Minor numero di passaggi

[Gianfranco]

Questo è quasi un esercizio scolastico, ma mi ha incuriosito.

Dimostrare nel minor numero possibile di passaggi che:
$\large 5^{38} \equiv 4 \pmod {11}$

[Pasquale]

Purtroppo, recentemente vedo solo comandi che non conosco, racchiusi fra due simboli di dollaro, all'interno dei quali, in questo caso, vedo:

\large 5^{38} \equiv 4 \pmod {11} che potrei tradurre come 5^(38) = MOD(4,11), il che apparirebbe un po' strano.

Trattasi di comandi per me incomprensibili e fra l'altro non vedo più sulla barra in alto i vecchi comandi riferibili a TEX o LATEX o altri che non posso citare, perchè non più visibili.

[Gianfranco]

Scusa Pasquale, forse è MathJax che non va, temporaneamente.
L'uguaglianza è:

5^38 = 4 (mod 11)

[Pasquale]

Ciao Gianfranco, non ho fatto a tempo a terminare il mio post con qualche modifica per meglio precisare le mie perplessità, che già vedo nella tua risposta quello che pensavo fosse una stranezza, che invece tu mi confermi.

Vedo adesso che sto scrivendo, qui sopra, una barra intitolata "regole del forum" ed un link ad un Tutorial sulla scrittura delle formule con \text{TeX}, che leggo fra due segni di dollaro, e \text{MathJax} anch'essa fra due segni di $. Non so se questi segni di dollaro sono proprio così o se sono io che li vedo così.
Poi ci sono altri due link relativi a Geogebra e ad immagini da file.

Comunque, darò uno sguardo a questi link appena possibile e speriamo bene.

L'immagine del mio ultimo post l'ho inserito trascinando il relativo file nella finestra del post, senza accorgermi di queste novità, a parte il fatto che sotto l'immagine compare una scritta col nome del file, che mi pare non comparisse precedentemente.

Non vedo più il comando IMG ed altri di cui adesso non ho memoria. Serve un corso di istruzione?

[Bruno]

Il primo pensiero che ho avuto è questo.
Verifico subito (direi mentalmente) che:
$5^3 = 125 \equiv 4 \; (\text{mod}\;11) $,
$5^2 = 25 \equiv 3 \; (\text{mod}\;11) $.
Moltiplicando membro a membro queste congruenze si ottiene $\;5^5 \equiv 12 \equiv 1 \; (\text{mod}\;11)$, per cui anche $\;5^{5\cdot 7} = 5^{35} \equiv 1 \; (\text{mod}\;11) $.
Il prodotto di quest'ultima per $\;5^3 \equiv 4 \; (\text{mod}\;11)\;$ fornisce così la congruenza data.
Tuttavia non so, Gianfranco, se questo si avvicini a ciò che chiedevi o ti aspettavi...

[Gianfranco]

Ciao Bruno,
mi interessava conoscere uno o più punti di vista sulla soluzione.
Infatti ho visto una soluzione che iniziava pomposamente applicando il "piccolo" teorema di Fermat che dice:
$\large a^{p} \equiv a \pmod {p}$
ovvero
$\large a^{p-1} \equiv 1 \pmod {p}$
cominciando con l'affermare che:
$\large 5^{10} \equiv 1 \pmod {11}$
ma poi la dimostrazione continuava con una lunga serie di passaggi simili ai tuoi.
In definitiva, in questo caso, il teorema di Fermat è poco utile.

[Bruno]

Certo, Gianfranco, sono d'accordo: rispetto alla soluzione che hai visto, in effetti mi pare che sia possibile essere molto più snelli (come ho tentato di mostrare ieri).
Il piccolo teorema di Fermat è uno strumento notevole, al quale non si giunge in due passi.
Al momento, comunque, non ho idee più brevi ed 'economiche'