Quadrato Magico S&P

[franco]

Risolvere lo schema qui sotto sapendo che:

• $A$, $B$, $C$, ..., $H$ e $I$ sono tutti numeri interi positivi distinti

• Il prodotto $P$ delle tre righe è lo stesso

• La somma $S$ delle tre colonne è la stessa ed è il minimo numero primo possibile

• Nessuno dei numeri presenti nello schema è un quadrato perfetto

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www.diophante.fr
B142

P.S.
Sarebbe carino evitare di usare il computer per trovare la soluzione.
Chi preferisse quella strada potrebbe limitarsi a postare il listato del programma lasciando il tempo anche a chi eventualmente volesse cimentarsi a mano

Grazie a Bruno per la segnalazione dell'errore nel testo

[Bruno]

• La somma $S$ delle tre colonne è la stessa ed è la minima possibile

Franco, mi sembra di aver capito che la somma $S$ debba essere il più piccolo numero primo possibile.

[franco]

• La somma $S$ delle tre colonne è la stessa ed è la minima possibile

Franco, mi sembra di aver capito che la somma $S$ debba essere il più piccolo numero primo possibile.

Hai ragione Bruno, grazie per aver controllato il testo in originale

Correggo il post originario.

[delfo52]

...e io che avevo appena trovato le terne senza vincolo di primalità !
3 - 4 - 20
8 - 6 - 5
15 - 16 - 1

ero partito dal prodotto 240, che , a occhio, mi pareva promettente come punto di arrivo di numeri diversi

poi , visto il totale della somma dei termini dei prodotti=78, ho sistemato le colonne perché facessero tutte 26 alla somma.
A questo punto basta moltiplicare tutto finchè il multiplo di 26 non è primo… pardon !

[Pasquale]

Ho provato, ma ho trovato necessario l'ausilio del calcolatore in una prima fase, mentre ho proceduto a mano per l'incasellamento dei 9 numeri, di cui ho provato varie combinazioni possibili, in cerca di quella con somme minori.
Per quanto riguarda la grandezza delle 3 somme fra loro uguali, mi pare che la più piccola possibile corrisponda comunque ad un numero primo : la precisazione è un aiuto in più.
Inoltre, vorrei ricordare che fra le condizioni viene precisato anche che nessun numero incasellato debba essere un quadrato perfetto.
Ad ogni buon fine, salvo migliore soluzione, posso azzardare che le tre somme ed i tre prodotti siano uguali rispettivamente a 37 ed 840.

28 - 06 - 05 -> 840
07 - 10 - 12 -> 840
02 - 21 - 20 -> 840
37 -37 - 37

Somme minori, anche se non corrispondenti a numeri primi, non ne ho trovate.

[Lucignolo]

da incolonnare le somme

2 18 30 : 5 8 27 : 6 12 15 Somma 41 Prodotto 1080
2 20 21 : 3 10 28 : 7 8 15 Somma 38 Prodotto 840
2 20 21 : 5 6 28 : 7 10 12 Somma 37 Prodotto 840
3 15 32 : 5 12 24 : 6 8 30 Somma 45 Prodotto 1440
3 24 35 : 5 18 28 : 10 12 21 Somma 52 Prodotto 2520
3 28 30 : 6 12 35 : 10 14 18 Somma 52 Prodotto 2520
6 20 21 : 7 12 30 : 10 14 18 Somma 46 Prodotto 2520
6 20 33 : 10 18 22 : 11 12 30 Somma 54 Prodotto 3960
8 18 35 : 10 21 24 : 12 15 28 Somma 57 Prodotto 5040
10 18 28 : 12 20 21 : 14 15 24 Somma 54 Prodotto 5040

[franco]

da incolonnare le somme

Sa un po' tanto di soluzione trovata col PC

Comunque sembra confermare che S=37 è il valore minimo (e rispetta anche il criterio di "primalità" che però a questo punto non capisco come mai sia stato inserito nel testo del problema)

In realtà poi nel sito Francese il problema era completato anche dalla richiesta di dimostrare che la soluzione è unica.
Immagino che col PC tutte le possibili combinazioni di numeri siano state provate e il fatto che non compaiano fra quelle risolutive sia una evidenza indiscutibile, sarebbe però interessante una qualche dimostrazione che si basi meno sulla forza bruta!

[delfo52]

la prima soluzione con somma 41 mi sembra rispondere

[franco]

la prima soluzione con somma 41 mi sembra rispondere

anche io avevo avuto qualche dubbio ma mi sembra che torni, incolonnando per bene le cifre:

02 x 18 x 30 = 1080
27 x 08 x 05 = 1080
12 x 15 x 06 = 1080
-----------------
41 . 41 . 41

[Bruno]

Ricordiamo l'ottima soluzione di Pasquale, che è la terza di Lucignolo:

28 x 6 x 5 = 840
+
7 x 10 x 12 = 840
+
2 x 21 x 20 = 840
-------------
37, 37, 37

[delfo52]

quindi la soluzione non è unica

[Lucignolo]

ho scritto qualche riga di codice, utilizzando i primi 30 numeri non quadrati
ora ho rifatto l'elaborazione utilizzando i primi 40 numeri non quadrati:

2 18 30 : 5 8 27 : 6 12 15 Somma 41 Prodotto 1080
2 18 35 : 3 10 42 : 6 7 30 Somma 51 Prodotto 1260
2 20 21 : 3 10 28 : 7 8 15 Somma 38 Prodotto 840
2 20 21 : 5 6 28 : 7 10 12 Somma 37 Prodotto 840
2 20 42 : 5 12 28 : 6 7 40 Somma 54 Prodotto 1680
2 21 40 : 5 8 42 : 6 10 28 Somma 54 Prodotto 1680
2 21 44 : 3 22 28 : 7 11 24 Somma 54 Prodotto 1848
2 28 30 : 3 14 40 : 8 10 21 Somma 52 Prodotto 1680
2 28 30 : 6 7 40 : 8 14 15 Somma 50 Prodotto 1680
2 28 45 : 6 10 42 : 8 15 21 Somma 59 Prodotto 2520
2 30 42 : 7 8 45 : 10 12 21 Somma 59 Prodotto 2520
3 15 32 : 5 12 24 : 6 8 30 Somma 45 Prodotto 1440
3 21 40 : 6 10 42 : 7 12 30 Somma 57 Prodotto 2520
3 21 40 : 6 14 30 : 7 18 20 Somma 53 Prodotto 2520
3 22 40 : 6 10 44 : 8 11 30 Somma 58 Prodotto 2640
3 24 35 : 5 18 28 : 10 12 21 Somma 52 Prodotto 2520
3 28 30 : 6 12 35 : 10 14 18 Somma 52 Prodotto 2520
3 28 40 : 5 21 32 : 10 14 24 Somma 59 Prodotto 3360
3 33 40 : 8 11 45 : 12 15 22 Somma 63 Prodotto 3960
5 18 44 : 6 22 30 : 10 12 33 Somma 60 Prodotto 3960
5 18 44 : 8 11 45 : 10 12 33 Somma 62 Prodotto 3960
5 24 33 : 6 15 44 : 11 12 30 Somma 60 Prodotto 3960
6 20 21 : 7 12 30 : 10 14 18 Somma 46 Prodotto 2520
6 20 33 : 10 18 22 : 11 12 30 Somma 54 Prodotto 3960
6 21 40 : 8 14 45 : 12 15 28 Somma 63 Prodotto 5040
6 24 35 : 8 15 42 : 12 14 30 Somma 62 Prodotto 5040
6 26 30 : 10 12 39 : 13 18 20 Somma 58 Prodotto 4680
6 28 33 : 11 12 42 : 14 18 22 Somma 62 Prodotto 5544
6 28 39 : 12 13 42 : 14 18 26 Somma 66 Prodotto 6552
6 30 42 : 12 18 35 : 14 20 27 Somma 68 Prodotto 7560
6 30 44 : 11 18 40 : 15 22 24 Somma 70 Prodotto 7920
6 33 40 : 12 15 44 : 18 20 22 Somma 70 Prodotto 7920
7 24 44 : 11 21 32 : 12 22 28 Somma 67 Prodotto 7392
7 24 45 : 10 18 42 : 14 20 27 Somma 69 Prodotto 7560
7 32 45 : 8 30 42 : 15 24 28 Somma 77 Prodotto 10080
8 18 35 : 10 21 24 : 12 15 28 Somma 57 Prodotto 5040
8 21 40 : 10 24 28 : 14 15 32 Somma 64 Prodotto 6720
8 33 45 : 11 27 40 : 18 22 30 Somma 78 Prodotto 11880
10 18 28 : 12 20 21 : 14 15 24 Somma 54 Prodotto 5040
12 35 44 : 20 28 33 : 21 22 40 Somma 85 Prodotto 18480

[Bruno]

quindi la soluzione non è unica

Lo è per S = 37, essendo 37 il più piccolo numero primo utilizzabile nel gioco.
Anche 59 è un numero primo, però non è il minimo e non ammette una sola soluzione.

[Pasquale]

Osservazioni sul quesito e sulla soluzione.

Relativamente al mio modo di procedere e considerato che altro non ho saputo trovare, nell'impostazione della ricerca della combinazione dei 9 numeri "vincenti", ho considerato condizioni necessarie, ma purtroppo non sufficienti, che la somma dei 9 numeri dovesse essere un multiplo di 3 e che contemporaneamente il loro prodotto fosse un cubo perfetto, di modo che, una volta incasellati opportunamente i 9 numeri nel quadrato da 3x3, risultassero le 3 somme delle 3 colonne da 3 numeri uguali ad 1/3 della somma dei 9 numeri.
Inoltre il prodotto delle 3 righe orizzontali da 3 numeri avrebbero avuto come prodotto la radice cubica del prodotto dei 9 numeri.
Quali però i 9 numeri giusti ? Nella pratica ho dovuto affidare al p.c. il compito di scegliere combinazioni varie di 9 numeri, con le due condizioni di cui sopra, da incasellare poi manualmente nella griglia. Questa operazione è stata abbastanza laboriosa ed ha rivelato che le due condioni citate non erano sufficienti, perché nella maggior parte dei casi accadeva che i 9 numeri non erano incasellabili senza ripetizioni. o che qualcuno dei 9 numeri non fosse valido ai fini della soluzione. Ad esempio può accadere che il valore risultante dalla suddetta radice cubica non trova fra i nove numeri un divisore esatto fra i 3 che devono comporre una riga, oppure che uno stesso numero sia da utilizzare anche per la somma.
In pratica ho dovuto procedere per tentativi e quando ho trovato una soluzione, ho modificato la routine di ricerca (concepita in modo casuale), in modo da escludere risultati con valori superiori a quelli di una soluzione già trovata. Così facendo, pian piano, tenendo a riferimento le somme delle terzine in colonna, sono andato ad esaminare solo quelle di valore a decrescere, finché sono giunto al 37, al di sotto del quale nessun altro minor valore è risultato possibile. Certamente non può considerarsi una dimostrazione, ma di meglio non ho saputo fare. Ho anche provato ad imporre nella ricerca la somma 31 , inteso come primo numero primo minore del 37: il risultato è stato che in corrispondenza non è venuto fuori nessuna radice cubica esatta, che avrebbe dovuto contribuire alla ricerca dei 3 prodotti in riga. In definitiva, non ho individuato una strategia per la dimostrazione richiesta.
Potrei dire che 37 è la soluzione, lasciando ad altri l'onere di dimostrarne il contrario, o anche l'esattezza.

Aggiungo la routine di lavoro:

DIM a(26)
DIM b(9)
DATA 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24,26,27,28,29,30,31

FOR m=1 TO 26
READ a(m)
NEXT M

RANDOMIZE
DO
FOR m=1 TO 9
10 LET x=1+INT(RND*26)
LET b(m)=a(x)
FOR n=1 TO m-1
IF b(m)=b(n) THEN GOTO 10
NEXT N
NEXT M

LET s=0
LET p=1
FOR m=1 TO 9
LET s=s+b(m)
LET p=p*b(m)
NEXT M
IF MOD(s,3)=0 AND p^(1/3)=INT(p^(1/3)) THEN ' (qui è possibile aggiungere ad esempio un AND s<=111, per restringere la ricerca)
FOR m=1 TO 9
PRINT b(m);
NEXT M
PRINT " - ";s/3 ;p^(1/3)
END IF
LOOP
END

[Lucignolo]

ma così vai a pescare a caso ogni volta nella speranza di trovare la combinazione che risponda ai criteri
e le combinazioni di 26 numeri sono 26! ovvero 4,0329E26
quanto tempo ci metti a trovare una combinazione?
molto interessante il modo in cui hai impostato il criterio di selezione della combinazione di 9 numeri...

io invece ho creato 4060 combinazioni di terni (su 30 numeri) e ho lavorato direttamente su quelle
anche se... poi in effetti le ho controllate su tre righe, quindi il compito totale era di 67 miliardi di passaggi... (4060^3)