Qua e là, con leggerezza.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Qua e là, con leggerezza.
1) Qualunque valore intero assuma $n$, $\;2^n+n^2\;$ non è mai divisibile per $\;7$.
2) Dal più piccolo al più grande, calpestando un po' un esagono regolare.
3)
4) Se $\;4\cdot n^2 + 23\;$ è divisibile per $\;3$, allora anche $\;(n+1)\cdot(2\cdot n+1)\;$ lo è.
5) A colpo d'occhio (quasi): qual è il rapporto fra le aree grigie e quelle bianche?
2) Dal più piccolo al più grande, calpestando un po' un esagono regolare.
3)
4) Se $\;4\cdot n^2 + 23\;$ è divisibile per $\;3$, allora anche $\;(n+1)\cdot(2\cdot n+1)\;$ lo è.
5) A colpo d'occhio (quasi): qual è il rapporto fra le aree grigie e quelle bianche?
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Qua e là, con leggerezza.
5.
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
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Qua e là, con leggerezza - 5
Per il Teorema di Pick l'area di un poligono con i vertici sul reticolo degli interi vale
$\displaystyle A=I+\frac{P}2-1$
dove $I$ è il numero di punti interni e $P$ è il numero di punti sul perimetro.
Con riferimento alla figura, tenendo conto che 1) vi è un ugual numero di poligoni dei due colori e 2) i punti sul confine tra poligoni di colore diverso contribuiscono allo stesso modo alle due aree, è sufficiente contare i punti interni e quelli perimetrali che appartengono ad solo un poligono: poiché è $I = 4$ e $P = 4$ per entrambi i colori le due aree sono uguali.
$\displaystyle A=I+\frac{P}2-1$
dove $I$ è il numero di punti interni e $P$ è il numero di punti sul perimetro.
Con riferimento alla figura, tenendo conto che 1) vi è un ugual numero di poligoni dei due colori e 2) i punti sul confine tra poligoni di colore diverso contribuiscono allo stesso modo alle due aree, è sufficiente contare i punti interni e quelli perimetrali che appartengono ad solo un poligono: poiché è $I = 4$ e $P = 4$ per entrambi i colori le due aree sono uguali.
Ultima modifica di panurgo il sab gen 12, 2019 11:21 am, modificato 1 volta in totale.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Qua e là, con leggerezza.
Oggi mi sento aritmetico...
$\large 2^n MOD 7 =\{1, 2, 4\}$
$\large n^2 MOD 7 = \{0, 1, 2, 4\}$
Nessuna combinazione di resti dà come somma 0 oppure 7.
Quindi si può concludere persino che:
Qualunque valore intero assumano $a, b: 2^a+b^2$ non è mai divisibile per 7.
$\large 4n^2+23=4n^2+2=2n^2+1=2n^2+3n+1=(n+1)(2n+1)$
Bravissimi Franco e Panurgo!
Si può dimostrare in modo intuitivo esplorando i MOD dei due addendi:
$\large 2^n MOD 7 =\{1, 2, 4\}$
$\large n^2 MOD 7 = \{0, 1, 2, 4\}$
Nessuna combinazione di resti dà come somma 0 oppure 7.
Quindi si può concludere persino che:
Qualunque valore intero assumano $a, b: 2^a+b^2$ non è mai divisibile per 7.
In MOD 3 (dato che $4n^2+23$ è divisibile per 3 e visto che $4n^2+2$ è pari):
$\large 4n^2+23=4n^2+2=2n^2+1=2n^2+3n+1=(n+1)(2n+1)$
Bravissimi Franco e Panurgo!
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Qua e là, con leggerezza - 1
Mentre tu così ti sentivi io così la stavo mettendo…
Gran Padre Gauss,
$2^0\equiv 1 \left(\text{mod }7\right)$ e $2\equiv 2 \left(\text{mod }7\right)$, ma il prodotto di due numeri è congruente al prodotto delle due congruenze quindi le potenze di due sono congruenti a $7$ come $0,\,2,\,4$, ovvero $1,\,2,\,4$. Infatti, $2^3=8\equiv 1 \left(\text{mod }7\right)$, $2^4=2^3\equiv2=1\cdot2\equiv 2 \left(\text{mod }7\right)$ ecc.
Qualunque numero può essere espresso come un multiplo di sette più un resto, $n=7q+r\equiv r \left(\text{mod }7\right)$; il quadrato di numero sarà dunque $n^2=49q^2+14rq+r^2=7\left(7q^2+2rq\right)+r^2\equiv r^2\left(\text{mod }7\right)$: ovvero, il quadrato di un numero è congruente con il quadrato della sua congruenza e ci basta controllare le congruenze dei quadrati dei resti modulo sette
$\displaystyle 0^2\equiv0,\qquad1^2\equiv1,\qquad2^2\equiv4,\qquad3^2\equiv2,\qquad4^2\equiv2,\qquad5^2\equiv4,\qquad6^2\equiv1\qquad\left(\text{mod }7\right)$
Il secondo ciclo è $0,\,1,\,4,\,2,\,2,\,4,\,1$: abbiamo ventuno combinazioni, riportate in tabella
$\begin{array}{ccccC}\hline
n & 2^n & n^2 & 2^n+n^2 \\
\hline
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 2 \\
2 & 4 & 4 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 3 \\
4 & 2 & 2 & 4 \\
5 & 4 & 4 & 1 \\
6 & 1 & 1 & 2 \\
7 & 2 & 0 & 2 \\
8 & 4 & 1 & 5 \\
9 & 1 & 4 & 5 \\
10 & 2 & 2 & 4 \\
11 & 4 & 2 & 6 \\
12 & 1 & 4 & 5 \\
13 & 2 & 1 & 3 \\
14 & 4 & 0 & 4 \\
15 & 1 & 1 & 2 \\
16 & 2 & 4 & 6 \\
17 & 4 & 2 & 6 \\
18 & 1 & 2 & 3 \\
19 & 2 & 4 & 6 \\
20 & 4 & 1 & 5 \\
\hline
\end{array}$
Da qui in poi tutto si ripete…
Ultima modifica di panurgo il dom gen 13, 2019 9:52 am, modificato 1 volta in totale.
il panurgo
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Re: Qua e là, con leggerezza.
I due triangoli in figura sono simili con gli angoli sul vertice dell’esagono di $15°$, il lato dell’esagono vale $\sqrt2$: il lato del quadrato grande vale
$\displaystyle L=1+\sqrt2\cos15°+\left(1-\sqrt2\sin15°\right)\tan15°=6-2\sqrt3$.
il panurgo
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Re: Qua e là, con leggerezza - 5
Questo teorema proprio non l'avevo mai sentito.
Bellissimo!
Franco
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Re: Qua e là, con leggerezza.
Essendo $4\cdot n^2+23$ divisibile per $3$, ne deduciamo che $4\cdot n^2$ deve essere intero.
Quindi $n$, a sua volta, o è intero, oppure è un razionale avente $2$ al denominatore; ossia $n = \large\frac{m}{2}$ con $m$ intero.
Sfruttiamo il fatto che, aggiungendo o sottraendo una quantità divisibile per $3$ alla nostra espressione, essa continua ad essere divisibile per $3$.
Aggiungiamo dunque $6\cdot n$ (sicuramente divisibile per $3$, dato $n = \large\frac{m}{2}$ con $m$ intero) e sottraiamo $21$ (divisibile per $3$), dalla nostra espressione.
Si ottiene:
$ 4\cdot n^2+23 + 6\cdot n - 21 \equiv 0\pmod 3 \qquad\Rightarrow\qquad 4\cdot n^2 + 6\cdot n + 2 \equiv 0\pmod 3 \qquad\Rightarrow\qquad 2\cdot(n+1)\cdot(2\cdot n+1) \equiv 0\pmod 3$
Quindi
$(n+1)\cdot(2\cdot n+1) \equiv 0\pmod 3$
Saluti
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Re: Qua e là, con leggerezza.
Molto bravi tutti
Grazie, Gianfranco, per la tua puntuale generalizzazione di {1} e grazie a Guido per la gustosa citazione del Teorema di Pick per {5}.
A proposito del quinto quesito, a me è capitato di "raddrizzare" alcuni triangoli inclinati all'interno dell'ottagono regolare, proprio come illustro nella prima immagine allegata. Operando così (su due triangoli bianchi e uno grigio), le aree scure e chiare sono apparse perfettamente bilanciate.
Riguardo a {4}, si può anche vedere cosa succede sommando o sottraendo le sue espressioni, scoprendo così che:
4·n² + 23 + (n + 1)·(2·n + 1) = 3·( 2·n² + n + 8 ).
Qualche idea sul terzo quiz? (Il simbolo di sottrazione va preso con le pinzette...)
Grazie, Gianfranco, per la tua puntuale generalizzazione di {1} e grazie a Guido per la gustosa citazione del Teorema di Pick per {5}.
A proposito del quinto quesito, a me è capitato di "raddrizzare" alcuni triangoli inclinati all'interno dell'ottagono regolare, proprio come illustro nella prima immagine allegata. Operando così (su due triangoli bianchi e uno grigio), le aree scure e chiare sono apparse perfettamente bilanciate.
Riguardo a {4}, si può anche vedere cosa succede sommando o sottraendo le sue espressioni, scoprendo così che:
4·n² + 23 + (n + 1)·(2·n + 1) = 3·( 2·n² + n + 8 ).
Qualche idea sul terzo quiz? (Il simbolo di sottrazione va preso con le pinzette...)
(Bruno)
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Re: Qua e là, con leggerezza.
6]
ABC è un triangolo equilatero, nel quale è inscritto un esagono regolare.
ABG e DEF sono simili.
Data l'area t del triangolino evidenziato, quanto vale l'area di ABG ?
7]
Trovare l'intero $x$.
$\LARGE{\sqrt[\small 3]{\sqrt{2^{\small (x+1)\cdot (x \, mod \, 3)}}}\; = \; 131072.}$
8]
ABC è un triangolo equilatero, nel quale è inscritto un esagono regolare.
ABG e DEF sono simili.
Data l'area t del triangolino evidenziato, quanto vale l'area di ABG ?
7]
Trovare l'intero $x$.
$\LARGE{\sqrt[\small 3]{\sqrt{2^{\small (x+1)\cdot (x \, mod \, 3)}}}\; = \; 131072.}$
8]
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Re: Qua e là, con leggerezza.
Seguo le mie preferenze aritmetiche.
$\Large{2^{(x+1)\cdot (x \, mod \, 3)}}=2^{2\cdot 3\cdot 17}$
da cui:
$\Large(x+1)\cdot (x \, mod \, 3)=2\cdot 3\cdot 17$
Si nota che il primo membro deve essere multiplo di 3 e che x MOD 3 non può essere nullo, perciò:
$\Large x \, mod \, 3 = 2$
Sostituendo nell'equazione precedente:
$\Large(x+1)\cdot 2=2\cdot 3\cdot 17$
da cui:
$\Large x=50$
---
P.S. per Bruno e per tutti.
Secondo me sarebbe meglio creare un nuovo post per ogni nuovo problema o piccolo gruppo di problemi.
Se si aggiungono nuovi problemi all'interno di una discussione, si corre il rischio di perderli o di ritrovarli con difficoltà in futuro.
Il rischio aumenta quando la discussione si estende su più pagine.
Meglio non correre il rischio di perdersi cose preziose!
Dopo qualche passaggio aritmetico, si trova:
$\Large{2^{(x+1)\cdot (x \, mod \, 3)}}=2^{2\cdot 3\cdot 17}$
da cui:
$\Large(x+1)\cdot (x \, mod \, 3)=2\cdot 3\cdot 17$
Si nota che il primo membro deve essere multiplo di 3 e che x MOD 3 non può essere nullo, perciò:
$\Large x \, mod \, 3 = 2$
Sostituendo nell'equazione precedente:
$\Large(x+1)\cdot 2=2\cdot 3\cdot 17$
da cui:
$\Large x=50$
---
P.S. per Bruno e per tutti.
Secondo me sarebbe meglio creare un nuovo post per ogni nuovo problema o piccolo gruppo di problemi.
Se si aggiungono nuovi problemi all'interno di una discussione, si corre il rischio di perderli o di ritrovarli con difficoltà in futuro.
Il rischio aumenta quando la discussione si estende su più pagine.
Meglio non correre il rischio di perdersi cose preziose!
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Qua e là, con leggerezza.
Ottimo, Gianfranco
Hai perfettamente ragione, seguirò senz'altro la tua indicazione
Hai perfettamente ragione, seguirò senz'altro la tua indicazione
(Bruno)
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$\displaystyle x:5=2:3 \Longrightarrow 5+x=\frac{25}3$
il panurgo
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Re: Qua e là, con leggerezza.
6.
Il triangolo DEF ha area pari a 2t (stessa base e altezza doppia).
ABG è simile a DEF con base tripla (e quindi anche altezza tripla) quindi la sua area dovrebbe essere 18t
... se&o
Il triangolo DEF ha area pari a 2t (stessa base e altezza doppia).
ABG è simile a DEF con base tripla (e quindi anche altezza tripla) quindi la sua area dovrebbe essere 18t
... se&o
Franco
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Re: Qua e là, con leggerezza.
Perfetto
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