos^3\theta-3cos\theta$,
nonostante sia di solito indicata nei manuali di trigonometria, mentre
ha preferito ricavarla citando una relazione ben più importante.
Trovo che questo sia particolarmente istruttivo.
Grazie
senza nessunissimo risultato.
Bella, e con un'esposizione notevole, la dimostrazione di Gianfranco.
Ho anche apprezzato il fatto che non abbia dato sbrigativamente
la seguente relazione (seconda parte del procedimento):
$cos3\theta = 4cos^3\theta-3cos\theta$,
nonostante sia di solito indicata nei manuali di trigonometria, mentre
ha preferito ricavarla citando una relazione ben più importante.
Trovo che questo sia particolarmente istruttivo.
Grazie
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
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mathmum
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sono tornata!!!
incuriosita dal titolo del problema di Leandro, qui http://www.base5images.altervista.org/2 ... tt_res.gif
c'è il mio ettagonino bruttarello e neanche tanto ettagonale dove gli angoli del triangolo evidenziato sono proprio quelli dell'identità di Leandro, nella quale ho ridotto al primo quadrante 8/7 pi che è diventato un bel pi/7 (con segno del coseno cambiato).
Esiste magari una sol geometrica meno.... complessa?
scusate la fretta, ma sono di fretta, come al solito, e poi ho tentato 3 volte di postare e non ci sono riuscita, così ho dovuto scrivere 3 volte il messaggio, alla faccia della fretta. uff, anzi, puff
a presto, ciao!
incuriosita dal titolo del problema di Leandro, qui http://www.base5images.altervista.org/2 ... tt_res.gif
c'è il mio ettagonino bruttarello e neanche tanto ettagonale dove gli angoli del triangolo evidenziato sono proprio quelli dell'identità di Leandro, nella quale ho ridotto al primo quadrante 8/7 pi che è diventato un bel pi/7 (con segno del coseno cambiato).
Esiste magari una sol geometrica meno.... complessa?
scusate la fretta, ma sono di fretta, come al solito, e poi ho tentato 3 volte di postare e non ci sono riuscita, così ho dovuto scrivere 3 volte il messaggio, alla faccia della fretta. uff, anzi, puff
a presto, ciao!
Ultima modifica di mathmum il mar mar 28, 2006 9:11 am, modificato 1 volta in totale.
mathmum
...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...
...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...
Naturalmente mi associo ai complimenti per Gianfranco per l'originale
sua soluzione e per aver bene intrepretato il titolo del post che si riferiva
appunto alle radici settime dell'unita'.
Per cio' che concerne la mia soluzione ne faccio una sintetica descrizione.
Si puo' osservare che l'equazione di queste radici settime,depurata dell'unica
soluzione reale x=1,e':
(1) $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$
e le sue radici si possono dividere a coppie di complessi coniugati e reciproci
l'uno dell'altro la cui somma e' data da:
$x_1+x_6=x_1+\frac{1}{x_1}=2\cos(\frac{2\pi}{7})$
$x_2+x_5=x_2+\frac{1}{x_2}=2\cos(\frac{4\pi}{7})$
$x_4+x_3=x_4+\frac{1}{x_4}=2\cos(\frac{8\pi}{7})$
Se dividiamo la (1) per $x^3$ abbiamo:
(2 )$(x^3+\frac{1}{x^3})+ (x^2+\frac{1}{x^2})+(x+\frac{1}{x})+1=0$
Ponendo $x+\frac{1}{x}=y$ e quindi $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2,x^3+\frac{1}{x^3}=y^3-3y$,
la (2) diventa :$y^3+y^2-2y-1=0$ le cui radici a,b,c sono proprio
i valori :$a=2\cos(\frac{2\pi}{7}),b=2\cos(\frac{4\pi}{7}),c=2\cos(\frac{8\pi}{7})$ e soddisfano le note relazioni:
$a+b+c=-1,ab+bc+ca=-2,abc=1$
Ora abbiamo:
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=-4$
Ovvero:
$8\cos^3(\frac{2\pi}{7})+8\cos^3(\frac{4\pi}{7})+8\cos^3(\frac{8\pi}{7})=-4$
da cui appunto la relazione:
$\cos^3(\frac{2\pi}{7})+\cos^3(\frac{4\pi}{7})+\cos^3(\frac{8\pi}{7})=-\frac{1}{2}$
Saluti a tutti e a presto risentirci per qualche altro rompicapo o rompi... qualcos'altro.
Leandro
sua soluzione e per aver bene intrepretato il titolo del post che si riferiva
appunto alle radici settime dell'unita'.
Per cio' che concerne la mia soluzione ne faccio una sintetica descrizione.
Si puo' osservare che l'equazione di queste radici settime,depurata dell'unica
soluzione reale x=1,e':
(1) $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$
e le sue radici si possono dividere a coppie di complessi coniugati e reciproci
l'uno dell'altro la cui somma e' data da:
$x_1+x_6=x_1+\frac{1}{x_1}=2\cos(\frac{2\pi}{7})$
$x_2+x_5=x_2+\frac{1}{x_2}=2\cos(\frac{4\pi}{7})$
$x_4+x_3=x_4+\frac{1}{x_4}=2\cos(\frac{8\pi}{7})$
Se dividiamo la (1) per $x^3$ abbiamo:
(2 )$(x^3+\frac{1}{x^3})+ (x^2+\frac{1}{x^2})+(x+\frac{1}{x})+1=0$
Ponendo $x+\frac{1}{x}=y$ e quindi $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2,x^3+\frac{1}{x^3}=y^3-3y$,
la (2) diventa :$y^3+y^2-2y-1=0$ le cui radici a,b,c sono proprio
i valori :$a=2\cos(\frac{2\pi}{7}),b=2\cos(\frac{4\pi}{7}),c=2\cos(\frac{8\pi}{7})$ e soddisfano le note relazioni:
$a+b+c=-1,ab+bc+ca=-2,abc=1$
Ora abbiamo:
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=-4$
Ovvero:
$8\cos^3(\frac{2\pi}{7})+8\cos^3(\frac{4\pi}{7})+8\cos^3(\frac{8\pi}{7})=-4$
da cui appunto la relazione:
$\cos^3(\frac{2\pi}{7})+\cos^3(\frac{4\pi}{7})+\cos^3(\frac{8\pi}{7})=-\frac{1}{2}$
Saluti a tutti e a presto risentirci per qualche altro rompicapo o rompi... qualcos'altro.
Leandro
Bravo Leandro!
Piuttosto, ma non so se sia un problema mio, non riesco a vedere
l'ettagonino di Mathmum
Piuttosto, ma non so se sia un problema mio, non riesco a vedere
l'ettagonino di Mathmum
(Bruno)
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{Biagio Marin}
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...a me, purtroppo, succede ancora di non vedere niente
e in alto, di fianco all'indirizzo, mi compare questo:
http://images.altervista.org/images/void.gif.
Se invece ricopio la stringa visualizzata nel messaggio di
Mathmum, riesco a vederelo (ed è bello), ma cliccando
direttamente sul link no.
Bah!
e in alto, di fianco all'indirizzo, mi compare questo:
http://images.altervista.org/images/void.gif.
Se invece ricopio la stringa visualizzata nel messaggio di
Mathmum, riesco a vederelo (ed è bello), ma cliccando
direttamente sul link no.
Bah!
(Bruno)
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l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
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{Rudi Mathematici}
Strano, molto strano, sembrerebbe che Bruno venga reindirizzato ad altro file, magari inesistente.
Per quanto riguarda l'eptagono di Mathmum, direi che ci è stato proposto un nuovo problema:
dimostare che nel triangolo da lei disegnato $\text \alpha =\frac {\pi}{7}; \beta =\frac {2\pi}{7}; \gamma =\frac {3\pi}{7}$, sempre che siano questi i dati sottintesi da
Mathmum, in base all'intervento di Gianfranco, perché ad occhio non sembrerebbe che $\alpha =\frac {\pi}{7}$
Vorrei aggiungere, oltre quanto dimostrato da Gianfranco, che in questo caso:
$\cos^3\alpha + \cos^3\beta + \cos^3\gamma = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = \frac {\large 1}{\large 2}\cos(\alpha+\beta+\gamma)$
...oppure mi sbaglio?
Per quanto riguarda l'eptagono di Mathmum, direi che ci è stato proposto un nuovo problema:
dimostare che nel triangolo da lei disegnato $\text \alpha =\frac {\pi}{7}; \beta =\frac {2\pi}{7}; \gamma =\frac {3\pi}{7}$, sempre che siano questi i dati sottintesi da
Mathmum, in base all'intervento di Gianfranco, perché ad occhio non sembrerebbe che $\alpha =\frac {\pi}{7}$
Vorrei aggiungere, oltre quanto dimostrato da Gianfranco, che in questo caso:
$\cos^3\alpha + \cos^3\beta + \cos^3\gamma = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = \frac {\large 1}{\large 2}\cos(\alpha+\beta+\gamma)$
...oppure mi sbaglio?
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$\text { }$ciao ciao
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mathmum
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x Pasquale
Ho usato Geogebra http://www.geogebra.at, ottimo programma opensource di geometria dinamica,ma devo dire la verità, per fretta ho costruito l'ettagono "da schifo", giusto per rendere l'idea, per quello che dicevo nel mio post che è poco ettagonale....
A breve pubblicherò sulla wiki italiana di geogebra un po' di materiale ad uso "scolastico" (liceo...) che sto preparando, poi vi farò sapere, se vi interessa.
Anche io visualizzo un bel "void" se tento di vedere l'ettagono, se metto i tag "Img" non si vede neanche l'url, così ho taggato l'immagine come "url", almeno c'è l'indirizzo di dove trovarla....
In questi giorni sono un po' come il Bianconiglio di Alice, sono sempre di corsa, ma questo significa anche che sto lavorando parecchio, e non è di certo un male....
a presto,ciao a tutti!
Ho usato Geogebra http://www.geogebra.at, ottimo programma opensource di geometria dinamica,ma devo dire la verità, per fretta ho costruito l'ettagono "da schifo", giusto per rendere l'idea, per quello che dicevo nel mio post che è poco ettagonale....
A breve pubblicherò sulla wiki italiana di geogebra un po' di materiale ad uso "scolastico" (liceo...) che sto preparando, poi vi farò sapere, se vi interessa.
Anche io visualizzo un bel "void" se tento di vedere l'ettagono, se metto i tag "Img" non si vede neanche l'url, così ho taggato l'immagine come "url", almeno c'è l'indirizzo di dove trovarla....
In questi giorni sono un po' come il Bianconiglio di Alice, sono sempre di corsa, ma questo significa anche che sto lavorando parecchio, e non è di certo un male....
a presto,ciao a tutti!
mathmum
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Si,
il link allo script non è più funzionante.
Provvedo a correggere.
Admin
il link allo script non è più funzionante.
Provvedo a correggere.
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
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Purtroppo sembra che il link al sito di John Forkosh, non sia più disponibile;
considerando che lo script mimetex.cgi funziona metà e metà su TopHost, devo trovare una soluzione alternativa.
Vi faccio sapere.
Admin
considerando che lo script mimetex.cgi funziona metà e metà su TopHost, devo trovare una soluzione alternativa.
Vi faccio sapere.
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è normale che le formule mi appaiano inserite in un rettangolo e accompagnate da un quadratino bianco crocettato in rosso ?
Le figure...rimangono un mistero. nel senso che non mi azzardo nemmeno lontanamente a cercare di immetterne una; mentre per quanto attiene il vederle, le cose mi sembrano, da un po' di tempo, meno fluide.
Ma non fìdatevi di quello che dico; in questo campo sono decisamente inaffidabile.
Le figure...rimangono un mistero. nel senso che non mi azzardo nemmeno lontanamente a cercare di immetterne una; mentre per quanto attiene il vederle, le cose mi sembrano, da un po' di tempo, meno fluide.
Ma non fìdatevi di quello che dico; in questo campo sono decisamente inaffidabile.
Enrico