Un "periodico" particolare...
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Un "periodico" particolare...
In generale , l'estrazione di radice di un numero non è un'operazione interna all'insieme dei numeri razionali.
E allora come si spiega il fatto che se si sostituisce il valore n = 30 nella funzione
$f(n) = \displaystyle\frac{\sqrt{\frac{9}{121}*10^n+\frac{(121-44)+n}{121}}}{10^{n-1}}$
Si ottiene $\displaystyle0,27272727...$ = $\displaystyle0,(\overline{27})$ = $\displaystyle\frac{27}{99}$
ossia un numero periodico e quindi razionale?
Notte.peppe
E allora come si spiega il fatto che se si sostituisce il valore n = 30 nella funzione
$f(n) = \displaystyle\frac{\sqrt{\frac{9}{121}*10^n+\frac{(121-44)+n}{121}}}{10^{n-1}}$
Si ottiene $\displaystyle0,27272727...$ = $\displaystyle0,(\overline{27})$ = $\displaystyle\frac{27}{99}$
ossia un numero periodico e quindi razionale?
Notte.peppe
Ultima modifica di peppe il sab mar 12, 2016 2:48 pm, modificato 1 volta in totale.
Peppe
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Re: Un "periodico" particolare...
Peppe, a me viene così:
0.000000000000002727272727272727272727272727288939393939393939393939393939345753367003...
E' un irrazionale ingannevolmente periodico.
Per ottenere il tuo risultato, il denominatore dovrebbe essere 10^(n/2)
0.000000000000002727272727272727272727272727288939393939393939393939393939345753367003...
E' un irrazionale ingannevolmente periodico.
Per ottenere il tuo risultato, il denominatore dovrebbe essere 10^(n/2)
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Un "periodico" particolare...
I calcoli con sufficiente precisione dovrebbero dare questo risultato:
0, 27272 72727 27272 72727 27272 72727 27272 72727 27272 72727 27272 72728 75757
57575 75757 57575 75757 57575 75757 57575 75757 57575 75757 57571 71548
dal quale si vede benissimo che non è periodico.
Il fatto che le cifre 27 si ripetono per ben 30 volte (se ho contato bene), induce a
pensare che il numero sia periodico.
"Fidarsi e bene ma non fidarsi è meglio" per i matematici diventa:
"NON fidarsi è meglio!" senza se e senza ma.
Non penso che hai usato la calcolatrice di Windows per ottenere il tuo risultato...
Probabilmente la differenza dipende dallo strumento usato.
Ma quel che conta è la "filosofia" del paradosso: non saltare facilmente a conclusioni sballate!
Ciao.peppe
0, 27272 72727 27272 72727 27272 72727 27272 72727 27272 72727 27272 72728 75757
57575 75757 57575 75757 57575 75757 57575 75757 57575 75757 57571 71548
dal quale si vede benissimo che non è periodico.
Il fatto che le cifre 27 si ripetono per ben 30 volte (se ho contato bene), induce a
pensare che il numero sia periodico.
"Fidarsi e bene ma non fidarsi è meglio" per i matematici diventa:
"NON fidarsi è meglio!" senza se e senza ma.
Non penso che hai usato la calcolatrice di Windows per ottenere il tuo risultato...
Probabilmente la differenza dipende dallo strumento usato.
Ma quel che conta è la "filosofia" del paradosso: non saltare facilmente a conclusioni sballate!
Ciao.peppe
Peppe
Re: Un "periodico" particolare...
Mi sono ricordato di un esempio che il Prof. Giulio Cesare Barozzi, di Uninettuno, fa in un
suo libro, circa la periodicità di alcune frazioni.
[...]
Dopo tutto, esistono frazioni, come $\frac{1}{113}$, che hanno una
rappresentazione decimale periodica con periodo costituito da 112 cifre.
[...]
Ho fatto il calcolo utilizzando WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4
Ecco ilrisultato:
1/113 =
0.0088495575221238938053097345132743362831858407079646017699115044247787610619469026548672566371681415929203539823...(period 112)
Ciao.
---
P.S.
Da molto tempo non usavo LaTex (ora anche math), e confesso che ho dovuto
sudare un bel po'.
A proposito delle parentesi graffe { }
con la mia tastiera devo digitare:
alt gr + shift + [ per avere {
e
alt gr + shift + ] per avere }
suo libro, circa la periodicità di alcune frazioni.
[...]
Dopo tutto, esistono frazioni, come $\frac{1}{113}$, che hanno una
rappresentazione decimale periodica con periodo costituito da 112 cifre.
[...]
Ho fatto il calcolo utilizzando WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4
Ecco ilrisultato:
1/113 =
0.0088495575221238938053097345132743362831858407079646017699115044247787610619469026548672566371681415929203539823...(period 112)
Ciao.
---
P.S.
Da molto tempo non usavo LaTex (ora anche math), e confesso che ho dovuto
sudare un bel po'.
A proposito delle parentesi graffe { }
con la mia tastiera devo digitare:
alt gr + shift + [ per avere {
e
alt gr + shift + ] per avere }
Peppe
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Re: Un "periodico" particolare...
OK, giusto così (in Windows).A proposito delle parentesi graffe { }
con la mia tastiera devo digitare:
alt gr + shift + [ per avere {
e
alt gr + shift + ] per avere }
Domanda:
La formula che hai proposto è esattamente questa?
Perché mettere (121-44) tra parentesi?
$\Large f(n) = \displaystyle\frac{\sqrt{\frac{9}{121} \cdot 10^n+\frac{(121-44)+n}{121}}}{10^{n-1}}$
Con MathJax c'è quel +n che rimane fuori dalla radice quadrata, per lo meno nel mio computer.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Un "periodico" particolare...
Accidenti!
"n" è DENTRO la parentesi : (121-44+n).
Ora la riscrivo :
$f(n) = \displaystyle\frac{\sqrt{\frac{9}{121}*10^n+\frac{(121-44+n)}{121}}}{10^{n-1}}$
Scusa Gianfranco.
"n" è DENTRO la parentesi : (121-44+n).
Ora la riscrivo :
$f(n) = \displaystyle\frac{\sqrt{\frac{9}{121}*10^n+\frac{(121-44+n)}{121}}}{10^{n-1}}$
Scusa Gianfranco.
Peppe
Re: Un "periodico" particolare...
E allora, riepilogando:
Ho digitato su WolframAlpha:
{sqrt {((9)/(121))*10^30+(((121-44+30))/(121))}}/{10^(30-1)}
e ho ottenuto il numero: Decimal approximation:
2.7272727272727272727272727272889393939393939393939393939393457533670033670033670033670036534425271230826786... × 10^-15
che è lo stesso trovato da te.
0.000000000000002727272727272727272727272727288939393939393939393939393939345753367003...
Quindi il risultato che aveva trovato l'autore del quesito è sbagliato!
Ma ripeto, più che il risultato, ha voluto mettere in risalto l'inganno che cela.
Scusami.
Ho digitato su WolframAlpha:
{sqrt {((9)/(121))*10^30+(((121-44+30))/(121))}}/{10^(30-1)}
e ho ottenuto il numero: Decimal approximation:
2.7272727272727272727272727272889393939393939393939393939393457533670033670033670033670036534425271230826786... × 10^-15
che è lo stesso trovato da te.
0.000000000000002727272727272727272727272727288939393939393939393939393939345753367003...
Quindi il risultato che aveva trovato l'autore del quesito è sbagliato!
Ma ripeto, più che il risultato, ha voluto mettere in risalto l'inganno che cela.
Scusami.
Peppe
Re: Un "periodico" particolare...
In matematica può essere fin troppo facile saltare a conclusioni sbagliate.
Ecco un esempio.
Prendete un cerchio, segnate due punti sulla circonferenza e uniteli con un segmento. Saluti.peppe
Ecco un esempio.
Prendete un cerchio, segnate due punti sulla circonferenza e uniteli con un segmento. Saluti.peppe
Peppe
Re: Un "periodico" particolare...
...E non è ancora finita!
Un altro buono esempio di conclusione sballata è
Il problema di Malfatti
Dato un triangolo, come bisogna disporre al suo interno tre cerchi
che non si sovrappongono, se si vuole che la loro area sia la maggiore possibile?
Si tratta di un problema di imballaggio formulato per la prima volta nel 1803.
Malfatti credeva di avere trovato la soluzione ottimale, ma ...
https://it.wikipedia.org/wiki/Cerchi_di_Malfatti
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Malfatti
http://alpha.science.unitn.it/~andreatt ... nfcopy.pdf
Anche i grandi hanno preso qualche granchio... Notte.peppe
Un altro buono esempio di conclusione sballata è
Il problema di Malfatti
Dato un triangolo, come bisogna disporre al suo interno tre cerchi
che non si sovrappongono, se si vuole che la loro area sia la maggiore possibile?
Si tratta di un problema di imballaggio formulato per la prima volta nel 1803.
Malfatti credeva di avere trovato la soluzione ottimale, ma ...
https://it.wikipedia.org/wiki/Cerchi_di_Malfatti
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Malfatti
http://alpha.science.unitn.it/~andreatt ... nfcopy.pdf
Anche i grandi hanno preso qualche granchio... Notte.peppe
Peppe
Re: Un "periodico" particolare...
Ho dato in pasto a Derive la funzione f(n) ottenendo
$\frac{\sqrt{9*10^n+n+77}}{11*10^{n-1}}$
Ponendo n=30 si ottiene
$\frac{\sqrt{9*10^{30}+107}}{11*10^29}$
cioè
$\frac{ \sqrt{9000000000000000000000000000107}}{1100000000000000000000000000000}$
Il radicando di $\sqrt{9*10^{30}+107}$ termina con la cifra 7 e quindi non può essere un quadrato perfetto in quanto i quadrati perfetti possono terminare solo con le cifre 0 o 1 o 4 o 5 o 6 o 9. Il radicale non può dunque essere un numero razionale e quindi la rappresentazione decimale di f(30) non può essere periodica.
Ciao
Vittorio
$\frac{\sqrt{9*10^n+n+77}}{11*10^{n-1}}$
Ponendo n=30 si ottiene
$\frac{\sqrt{9*10^{30}+107}}{11*10^29}$
cioè
$\frac{ \sqrt{9000000000000000000000000000107}}{1100000000000000000000000000000}$
Il radicando di $\sqrt{9*10^{30}+107}$ termina con la cifra 7 e quindi non può essere un quadrato perfetto in quanto i quadrati perfetti possono terminare solo con le cifre 0 o 1 o 4 o 5 o 6 o 9. Il radicale non può dunque essere un numero razionale e quindi la rappresentazione decimale di f(30) non può essere periodica.
Ciao
Vittorio
Vittorio
Re: Un "periodico" particolare...
Digitando la formula scritta in modo sintetico come da te suggerito:
sqrt(9*10^30+107)/11*10^29
WolframAlpha restituisce lo stesso risultato di Derive:
$\displaystyle\frac{\sqrt{9000000000000000000000000000077}}{1100000000000000000000000000000}$
approssimazione decimale:
$\displaystyle2,727272727272727272727272727284393939393939393939393 ... × 10^{-15}$
Scrivi:
"Il radicando termina con la cifra 7 e quindi non può essere un quadrato perfetto
in quanto i quadrati perfetti possono terminare solo con le cifre 0 o 1 o 4 o 5 o 6 o 9"
Giusta osservazione.
Infatti, è su questo principio che si basa il calcolo mentale della radice quadrata di un quadrato perfetto, come
si può leggere (con l'aiuto della traduzione maccheronica di Google) qui:
https://liberius1776.wordpress.com/2008 ... t-squares/
Oppure vedere in questi filmati:
https://www.youtube.com/watch?v=RB72oh7Gn4w
https://www.youtube.com/watch?v=6BTr-ZI2a4w
(Non capisco una sola parola di quello che dicono, ma riesco a seguirli per intuizione)
Ciao.peppe
sqrt(9*10^30+107)/11*10^29
WolframAlpha restituisce lo stesso risultato di Derive:
$\displaystyle\frac{\sqrt{9000000000000000000000000000077}}{1100000000000000000000000000000}$
approssimazione decimale:
$\displaystyle2,727272727272727272727272727284393939393939393939393 ... × 10^{-15}$
Scrivi:
"Il radicando termina con la cifra 7 e quindi non può essere un quadrato perfetto
in quanto i quadrati perfetti possono terminare solo con le cifre 0 o 1 o 4 o 5 o 6 o 9"
Giusta osservazione.
Infatti, è su questo principio che si basa il calcolo mentale della radice quadrata di un quadrato perfetto, come
si può leggere (con l'aiuto della traduzione maccheronica di Google) qui:
https://liberius1776.wordpress.com/2008 ... t-squares/
Oppure vedere in questi filmati:
https://www.youtube.com/watch?v=RB72oh7Gn4w
https://www.youtube.com/watch?v=6BTr-ZI2a4w
(Non capisco una sola parola di quello che dicono, ma riesco a seguirli per intuizione)
Ciao.peppe
Peppe
Re: Un "periodico" particolare...
Circa la somma di potenze citata da Peppe, potrebbe risultare interessante la ricerca di equivalenze approssimate: l'equivalenza più approssimata vincerà il 1° premio.
Ad esempio, con un approssimazione di circa $15*10^{-9}$, possiamo scrivere che: $39^4+202^4+251^4 \simeq 274^4$, cioè: $5636405858 \simeq 5636405776$
Ad esempio, con un approssimazione di circa $15*10^{-9}$, possiamo scrivere che: $39^4+202^4+251^4 \simeq 274^4$, cioè: $5636405858 \simeq 5636405776$
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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E' la somma che fa il totale (Totò)