$226$

[Bruno]

Alle ore 2 e 4 minuti di sabato scorso (9 ottobre) sono stati registrati 226 utenti connessi a BASE Cinque

Erich Friedman segnala che 226 sono le prime tre cifre di $\;\pi^{226}$.

Già che ci siamo, possiamo anche dire che $\;e^{\pi \sqrt{226}}\;$ è prossimo a un numero intero



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Poscritto: 164 (precedente record).

[Quelo]

$(226)_{2+2+6}=226$

Credo che la seconda sia $\pi^{e\sqrt{226}}$

[Bruno]

Vero

[Bruno]

$(226)_{2+2+6}=226$

Ispirato da questo fatto, Sergio, mi sono chiesto:

qual è la più piccola potenza di 226 tale che, esprimendola nelle basi da 2 a 9 e sommando i valori ottenuti come se fossero scritti nell'usuale base decimale, si ottenga un multiplo di 226?

Faccio un esempio con 21.
La minima potenza è 21⁷. Infatti si ottiene, riscrivendola nelle basi precedenti 10 e sommando i risultati con 'disinvoltura':
1101011010110100110111000011101+11122112001210000000+1223112212320131+12142034313131+454415324513+62430000000+15326467035+4575053000
= 1101011010121223457903203488911
= 21×52429095720058259900152547091.

Tornando a 226, non me lo aspettavo, ho trovato questa potenza minima: $226^{708}$.

Con 227 il più piccolo esponente è 192, ma con 225?
Si scopre che per 225 l'operazione sopra descritta non fornisce mai un multiplo di 225: di fatto, traducendo questo numero nelle basi da 2 a 9, l'ultima cifra è sempre 1 [2], 0 [3], 1 [4], 0 [5], 3 [6], 1 [7], 1 [8] e 0 [9], la cui somma - 7 - non è divisibile per 5, che è un divisore di 225.

[Quelo]

Interessante approfondimento

Una curiosità, che software usi per gestire numeri così grandi?

[Bruno]

Per le cose più "spicce", Sergio, utilizzo la versione gratuita di MAGMA: creo la ruotine e la incollo nel box. Qui ho usato il codice:

Codice: Seleziona tutto

m:= 226 ;
h:= 3000 ; 
// Fissiamo il numero da testare e il range per l'esponente.
[k: k in [1..h] | &+[Seqint(Intseq(m^k,n)): n in [2..9]] mod m eq 0];  
// [Seqint(Intseq(m^k,n)): n in [2..9]]   converte m^k nelle basi da 2 a 9.
// &+[Seqint(Intseq(m^k,n)): n in [2..9]]   somma i valori ottenuti.
// &+[Seqint(Intseq(m^k,n)): n in [2..9]] mod m eq 0   seleziona le somme calcolate multiple di m.

Però tale versione ha un limite di tempo nell'elaborazione. Per esempio, se porti i calcoli ad h=4000, il processo viene abortito.
Comunque MAGMA ha un corredo di ottime funzioni e una sintassi abbordabile.

In certi casi faccio ricorso a Maxima, Julia, PARI/GP etc. o addirittura a Wolfram Mathematica.

Mi è capitato anche di usare Decimal Basic, che trovo molto versatile, ma non sono un esperto

[Quelo]

Grazie dei suggerimenti, dovrei studiarmi un po' come funzionano i vari software.

Con Decimal Basic mi trovo bene, ma purtroppo ha il limite delle 1000 cifre