Potenze con tutte le cifre.

[Bruno]

L'amico Sergio Casiraghi ha pubblicato qualche giorno fa questo problema:

B5 - Sergio - Potenze.png (212.5 KiB) Visto 6210 volte

( Quelo, devo dirti che ti ho pensato appena l'ho letto )

[Quelo]

Trattandosi di potenze, possiamo supporre che nei numeri molto grandi le cifre siano distribuite in modo uniforme.
Già intorno alle 20 cifre dovremmo trovare tutte le cifre da 0 a 9.
Se poi consideriamo che 2^98 ha 30 cifre e contiene tutte le cifre da 0 a 9 è difficile ipotizzare che non esista una potenza con base maggiore di 2 e con un esponente di due cifre che contenga tutte le cifre da 0 a 9.
Comunque proviamo velocemente tutte le basi da 2 a 99 e vediamo che tutte hanno una potenza pan-digitale con esponente di massimo 2 cifre (mediamente le potenze più piccole hanno tra le 15 e le 30 cifre).
Casi particolari sono i numeri che terminano con 0, ma anche in questi casi gli esponenti non superano il 51.
Naturalmente le potenze di 10 hanno solo 2 cifre, per qualunque esponente.
Da segnalare $5^{19}=19073486328125$ e $15^{12}=129746337890625$ che hanno ogni cifra ripetuta al massimo 2 volte.

[Bruno]

Fra parentesi, possiamo segnalare anche la quarta potenza di 69636 (però non è l'unico caso), che si scrive utilizzando tutte le cifre esattamente 2 volte:
69636⁴ = 23514473895962870016.
Oppure quest'altro fatto: 32043² = 1026753849 (in buona compagnia).


Ma come escludiamo, Sergio, che esistano potenze minime "pan-digitali" con esponenti di tre cifre?

[Quelo]

Non so se esiste un criterio di pandigitalità da verificare, però intanto ho testato fino a $999999^{99}$ che ha 594 cifre

[Pasquale]

Aggiungerei a riguardo delle potenze formate da 10 cifre diverse (ripetute una sola volta) che, oltre la più piccola già segnalata da Bruno $32043^2 = 1026753849$, ne troviamo in totale 87, tutte potenze del 2, di cui la maggiore $9814072356 = 99066^2$

Inoltre, con basi entro i 100.000 e risultati da 20 cifre, comprendenti tutte le 10 cifre ripetute 2 volte, compresa quella già segnalata, abbiamo:

$69636^4 = 23514473895962870016$
$70215^4 = 24306341799881750625$
$77058^4 = 35259076387041812496$
$80892^4 = 42817597245013360896$

[Bruno]

Ottimo, Pasquale

... oltre la più piccola già segnalata da Bruno $32043^2 = 1026753849$ , ne esistono in totale 87, tutte potenze del 2 ...

Mi sembrava infatti che 1026753849 fosse in buona compagnia

[Quelo]

Aggiungerei a riguardo delle potenze formate da 10 cifre diverse, ripetute una sola volta, che oltre la più piccola già segnalata da Bruno $32043^2 = 1026753849$ , ne esistono in totale 87, tutte potenze del 2, di cui la maggiore $9814072356 = 99066^2$

Inoltre, con basi entro i 100.000 e risultati da 20 cifre, comprendenti tutte le 10 cifre ripetute 2 volte, compresa quella già segnalata, abbiamo:

$69636^4 = 23514473895962870016$
$70215^4 = 24306341799881750625$
$77058^4 = 35259076387041812496$
$80892^4 = 42817597245013360896$

Per i quadrati bi-pan-digitali (che sono circa mezzo milione), vi rimando a questo post
Quadrati bi-pan-digitali

[Bruno]

Grazie, Sergio

Qualche altra idea sul problema iniziale?