Due numeri primi
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Due numeri primi
Salve boys
Uno dei classici rompicapo made Renatino!
Ricordandosi di un problema postogli il giorno prima da Renatino,Luigino riflette:
"Allora considero un quadrato di lato unitario (L1=1), lo suddivido in n*n quadrati ove n è un numero primo.
Della griglia quadrata così formata calcolo il perimetro ( es se dividessi il quadrato in 2*2=4 quadrati lo sviluppo perimetrale della griglia sarebbe uguale a 6)
Indico tale misura con L2 e dunque costruisco un quadrato di lato L2.Lo suddivido in k*k quadrati ove k è un primo diverso da n.
Misuro il perimetro della griglia quadrata che ne deriva e indico tale misura come L3.
Costruisco un quadrato di lato L3 e stavolta lo suddivido creando una griglia quadrata di 2(n-1)*2(n-1) quadrati.
Trovo ancora una volta il perimetro della griglia che avrà misura L4.
Costruisco un ultimo quadrato di lato L4.
Ora confronto tale quadrato con un quadrato che invece ha lato n.
Se verifico che il lato del quadrato da me costruito è esattamente 20160 volte più grande del lato del quadrato di lato n,
quali sono i numeri primi n e k?"
"Quanti,gatti e numeri"
Bye David
Uno dei classici rompicapo made Renatino!
Ricordandosi di un problema postogli il giorno prima da Renatino,Luigino riflette:
"Allora considero un quadrato di lato unitario (L1=1), lo suddivido in n*n quadrati ove n è un numero primo.
Della griglia quadrata così formata calcolo il perimetro ( es se dividessi il quadrato in 2*2=4 quadrati lo sviluppo perimetrale della griglia sarebbe uguale a 6)
Indico tale misura con L2 e dunque costruisco un quadrato di lato L2.Lo suddivido in k*k quadrati ove k è un primo diverso da n.
Misuro il perimetro della griglia quadrata che ne deriva e indico tale misura come L3.
Costruisco un quadrato di lato L3 e stavolta lo suddivido creando una griglia quadrata di 2(n-1)*2(n-1) quadrati.
Trovo ancora una volta il perimetro della griglia che avrà misura L4.
Costruisco un ultimo quadrato di lato L4.
Ora confronto tale quadrato con un quadrato che invece ha lato n.
Se verifico che il lato del quadrato da me costruito è esattamente 20160 volte più grande del lato del quadrato di lato n,
quali sono i numeri primi n e k?"
"Quanti,gatti e numeri"
Bye David
Re: Due numeri primi
L1 = 1
L2 = 2(n+2)
L3 = 2(k+2)L2 = 4(n+2)(k+2)
L4 = 2[(2(n-1)+2]L3 = 4n*4(n+2)(k+2) = 16n(n+2)(k+2)
e deve essere
L4 = 20160n
quindi
16n(n+2)(k+2) = 20160n
semplifico
(n+2)(k+2) = 1260
Se n e k fossero dispari, (n+2) e (k+2) sarebbero sempre dispari, e moltiplicati non potrebbero dare un numero pari, cioè 1260.
Quindi uno dei due deve essere il numero primo pari, cioè 2.
n e k sono poi interscambiabili, quindi
Se n=2, allora
4(k+2) = 1260
quindi
k = 313 (numero primo!)
viceversa se k =2
quindi le soluzioni sono 2:
n=2 e k=313
oppure
n=313 e k=2
L2 = 2(n+2)
L3 = 2(k+2)L2 = 4(n+2)(k+2)
L4 = 2[(2(n-1)+2]L3 = 4n*4(n+2)(k+2) = 16n(n+2)(k+2)
e deve essere
L4 = 20160n
quindi
16n(n+2)(k+2) = 20160n
semplifico
(n+2)(k+2) = 1260
Se n e k fossero dispari, (n+2) e (k+2) sarebbero sempre dispari, e moltiplicati non potrebbero dare un numero pari, cioè 1260.
Quindi uno dei due deve essere il numero primo pari, cioè 2.
n e k sono poi interscambiabili, quindi
Se n=2, allora
4(k+2) = 1260
quindi
k = 313 (numero primo!)
viceversa se k =2
quindi le soluzioni sono 2:
n=2 e k=313
oppure
n=313 e k=2
la matematica è un opinione
Re: Due numeri primi
Probabilmente si è generato un equivoco dalla tua formula si nota che L2=2(n+2), ossia per n=2 si avrebbe L2=8 mentre il perimetro della griglia che si forma in tal caso è pari a 6.(il perimetro esterno 1*4+il perimetro della croce interna 0.5*4)
Mi scuso se non sono stato abbastanza chiaro nell'esposizione.
Ciao
Mi scuso se non sono stato abbastanza chiaro nell'esposizione.
Ciao
Re: Due numeri primi
Ops errore! Sei stato chiaro, sono io che ho sbagliato
L2 = 2(n+1)L1
(n+1 è il numero di linee verticali, e di linee orizzontali, moltiplicate per la lunghezza delle linee, ovvero del lato del quadrato originale)
quindi, dato L1 = 1
L2 = 2(n+1)
è la versione corretta
Ci riprovo...
L1 = 1
L2 = 2(n+1)L1 = 2(n+1)
L3 = 2(k+1)L2 = 4(n+1)(k+1)
L4 = 2[(2(n-1)+1]L3 = 2(2n-1)*4(n+1)(k+1) = 8(2n-1)(n+1)(k+1)
e deve essere
L4 = 20160n
quindi
8(2n-1)(n+1)(k+1) = 20160n
semplifico
(2n-1)(n+1)(k+1) = 2520n
e qui per ora mi fermo...
L2 = 2(n+1)L1
(n+1 è il numero di linee verticali, e di linee orizzontali, moltiplicate per la lunghezza delle linee, ovvero del lato del quadrato originale)
quindi, dato L1 = 1
L2 = 2(n+1)
è la versione corretta
Ci riprovo...
L1 = 1
L2 = 2(n+1)L1 = 2(n+1)
L3 = 2(k+1)L2 = 4(n+1)(k+1)
L4 = 2[(2(n-1)+1]L3 = 2(2n-1)*4(n+1)(k+1) = 8(2n-1)(n+1)(k+1)
e deve essere
L4 = 20160n
quindi
8(2n-1)(n+1)(k+1) = 20160n
semplifico
(2n-1)(n+1)(k+1) = 2520n
e qui per ora mi fermo...
la matematica è un opinione
Re: Due numeri primi
Provo a proseguire...
(2n-1)(n+1)(k+1) = 2520n
esplicito k
k = [2520n/(2n-1)(n+1)]-1
e posso provare tutti gli n che sono numeri primi...
n=2, k=559 niente da fare
n=3, k=125 niente da fare
n=5, k=232,333 niente da fare
n=7, k=168,615 niente da fare
n=11, k=109 bingo!
Ciò non esclude che ci siano altre coppie di numeri primi che soddisfano l'equazione
(2n-1)(n+1)(k+1) = 2520n
esplicito k
k = [2520n/(2n-1)(n+1)]-1
e posso provare tutti gli n che sono numeri primi...
n=2, k=559 niente da fare
n=3, k=125 niente da fare
n=5, k=232,333 niente da fare
n=7, k=168,615 niente da fare
n=11, k=109 bingo!
Ciò non esclude che ci siano altre coppie di numeri primi che soddisfano l'equazione
la matematica è un opinione
Re: Due numeri primi
Lo escludo io. Il difficile, adesso, è dimostrarlo (senza un computer!), se possibile trovando il modo di risolvere la tua equazione in n e k senza andare per (troppi) tentativi.
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
Re: Due numeri primi
Risposta esatta boys.
Per dimostrare che 11 e 109 sono gli unici primi potrebbe aiutarvi scrivere la relazione cosi?
$\Large \ k=\frac{n(2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7)}{(2n+2)(2n-1)}-1$
Bye David
Per dimostrare che 11 e 109 sono gli unici primi potrebbe aiutarvi scrivere la relazione cosi?
$\Large \ k=\frac{n(2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7)}{(2n+2)(2n-1)}-1$
Bye David
Re: Due numeri primi
$\Large k=\frac{n(2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7)}{(2n+2)(2n-1)}-1$David ha scritto:Per dimostrare che 11 e 109 sono gli unici primi potrebbe aiutarvi scrivere la relazione cosi?
$\Large \ k=\frac{n(2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7)}{(2n+2)(2n-1)}-1$
$\Large k=\frac{n7!}{(2n+2)(2n-1)}-1$
poi per ora niente altro...
la matematica è un opinione
Re: Due numeri primi
Provo ad andare avanti... altra strada
$\Large k=\frac{n7!}{(2n+2)(2n-1)}-1$
$\Large k=\frac{2520n}{(n+1)(2n-1)}-1$
analizzo la funzione...
$\Large \frac{2520n}{(n+1)(2n-1)}$
deve certamente essere un numero intero, quindi deve essere perfettamente divisibile per
$(n+1)(2n-1)$
posso poi tranquillamente dire che
$n+1$
e
$2n-1$
non saranno mai divisibili per $n$, quindi
$(n+1)(2n-1)$
possono al massimo essere pari a 2520, quindi
$(n+1)(2n-1)\le2520$
anzi, se dessero 2520, allora k sarebbe pari (sarebbe infatti n+1), quindi posso ridurre l'equazione a
$(n+1)(2n-1)<2520$
svolgo un pò di conti e trovo che n deve essere
$-36,004401136 < n < 35,004401136$
scarto i valori negativi e i numeri non primi e trovo che n deve essere
$n \le 31$
ovvero ho ridotto n a 11 valori possibili:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
e qui per ora mi rifermo...
$\Large k=\frac{n7!}{(2n+2)(2n-1)}-1$
$\Large k=\frac{2520n}{(n+1)(2n-1)}-1$
analizzo la funzione...
$\Large \frac{2520n}{(n+1)(2n-1)}$
deve certamente essere un numero intero, quindi deve essere perfettamente divisibile per
$(n+1)(2n-1)$
posso poi tranquillamente dire che
$n+1$
e
$2n-1$
non saranno mai divisibili per $n$, quindi
$(n+1)(2n-1)$
possono al massimo essere pari a 2520, quindi
$(n+1)(2n-1)\le2520$
anzi, se dessero 2520, allora k sarebbe pari (sarebbe infatti n+1), quindi posso ridurre l'equazione a
$(n+1)(2n-1)<2520$
svolgo un pò di conti e trovo che n deve essere
$-36,004401136 < n < 35,004401136$
scarto i valori negativi e i numeri non primi e trovo che n deve essere
$n \le 31$
ovvero ho ridotto n a 11 valori possibili:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
e qui per ora mi rifermo...
la matematica è un opinione
Re: Due numeri primi
Ripartendo dalla relazione (2n-1)(n+1)(k+1) = 2520n , abbiamo:
$(2n^2+n-1)(k+1) = 2520n$
Poiché k è primo, pongo k+1 = 2j
$(2n^2+n-1)2j =2520n$
$j = \frac{1260n}{2n^2+n-1}$
Il denominatore non può assumere i valori 1 o n , che renderebbero n non intero, nè altri divisori di n, essendo questo primo; quindi deve essere un divisore di 1260, affinché j sia intero, altrimenti non sarebbe intero nemmeno k.
Allora:
$2n^2+n-1 \le 1260$
$2n^2+n-1261\le 0$
la diseguaglianza si verifica per:
$-25,36 \le n \le 24,85$
o meglio, considerate le premesse:
$2 \le n \le 23$
In conclusione, si riducono a 9 i valori fra cui scegliere n: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e scelgo a primo colpo 11, perché sta giusto al centro (ih, ih).
$(2n^2+n-1)(k+1) = 2520n$
Poiché k è primo, pongo k+1 = 2j
$(2n^2+n-1)2j =2520n$
$j = \frac{1260n}{2n^2+n-1}$
Il denominatore non può assumere i valori 1 o n , che renderebbero n non intero, nè altri divisori di n, essendo questo primo; quindi deve essere un divisore di 1260, affinché j sia intero, altrimenti non sarebbe intero nemmeno k.
Allora:
$2n^2+n-1 \le 1260$
$2n^2+n-1261\le 0$
la diseguaglianza si verifica per:
$-25,36 \le n \le 24,85$
o meglio, considerate le premesse:
$2 \le n \le 23$
In conclusione, si riducono a 9 i valori fra cui scegliere n: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e scelgo a primo colpo 11, perché sta giusto al centro (ih, ih).
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: Due numeri primi
Beh, battute a parte, butto lì una quasi curiosità:Pasquale ha scritto:
In conclusione, si riducono a 9 i valori fra cui scegliere n: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e scelgo a primo colpo 11, perché sta giusto al centro (ih, ih).
Secondo voi è solo un caso che 11 oltre ad essere la soluzione è anche la mediana del gruppo ed il valore che più si avvicina al valor medio del gruppo stesso?
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...
Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]
Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg
Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]
Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg
Re: Due numeri primi
Beh, i numeri sono pochi e sono i primi della sequenza, quelli più ravvicinati; c'è più d'una coppia a distanza 2; è quasi una successione ed 11 è quasi la media, se è questo il senso della domanda; se invece intuisci o hai meditato che la soluzione dell'equazione debba essere il valore medio fra i possibili candidati, allora hai trovato il modo di dare una ragione valida alla mia soluzione scherzosa, che tale resta, perché per me l'11 è stata la soluzione più gradevole, in quanto così mi ha detto la testa guardando quei 9 numeri; alla fine ho voluto dare una vaga giustificazione con la posizione occupata (quindi più mediana che valore medio, anche se i due valori sono vicini).
Fabtor (non so se sia la contrazione di fabbricatore), sei arguto e curioso, studioso e pensatore ed è perciò che mi piaci.
Fabtor (non so se sia la contrazione di fabbricatore), sei arguto e curioso, studioso e pensatore ed è perciò che mi piaci.
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$\text { }$ciao ciao
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