Borges e la tartaruga

[delfo52]

n una parabola si parla di una tartaruga che abita nel fondo del mare e ogni100 anni sporge la testa alla superficie e di un anello che vi galleggia.
E' tanto improbabile che la tartaruga infili la testa nell'anello quanto cheun essere, dopo la morte, si reincarni in un corpo umano.

Ogni quanto tempo, in media, un essere si reincarna in un corpo umano?

Forse questa domanda è più facile di quella sulla durata del kalpa.llan una parabola si parla di una tartaruga che abita nel fondo del mare e ogni100 anni sporge la testa alla superficie e di un anello che vi galleggia.
E' tanto improbabile che la tartaruga infili la testa nell'anello quanto cheun essere, dopo la morte, si reincarni in un corpo umano.

Ogni quanto tempo, in media, un essere si reincarna in un corpo umano?

Forse questa domanda è più facile di quella sulla durata del kalpa.

Un mare per essere tale (non lago, o baia, o oceano) diciamo che ha da essere come minimo 100km x 100km.
La testa della tartaruga è ovviamente puntiforme.
L'anello possiamo generosamente considerarlo una ciambella come quelle dei bambini per galleggiare.
Con un ipotetico diametro di poco più di 40cm, diciamo che la sua superficie è 1/30 di un metroquadro.
siamo a 1 probabilità su 300miliardi che la tartaruga becchi l'anello.
emergendo una volta ogni 100 anni, dopo una decina di trilioni di anni è probabile che ce l'abbia fatta.
Ho assunto le dimensioni più favorevoli all'evento; se consideriamo tutte le acque del globo, se la dimensione della testa dell'anfibio è di poco inferiore all'anello, le cose si complicano

[panurgo]

Borges e la tartaruga

La tartaruga vive sul fondo del mare: qui stiamo parlando del fondale di una piattaforma continentale e non del fondale oceanico troppo inospitale per la mancanza di luce, cibo e per la troppo elevata pressione. Le piattaforme continentali sono il $5\,\%$ della superficie totale dei mari (trovo queste informazioni su Internet e le uso senza controllarle): $18\times 10^6\text{ km}^2$ su $360\times 10^6\text{ km}^2$; non conosciamo la superficie $S$ dell’anello ma ci torneremo in seguito.

Ammettendo che tutta la superficie considerata sia egualmente accessibile al rettile e all’anello (Principio di Indifferenza) possiamo assegnare la probabilità

$\displaystyle \Pr\left(R\middle|S\wedge\top\right)=\frac{S}{18\times 10^6\text{ km}}=50\times 10^{-9}\frac{S}{\text{ km}^2}$

Giusto per semplificare i calcoli possiamo ipotizzare un anello con una superficie di $1\text{ m}^2$: la nostra probabilità diventa allora

$\displaystyle \Pr\left(R\middle|\top\right)=50\times 10^{-15}$

Questà è la probabilità che un qualsiasi essere vivente si reincarni come essere umano.

Assumiamo, sempre in base al Principio di Indifferenza, che la probabilità di reincarnazione di ciascun essere vivente sia indipendente da quella di tutti gli altri: con ciò la probabilità per gli esseri viventi segue una distribuzione binomiale

$\displaystyle \Pr\left(k\middle|n\wedge\top\right)={n \choose k}p^k\left(1-p\right)^{n-k}$

con $p=50\times 10^{-15}$, $n$, numero totale degli esseri viventi, e $k$, numero degli esseri viventi che si reincarnano come esseri umani.

La probabiltà che almento un essere vivente si reincarni come essere umano sarà $1$ meno la probabilità che nessun essere vivente si reincarni

$\displaystyle \Pr\left(k>0\middle|n\wedge\top\right)=1-\Pr\left(k=0\middle|n\wedge\top\right)=1-{n \choose 0}p^0\left(1-p\right)^{n-0}=1-\left(1-p\right)^n$

Ma quanti sono gli esseri viventi (lasciamo fuori le piante che non si reincarnano)? Considerando solo i microrganismi non sbaglieremo di molto: le stime parlano di $5\times 10^{30}$ quindi

$\displaystyle \Pr\left(k>0\middle|n\wedge\top\right)=1-\left(1-50\times10^{-9}\right)^{5\times 10^{30}}=1-10^{-10^{28}}=1-10^{-10\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000}$

[panurgo]

Completo il post precedente.

Dato un evento con probabilità $p$, l'expectation del numero di tentivi necessari perchè l'evento si verifichi è $\frac1p$.

Infatti, la probabilità che l'evento si verifichi esattamente al $k$-esimo tentativo è $q^{k-1}p$ con $q=1-p$: calcoliamo l'expectation

$\displaystyle \left\langle k\middle|\top\right\rangle
=\sum_{k=1}^\infty{k\cdot q^{k-1}p}
=p\sum_{k=0}^\infty{k\cdot q^{k-1}}
=p\sum_{k=0}^\infty{\frac{d}{dq}q^k}
=p\frac{d}{dq}\sum_{k=0}^\infty{q^k}
=p\frac{d}{dq}\frac1{1-q}
=p\frac1{\left(1-q\right)^2}=\frac1p
$

Poiché

$\displaystyle \frac1{1-10^{-10\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000}}\approx 1$

siamo abbastanza sicuri che almeno un essere vivente si reincarni in un umano: quant'era la vita media di un microrganismo?