Trovare l'area dei triangoli massimi che possono essere inscritti in un ellisse di semiassi a e b e descrivere detti triangoli
un po' di geometria
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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un po' di geometria
Mi sono imbattuto in un problema carino...
Trovare l'area dei triangoli massimi che possono essere inscritti in un ellisse di semiassi a e b e descrivere detti triangoli
Trovare l'area dei triangoli massimi che possono essere inscritti in un ellisse di semiassi a e b e descrivere detti triangoli
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Soluzione?
I triangoli massimi inscritti nell'ellisse sono infiniti e hanno il primo vertice in posizione arbitraria sull'ellisse e gli altri due a distanza di 120° l'uno dall'altro. In altre parole per avere un triangolo di area massima è sufficiente che i tre raggi vettori congiungenti il centro dell'ellisse con i vertici del triangolo siano tre segmenti equidistanziati angolarmente di 120°.
L'area di tali triangoli massimi vale, salvo errori,
$\frac{3\sqr{3}}{4}ab$,
ovvero il 41,35% di quella dell'intero ellisse.
Ho determinato la soluzione considerando dapprima l'area di un generico triangolo inscritto nell'ellisse in funzione degli angoli dei tre vertici rispetto al semiasse maggiore positivo, successivamente, ho espresso l'area in funzione degli incrementi tra un angolo e il successivo ed infine, ho massimizzato tale area.
L'area di tali triangoli massimi vale, salvo errori,
$\frac{3\sqr{3}}{4}ab$,
ovvero il 41,35% di quella dell'intero ellisse.
Ho determinato la soluzione considerando dapprima l'area di un generico triangolo inscritto nell'ellisse in funzione degli angoli dei tre vertici rispetto al semiasse maggiore positivo, successivamente, ho espresso l'area in funzione degli incrementi tra un angolo e il successivo ed infine, ho massimizzato tale area.
Ogni limite ha una pazienza! (Totò)
L'area dei triangoli è esatta, la costruzione... un po' meno!
In figura, il triangolo rosso è costruito come da te proposto; il triangolo grigio è il triangolo massimo con il vertice in comune: dovrebbe essere evidente, confrontando le parti di area non comuni, che il triangolo grigio è più esteso
In figura, il triangolo rosso è costruito come da te proposto; il triangolo grigio è il triangolo massimo con il vertice in comune: dovrebbe essere evidente, confrontando le parti di area non comuni, che il triangolo grigio è più esteso
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Curioso!
Ho fatto il conto con l'ellisse $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ e ponendo il primo vertice del triangolo in (a,0). In tal caso gli angoli tra due vertici successivi centrati nell'origine risultano essere di 120 gradi, e l'area del triangolo risultante... udite udite... $3\sqrt{3}/4$.
Il che significa che ho sbagliato qualcosa, dato che hai detto, Panurgo, che la costruzione non è esatta ma l'area sì.
Riporto ciò che ho pensato io:
usiamo le coordinate polari, $x=r \cos \theta,\ y=r \sin \theta$. I tre vertici del triangolo, ponendo il primo in (a,0), saranno:
$A=(a,0), \hspace{1cm} B=(a \cos \beta,b \sin \beta), \hspace{1cm} C=(a \cos \gamma,b \sin \gamma)$
L'area del triangolo sarà
$S(\beta,\gamma)=\frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & a \cos \beta & a \cos \gamma \\ 0 & b \sin \beta & b \sin \gamma \end{array} \right| = \frac{1}{2}ab|\cos \beta \sin \gamma-\cos \gamma \sin \beta-\sin \gamma+\sin \beta|$
Condizione necessaria per massimizzare tale quantità sarà quindi l'annullarsi del gradiente della funzione
$f:\ (x,y) \mapsto \cos x \sin y-\cos y \sin x - \sin y+\sin x$
Il che ci porta al sistema
$\left{ \begin{array}{l} -\sin x \sin y - \cos x \cos y + \cos x=0 \\ \cos x \cos y+\sin x \sin y-\cos y=0\end{array} \right.$
In particolare $\cos x = \cos y$, da cui è facile intuire che a meno di scambiare x con y, la soluzione è
$\beta=x=\frac{2 \pi}{3}, \hspace{1cm} \gamma=y=\frac{4 \pi}{3}$
Andando a sostituire in S, $S(\frac{2 \pi}{3},\frac{4 \pi}{3})=\frac{3}{4}\sqrt{3}$.
Se questo conto non presenta errori, dovrei aver dimostrato che distanziando ogni vertice dal successivo di 120 gradi, e ponendone uno in (a,0), si raggiunge l'area presunta massima $3\sqrt{3}/4$.
Ho fatto il conto con l'ellisse $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ e ponendo il primo vertice del triangolo in (a,0). In tal caso gli angoli tra due vertici successivi centrati nell'origine risultano essere di 120 gradi, e l'area del triangolo risultante... udite udite... $3\sqrt{3}/4$.
Il che significa che ho sbagliato qualcosa, dato che hai detto, Panurgo, che la costruzione non è esatta ma l'area sì.
Riporto ciò che ho pensato io:
usiamo le coordinate polari, $x=r \cos \theta,\ y=r \sin \theta$. I tre vertici del triangolo, ponendo il primo in (a,0), saranno:
$A=(a,0), \hspace{1cm} B=(a \cos \beta,b \sin \beta), \hspace{1cm} C=(a \cos \gamma,b \sin \gamma)$
L'area del triangolo sarà
$S(\beta,\gamma)=\frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & a \cos \beta & a \cos \gamma \\ 0 & b \sin \beta & b \sin \gamma \end{array} \right| = \frac{1}{2}ab|\cos \beta \sin \gamma-\cos \gamma \sin \beta-\sin \gamma+\sin \beta|$
Condizione necessaria per massimizzare tale quantità sarà quindi l'annullarsi del gradiente della funzione
$f:\ (x,y) \mapsto \cos x \sin y-\cos y \sin x - \sin y+\sin x$
Il che ci porta al sistema
$\left{ \begin{array}{l} -\sin x \sin y - \cos x \cos y + \cos x=0 \\ \cos x \cos y+\sin x \sin y-\cos y=0\end{array} \right.$
In particolare $\cos x = \cos y$, da cui è facile intuire che a meno di scambiare x con y, la soluzione è
$\beta=x=\frac{2 \pi}{3}, \hspace{1cm} \gamma=y=\frac{4 \pi}{3}$
Andando a sostituire in S, $S(\frac{2 \pi}{3},\frac{4 \pi}{3})=\frac{3}{4}\sqrt{3}$.
Se questo conto non presenta errori, dovrei aver dimostrato che distanziando ogni vertice dal successivo di 120 gradi, e ponendone uno in (a,0), si raggiunge l'area presunta massima $3\sqrt{3}/4$.
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Mentre mi studio la tua, posto la mia soluzione
Per prima cosa vediamo quali sono i triangoli di area massima in un cerchio.
Tracciata la corda $c$, congiungente i punti $\text A$ e $\text B$
si traccia la perpendicolare al punto arbitrario $\text C$
e lo si congiunge con il suo piede ottenendo l'altezza del triangolo
È evidente che l'altezza (e quindi l'area) è massima quando la perpendicolare coincide con l'asse della corda e il triangolo è isoscele: dato che questo ragionamento vale per ciascuno dei tre lati, i triangoli di area massima sono triangoli equilateri con $A \/ = \/ \frac {3 \/ \sqrt {3}} 4\/ r^{\script 2}$.
La cosa si può dimostrare anche per via analitica
Con riferimento alla figura, l'area del triangolo è pari a
$A \/ = \/ \frac {\overline {\text PB} \/ \left ( h_{\script {\text A}} + h_{\script {\text C}}\right )} 2$
con
$\overline {\text PB} \/ = \/ \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ x_{\script {\text C}} \/ + \/ r$
tenuto conto che è
$x_{\script {\text A}} \/ + \/ x_{\script {\text C}} \/ = \/ \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ \overline {\text OA^{\script '}}$
e, dato che i triangoli $\raisebox{8}{\triangle \atop{\text AA^{\script '}P}}$ e $\raisebox{8}{\triangle \atop{\text CC^{\script '}P}}$ sono simili
$\frac {x_{\script {\text A}}} { x_{\script {\text C}}} \/ = \/ \frac {h_{\script {\text A}}} { h_{\script {\text C}}}$
si ha
$x_{\script {\text C}} \/ = \/ \frac { h_{\script {\text C}} \/ \left ( \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ \overline {\text OA^{\script '}} \right ) } {h_{\script {\text A}} \/ + \/ h_{\script {\text C}}}$
e
$A \/ = \/ \frac {\overline {\text PB} \/ \left (h_{\script {\text A}} \/ + \/ h_{\script {\text C}} \right ) } 2 \/ = \/ \frac { \left ( r \/ + \/ \overline {\text OC^{\script '}} \right ) \/ \left (h_{\script {\text A}} \/ - \/ h_{\script {\text C}} \right ) \/ - \/ h_{\script {\text C}} \/ \left ( \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ \overline {\text OA^{\script '}} \right ) } 2$
Sostituendo
$h_{\script {\text A}} \/ = \/ r \/ \sin \vartheta_{\script {\text A}} \\ h_{\script {\text C}} \/ = \/ r \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \\ \overline {\text OA^{\script '}} \/ = \/ - \/ r \/ \cos \vartheta_{\script {\text A}} \\ \overline {\text OC^{\script '}} \/ = \/ - \/ r \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}}$
otteniamo
$A \/ = \/ \frac {r^{\script 2}} 2 \/ \left \{ \left (1 \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \/ \left (\sin \vartheta_{\script {\text A}} \/ + \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \/ - \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \/ \left (\cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \right \}$
Cerchiamo i minimi e i massimi derivando l'area rispetto ai due angoli e uguagliando a zero
$\left \{ \frac {\partial A} {\partial \vartheta_{\script {\text A}} } \/ \propto \/ \left ( 1 \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \/ \cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ +\/ \/ \sin \vartheta_{\script {\text A}} \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \/ = \/ 0 \\ \frac {\partial A} {\partial \vartheta_{\script {\text C}} } \/ \propto \/ \left ( 1 \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text A}} \right ) \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \/ +\/ \/ \sin \vartheta_{\script {\text A}} \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \/ = \/ 0 \right .$
cioè, come differenza delle due equazioni
$\cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ - \cancel { \cos \vartheta_{\script {\text A}} \cos \vartheta_{\script {\text C}}} \/ = \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \/ - \/ \cancel { \cos \vartheta_{\script {\text A}} \cos \vartheta_{\script {\text C}}}$
e
$\cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ = \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \qquad \Rightarrow \qquad \vartheta_{\script {\text A}} \/ = \/ \vartheta_{\script {\text C}} \/ = \/ \vartheta$
quindi
$\cos \vartheta \/ - \/ \cos^{\script 2} \vartheta \/ + \/ \sin^{\script 2} \vartheta \/ = \/ 0$
e, riarrangiando
$2 \/ \cos^{\script 2} \vartheta \/ - \/ \cos \vartheta \/ - \/ 1 \/ = \/ 0$
e
$\cos \vartheta \/ = \/ \frac {1 \/ \pm \/ \sqrt {1 \/ + \/ 8}} 4 \qquad \Rightarrow \qquad \cos \vartheta \/ = \/ -\/ \frac 1 2 \qquad \Rightarrow \qquad \vartheta \/ = \/ \frac {2 \/ \pi} 3$
Il triangolo è equilatero
Se $\cos \vartheta \/ = \/ 1 \qquad \Rightarrow \qquad \vartheta \/ \in \/ \left \{ 0, \/ \pi \right \}$ e, in entrambi i casi corrisponde ad un minimo con $A \/ = \/ 0$.
Ora, un ellisse può essere visto come la proiezione di un cerchio su un piano inclinato. Infatti, per il cerchio
$\left \{ {x \/ = \/ r \/ \cos \vartheta \\y \/ = \/ r \/ \sin \vartheta } \right .$
mentre, per un ellisse
$\left \{ {x \/ = \/ a \/ \cos \vartheta \\y \/ = \/ b \/ \sin \vartheta } \right .$
Cioè, ponendo $r \/ = \/ a$, l'ellisse è un cerchio per il quale la coordinata $y$ è "raccorciata". I triangoli di area massima inscritti nell'ellisse, $A \/ = \/ \frac {3 \/ \sqrt {3}} 4\/ a \/ b$, sono la proiezione di quelli inscritti nel cerchio
semplice, no?
Per Antonio (e Tino): il primo e l'ultimo dei tre (quelli per i quali un vertice del triangolo giace su un asse dell'ellisse) hanno gli angoli al centro di 120°, ma tutte le forme intermedie hanno angoli diversi...
Costruzione: su un ellisse di centro ${\text O}$
si scelga un punto arbitrario ${\text A}$
e si costruisca un ellisse traslato del vettore $\vec {\text AO}$
Tale ellisse identifica gli altri vertici del triangolo
in perfetta analogia con quel che avviene per i triangoli equilateri inscritti in un cerchio.
A voi l'evidenza
cheese
Per prima cosa vediamo quali sono i triangoli di area massima in un cerchio.
Tracciata la corda $c$, congiungente i punti $\text A$ e $\text B$
si traccia la perpendicolare al punto arbitrario $\text C$
e lo si congiunge con il suo piede ottenendo l'altezza del triangolo
È evidente che l'altezza (e quindi l'area) è massima quando la perpendicolare coincide con l'asse della corda e il triangolo è isoscele: dato che questo ragionamento vale per ciascuno dei tre lati, i triangoli di area massima sono triangoli equilateri con $A \/ = \/ \frac {3 \/ \sqrt {3}} 4\/ r^{\script 2}$.
La cosa si può dimostrare anche per via analitica
Con riferimento alla figura, l'area del triangolo è pari a
$A \/ = \/ \frac {\overline {\text PB} \/ \left ( h_{\script {\text A}} + h_{\script {\text C}}\right )} 2$
con
$\overline {\text PB} \/ = \/ \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ x_{\script {\text C}} \/ + \/ r$
tenuto conto che è
$x_{\script {\text A}} \/ + \/ x_{\script {\text C}} \/ = \/ \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ \overline {\text OA^{\script '}}$
e, dato che i triangoli $\raisebox{8}{\triangle \atop{\text AA^{\script '}P}}$ e $\raisebox{8}{\triangle \atop{\text CC^{\script '}P}}$ sono simili
$\frac {x_{\script {\text A}}} { x_{\script {\text C}}} \/ = \/ \frac {h_{\script {\text A}}} { h_{\script {\text C}}}$
si ha
$x_{\script {\text C}} \/ = \/ \frac { h_{\script {\text C}} \/ \left ( \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ \overline {\text OA^{\script '}} \right ) } {h_{\script {\text A}} \/ + \/ h_{\script {\text C}}}$
e
$A \/ = \/ \frac {\overline {\text PB} \/ \left (h_{\script {\text A}} \/ + \/ h_{\script {\text C}} \right ) } 2 \/ = \/ \frac { \left ( r \/ + \/ \overline {\text OC^{\script '}} \right ) \/ \left (h_{\script {\text A}} \/ - \/ h_{\script {\text C}} \right ) \/ - \/ h_{\script {\text C}} \/ \left ( \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ \overline {\text OA^{\script '}} \right ) } 2$
Sostituendo
$h_{\script {\text A}} \/ = \/ r \/ \sin \vartheta_{\script {\text A}} \\ h_{\script {\text C}} \/ = \/ r \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \\ \overline {\text OA^{\script '}} \/ = \/ - \/ r \/ \cos \vartheta_{\script {\text A}} \\ \overline {\text OC^{\script '}} \/ = \/ - \/ r \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}}$
otteniamo
$A \/ = \/ \frac {r^{\script 2}} 2 \/ \left \{ \left (1 \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \/ \left (\sin \vartheta_{\script {\text A}} \/ + \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \/ - \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \/ \left (\cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \right \}$
Cerchiamo i minimi e i massimi derivando l'area rispetto ai due angoli e uguagliando a zero
$\left \{ \frac {\partial A} {\partial \vartheta_{\script {\text A}} } \/ \propto \/ \left ( 1 \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \/ \cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ +\/ \/ \sin \vartheta_{\script {\text A}} \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \/ = \/ 0 \\ \frac {\partial A} {\partial \vartheta_{\script {\text C}} } \/ \propto \/ \left ( 1 \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text A}} \right ) \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \/ +\/ \/ \sin \vartheta_{\script {\text A}} \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \/ = \/ 0 \right .$
cioè, come differenza delle due equazioni
$\cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ - \cancel { \cos \vartheta_{\script {\text A}} \cos \vartheta_{\script {\text C}}} \/ = \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \/ - \/ \cancel { \cos \vartheta_{\script {\text A}} \cos \vartheta_{\script {\text C}}}$
e
$\cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ = \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \qquad \Rightarrow \qquad \vartheta_{\script {\text A}} \/ = \/ \vartheta_{\script {\text C}} \/ = \/ \vartheta$
quindi
$\cos \vartheta \/ - \/ \cos^{\script 2} \vartheta \/ + \/ \sin^{\script 2} \vartheta \/ = \/ 0$
e, riarrangiando
$2 \/ \cos^{\script 2} \vartheta \/ - \/ \cos \vartheta \/ - \/ 1 \/ = \/ 0$
e
$\cos \vartheta \/ = \/ \frac {1 \/ \pm \/ \sqrt {1 \/ + \/ 8}} 4 \qquad \Rightarrow \qquad \cos \vartheta \/ = \/ -\/ \frac 1 2 \qquad \Rightarrow \qquad \vartheta \/ = \/ \frac {2 \/ \pi} 3$
Il triangolo è equilatero
Se $\cos \vartheta \/ = \/ 1 \qquad \Rightarrow \qquad \vartheta \/ \in \/ \left \{ 0, \/ \pi \right \}$ e, in entrambi i casi corrisponde ad un minimo con $A \/ = \/ 0$.
Ora, un ellisse può essere visto come la proiezione di un cerchio su un piano inclinato. Infatti, per il cerchio
$\left \{ {x \/ = \/ r \/ \cos \vartheta \\y \/ = \/ r \/ \sin \vartheta } \right .$
mentre, per un ellisse
$\left \{ {x \/ = \/ a \/ \cos \vartheta \\y \/ = \/ b \/ \sin \vartheta } \right .$
Cioè, ponendo $r \/ = \/ a$, l'ellisse è un cerchio per il quale la coordinata $y$ è "raccorciata". I triangoli di area massima inscritti nell'ellisse, $A \/ = \/ \frac {3 \/ \sqrt {3}} 4\/ a \/ b$, sono la proiezione di quelli inscritti nel cerchio
semplice, no?
Per Antonio (e Tino
): il primo e l'ultimo dei tre (quelli per i quali un vertice del triangolo giace su un asse dell'ellisse) hanno gli angoli al centro di 120°, ma tutte le forme intermedie hanno angoli diversi...Costruzione: su un ellisse di centro ${\text O}$
si scelga un punto arbitrario ${\text A}$
e si costruisca un ellisse traslato del vettore $\vec {\text AO}$
Tale ellisse identifica gli altri vertici del triangolo
in perfetta analogia con quel che avviene per i triangoli equilateri inscritti in un cerchio.
A voi l'evidenza
cheese
il panurgo
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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
La cosa che probabilmente non avevo notato e' che e' restrittivo porre un vertice in (a,0)! Nella mia dimostrazione il fatto che tra i triangoli con un vertice in (a,0) quello di area massima ha area maggiore o uguale a quella di ogni altro triangolo inscritto nell'ellisse non e' stato ancora provato.
Quello che sostieni tu, Panurgo, e' che preso un arbitrario triangolo inscritto due cui lati consecutivi stiano a 120 gradi l'uno dall'altro, non e' detto che esso realizzi l'area massima, giusto? Su questo mi trovo d'accordo.
Mi aggiorno.
Quello che sostieni tu, Panurgo, e' che preso un arbitrario triangolo inscritto due cui lati consecutivi stiano a 120 gradi l'uno dall'altro, non e' detto che esso realizzi l'area massima, giusto? Su questo mi trovo d'accordo.
Mi aggiorno.
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Il quesito chiedeva di descrivere i triangoli di area massima inscritti in un ellisse e la risposta deve essere generale: se il vertice è in (±a,0) o in (0,±b), gli angoli sono di 120° anche nell'ellisse .
.il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Ebbene, perché nel caso generale no?
Io sostengo che nel massimizzare l'area del triangolo inscritto, la posizione reciproca dei vertici non dipenderà dalla lunghezza dei semiassi;
in altre parole, se i vertici del triangolo sono
$A=(a \cos \alpha,b \sin \alpha),\ B=(a \cos \beta,b \sin \beta),\ C=(a \cos \gamma,b \sin \gamma)$
allora l'area
$Area=\frac{1}{2}\left| \begin{array} 1 & 1 & 1 \\ a \cos \alpha & a \cos \beta & a \cos \gamma \\ b \sin \alpha & b \sin \beta & b \sin \gamma \end{array} \right| = \frac{ab}{2} \left| \begin{array} 1 & 1 & 1 \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \sin \alpha & \sin \beta & \sin \gamma \end{array} \right|$
è $a \cdot b$ moltiplicato per un numero "puro" che dipende solo dai tre angoli. Questo significa che non è restrittivo supporre a=b (perché si cercherà nel seguito di massimizzare una quantità che non dipende né da a né da b).
... o no?
Ciao ciao.
Io sostengo che nel massimizzare l'area del triangolo inscritto, la posizione reciproca dei vertici non dipenderà dalla lunghezza dei semiassi;
in altre parole, se i vertici del triangolo sono
$A=(a \cos \alpha,b \sin \alpha),\ B=(a \cos \beta,b \sin \beta),\ C=(a \cos \gamma,b \sin \gamma)$
allora l'area
$Area=\frac{1}{2}\left| \begin{array} 1 & 1 & 1 \\ a \cos \alpha & a \cos \beta & a \cos \gamma \\ b \sin \alpha & b \sin \beta & b \sin \gamma \end{array} \right| = \frac{ab}{2} \left| \begin{array} 1 & 1 & 1 \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \sin \alpha & \sin \beta & \sin \gamma \end{array} \right|$
è $a \cdot b$ moltiplicato per un numero "puro" che dipende solo dai tre angoli. Questo significa che non è restrittivo supporre a=b (perché si cercherà nel seguito di massimizzare una quantità che non dipende né da a né da b).
... o no?
Ciao ciao.
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Apro un brevissimo OT che spero non
disturbi troppo, ma a questa tentazione
non ho saputo resistere...
Il problema proposto è veramente carino,
per quanto non abbia ancora avuto il tempo
di ragionarci sopra. Ma le rappresentazioni di
Panurgo, a questo punto, forse renderebbero
non molto interessante ciò che potrei dire.
In ogni caso, penso che mi rileggerò per bene
gli interventi fin qui scritti (appena possibile)
perché c'è qualcosa che devo focalizzare.
La faccenda non mi pare così semplice.
Ma ecco l'OT.
Non ho una formazione classica, però ho le
mie preferenze linguistiche, che in questo caso
si esprimono con un vero e proprio debole per
l'ellisse femminile.
L'ho sempre vista così e mi sembra quasi più
ellittica
Sparisco!
disturbi troppo, ma a questa tentazione
non ho saputo resistere...
Il problema proposto è veramente carino,
per quanto non abbia ancora avuto il tempo
di ragionarci sopra. Ma le rappresentazioni di
Panurgo, a questo punto, forse renderebbero
non molto interessante ciò che potrei dire.
In ogni caso, penso che mi rileggerò per bene
gli interventi fin qui scritti (appena possibile)
perché c'è qualcosa che devo focalizzare.
La faccenda non mi pare così semplice.
Ma ecco l'OT.
Non ho una formazione classica, però ho le
mie preferenze linguistiche, che in questo caso
si esprimono con un vero e proprio debole per
l'ellisse femminile.
L'ho sempre vista così e mi sembra quasi più
ellittica
Sparisco!
Bruno
Ma per quale motivo un cerchio massimo nel triangolo dovrebbe essere continuare ad essere tale deformando il cerchio nell'ellisse?
Io ho trovato la soluzione, ricavando la generica area di un triangolo inscritto, con vertici in posizioni arbitrarie, la quale risulta funzione di tre angoli, o meglio di due differenze di angoli; verificando che tale area non dipende dalla posizione del primo vertice ma solo dai due incrementi angolari tra i vertici; derivando l'area rispetto a tali incrementi, ugugliando a zero le derivate, ottengo il risultato dei 120°.
Allegherò appena possibile la soluzione con le formule, ma ho bisogno di tempo poiché non mastico bene il tex.
A presto!
Io ho trovato la soluzione, ricavando la generica area di un triangolo inscritto, con vertici in posizioni arbitrarie, la quale risulta funzione di tre angoli, o meglio di due differenze di angoli; verificando che tale area non dipende dalla posizione del primo vertice ma solo dai due incrementi angolari tra i vertici; derivando l'area rispetto a tali incrementi, ugugliando a zero le derivate, ottengo il risultato dei 120°.
Allegherò appena possibile la soluzione con le formule, ma ho bisogno di tempo poiché non mastico bene il tex.
A presto!
Ogni limite ha una pazienza! (Totò)
Anch'io, inizialmente, sono caduto nell'errore di Antonio e Tino e in tale errore ho parzialmente perseverato
Fin qui è tutto corretto. L'errore scatta adesso poiché $\vartheta$ non è l'angolo formato dal raggio vettore del secondo vertice: infatti, il coefficiente angolare della retta su cui giace il raggio vettore (che è pari alla tangente dell'angolo formato dal raggio vettore con l'asse delle ascisse) vale
$m \/ = \/ \tan \varphi \/ = \/ \frac {y_{\script {\text C}}}{x_{\script {\text C}}} \/ = \/ \frac a b \/ \tan \vartheta$
da cui segue subito che $\varphi \/ \neq \/ \vartheta$ tranne che per $a \/ = \/ b$, cioè nel caso del cerchio (come si può facilmente vedere in figura).
Per me è stato fruttuoso pensare in termini di proiezioni, e la proprietà del triangolo massimo che si conserva in questa proiezione è che le mediane giacciono sulle stesse rette su cui giacciono anche i raggi vettori: di conseguenza il lato biseca il segmento simmetrico al raggio vettore corrispondente e il punto simmetrico al vertice forma un parallelogramma con il centro e gli altri due vertici.
Anch'io sono partito col considerare un triangolo isoscele con vertice in $\left ( a, \/ 0 \right)$ e gli altri vertici in $\left ( a \/ \cos \vartheta, \/ \pm \/ b \/ \sin \vartheta \right )$; l'area del triangolo è $A \/ = \/ a \/ b \/ \sin \vartheta \/ \left ( 1 \/ - \/ \cos \vartheta \right )$: la derivata è $A^{\script '} \/ \propto \/ \cos \vartheta \left (1 \/ - \/ \cos \vartheta \right ) \/ + \/ \sin^{\script 2} \vartheta$ e la condizione $A^{\script '} \/ = \/ 0$ implica $\vartheta \/ = \/ \frac {2 \pi} 3$.panurgo ha scritto:...Per Antonio (e Tino
...se il vertice è in (±a,0) o in (0,±b), gli angoli sono di 120° anche nell'ellisse
Fin qui è tutto corretto. L'errore scatta adesso poiché $\vartheta$ non è l'angolo formato dal raggio vettore del secondo vertice: infatti, il coefficiente angolare della retta su cui giace il raggio vettore (che è pari alla tangente dell'angolo formato dal raggio vettore con l'asse delle ascisse) vale
$m \/ = \/ \tan \varphi \/ = \/ \frac {y_{\script {\text C}}}{x_{\script {\text C}}} \/ = \/ \frac a b \/ \tan \vartheta$
da cui segue subito che $\varphi \/ \neq \/ \vartheta$ tranne che per $a \/ = \/ b$, cioè nel caso del cerchio (come si può facilmente vedere in figura).
Per me è stato fruttuoso pensare in termini di proiezioni, e la proprietà del triangolo massimo che si conserva in questa proiezione è che le mediane giacciono sulle stesse rette su cui giacciono anche i raggi vettori: di conseguenza il lato biseca il segmento simmetrico al raggio vettore corrispondente e il punto simmetrico al vertice forma un parallelogramma con il centro e gli altri due vertici.
Ultima modifica di panurgo il gio lug 19, 2007 10:13 am, modificato 1 volta in totale.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Non vi dico il senso di profondo disagio che ho provato quando mi sono reso conto che l'angolo di 120° non tornava in nessun caso, neppure in quello del triangolo isoscele. Ho dovuto riflettere a lungo (e scribacchiare su una quantità di fogli di carta che ha lasciato un bel buco nella foresta amazzonica) prima di riuscire a razionalizzare il perché: siamo così abituati a pensare al significato geometrico delle funzioni trigonometriche in termini di circonferenza trigonometrica che ciò ci condiziona.
Quando calcoliamo le coordinate del punto trigonometricamente è il punto che determina il raggio vettore, quando invece troviamo il punto come intersezione del raggio vettore con l'ellisse (è femmina, evviva) è, ovviamente, vero il contrario: se $a \/ = \/ b$ le due cose coincidono ma ciò non è vero in generale...
P.S.: mi sa che sarebbe utile conoscere almeno un po' di geometria proiettiva
Quando calcoliamo le coordinate del punto trigonometricamente è il punto che determina il raggio vettore, quando invece troviamo il punto come intersezione del raggio vettore con l'ellisse (è femmina, evviva
) è, ovviamente, vero il contrario: se $a \/ = \/ b$ le due cose coincidono ma ciò non è vero in generale...P.S.: mi sa che sarebbe utile conoscere almeno un po' di geometria proiettiva
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Comunque...
A prescindere dal significato geometrico, fissato un punto $A=(a \cos \alpha,b \sin \alpha)$ dell'ellisse (è indubbio che ogni punto dell'ellisse ha questa forma), gli altri due punti che ci interessano saranno invariabilmente $B=(a \cdot \cos (\alpha+\frac{2\pi}{3}),b \cdot \sin (\alpha+\frac{2\pi}{3})),\ C=(a \cdot \cos (\alpha+\frac{4\pi}{3}),b \cdot \sin (\alpha+\frac{4\pi}{3}))$.
Ovviamente, gli angoli in O dei triangoli AOB, BOC non saranno di 120 gradi, ma ai fini della soluzione, ci interessa davvero quanto valgono tali angoli?
...a me si
Però più che dire tutto questo, cosa possiamo dire? Potremo esprimere il coseno e il seno degli angoli AOB, BOC in termini di a e b, ma non verrà certo un'espressione priva di arcoqualcosa e radici
(ho provato)...Mi Aggiorno.
PS. Io conosco un po' di geometria proiettiva, ma per ora più che portare una conica in forma c(an)onica e trovare un birapporto non so fare...
A cosa ti riferisci precisamente Panurgo?
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)