Mentre mi studio la tua, posto la mia soluzione
Per prima cosa vediamo quali sono i triangoli di area massima in un cerchio.
Tracciata la corda $c$, congiungente i punti $\text A$ e $\text B$
si traccia la perpendicolare al punto arbitrario $\text C$
e lo si congiunge con il suo piede ottenendo l'altezza del triangolo
È evidente che l'altezza (e quindi l'area) è massima quando la perpendicolare coincide con l'asse della corda e il triangolo è isoscele: dato che questo ragionamento vale per ciascuno dei tre lati, i triangoli di area massima sono triangoli equilateri con $A \/ = \/ \frac {3 \/ \sqrt {3}} 4\/ r^{\script 2}$.
La cosa si può dimostrare anche per via analitica
Con riferimento alla figura, l'area del triangolo è pari a
$A \/ = \/ \frac {\overline {\text PB} \/ \left ( h_{\script {\text A}} + h_{\script {\text C}}\right )} 2$
con
$\overline {\text PB} \/ = \/ \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ x_{\script {\text C}} \/ + \/ r$
tenuto conto che è
$x_{\script {\text A}} \/ + \/ x_{\script {\text C}} \/ = \/ \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ \overline {\text OA^{\script '}}$
e, dato che i triangoli $\raisebox{8}{\triangle \atop{\text AA^{\script '}P}}$ e $\raisebox{8}{\triangle \atop{\text CC^{\script '}P}}$ sono simili
$\frac {x_{\script {\text A}}} { x_{\script {\text C}}} \/ = \/ \frac {h_{\script {\text A}}} { h_{\script {\text C}}}$
si ha
$x_{\script {\text C}} \/ = \/ \frac { h_{\script {\text C}} \/ \left ( \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ \overline {\text OA^{\script '}} \right ) } {h_{\script {\text A}} \/ + \/ h_{\script {\text C}}}$
e
$A \/ = \/ \frac {\overline {\text PB} \/ \left (h_{\script {\text A}} \/ + \/ h_{\script {\text C}} \right ) } 2 \/ = \/ \frac { \left ( r \/ + \/ \overline {\text OC^{\script '}} \right ) \/ \left (h_{\script {\text A}} \/ - \/ h_{\script {\text C}} \right ) \/ - \/ h_{\script {\text C}} \/ \left ( \overline {\text OC^{\script '}} \/ - \/ \overline {\text OA^{\script '}} \right ) } 2$
Sostituendo
$h_{\script {\text A}} \/ = \/ r \/ \sin \vartheta_{\script {\text A}} \\ h_{\script {\text C}} \/ = \/ r \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \\ \overline {\text OA^{\script '}} \/ = \/ - \/ r \/ \cos \vartheta_{\script {\text A}} \\ \overline {\text OC^{\script '}} \/ = \/ - \/ r \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}}$
otteniamo
$A \/ = \/ \frac {r^{\script 2}} 2 \/ \left \{ \left (1 \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \/ \left (\sin \vartheta_{\script {\text A}} \/ + \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \/ - \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \/ \left (\cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \right \}$
Cerchiamo i minimi e i massimi derivando l'area rispetto ai due angoli e uguagliando a zero
$\left \{ \frac {\partial A} {\partial \vartheta_{\script {\text A}} } \/ \propto \/ \left ( 1 \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \right ) \/ \cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ +\/ \/ \sin \vartheta_{\script {\text A}} \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \/ = \/ 0 \\ \frac {\partial A} {\partial \vartheta_{\script {\text C}} } \/ \propto \/ \left ( 1 \/ - \/ \cos \vartheta_{\script {\text A}} \right ) \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \/ +\/ \/ \sin \vartheta_{\script {\text A}} \/ \sin \vartheta_{\script {\text C}} \/ = \/ 0 \right .$
cioè, come differenza delle due equazioni
$\cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ - \cancel { \cos \vartheta_{\script {\text A}} \cos \vartheta_{\script {\text C}}} \/ = \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \/ - \/ \cancel { \cos \vartheta_{\script {\text A}} \cos \vartheta_{\script {\text C}}}$
e
$\cos \vartheta_{\script {\text A}} \/ = \/ \cos \vartheta_{\script {\text C}} \qquad \Rightarrow \qquad \vartheta_{\script {\text A}} \/ = \/ \vartheta_{\script {\text C}} \/ = \/ \vartheta$
quindi
$\cos \vartheta \/ - \/ \cos^{\script 2} \vartheta \/ + \/ \sin^{\script 2} \vartheta \/ = \/ 0$
e, riarrangiando
$2 \/ \cos^{\script 2} \vartheta \/ - \/ \cos \vartheta \/ - \/ 1 \/ = \/ 0$
e
$\cos \vartheta \/ = \/ \frac {1 \/ \pm \/ \sqrt {1 \/ + \/ 8}} 4 \qquad \Rightarrow \qquad \cos \vartheta \/ = \/ -\/ \frac 1 2 \qquad \Rightarrow \qquad \vartheta \/ = \/ \frac {2 \/ \pi} 3$
Il triangolo è equilatero
Se $\cos \vartheta \/ = \/ 1 \qquad \Rightarrow \qquad \vartheta \/ \in \/ \left \{ 0, \/ \pi \right \}$ e, in entrambi i casi corrisponde ad un minimo con $A \/ = \/ 0$.
Ora, un ellisse può essere visto come la proiezione di un cerchio su un piano inclinato. Infatti, per il cerchio
$\left \{ {x \/ = \/ r \/ \cos \vartheta \\y \/ = \/ r \/ \sin \vartheta } \right .$
mentre, per un ellisse
$\left \{ {x \/ = \/ a \/ \cos \vartheta \\y \/ = \/ b \/ \sin \vartheta } \right .$
Cioè, ponendo $r \/ = \/ a$, l'ellisse è un cerchio per il quale la coordinata $y$ è "raccorciata". I triangoli di area massima inscritti nell'ellisse, $A \/ = \/ \frac {3 \/ \sqrt {3}} 4\/ a \/ b$, sono la proiezione di quelli inscritti nel cerchio
semplice, no?
Per Antonio (e Tino
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
): il primo e l'ultimo dei tre (quelli per i quali un vertice del triangolo giace su un asse dell'ellisse) hanno gli angoli al centro di 120°, ma tutte le forme intermedie hanno angoli diversi...
Costruzione: su un ellisse di centro ${\text O}$
si scelga un punto arbitrario ${\text A}$
e si costruisca un ellisse traslato del vettore $\vec {\text AO}$
Tale ellisse identifica gli altri vertici del triangolo
in perfetta analogia con quel che avviene per i triangoli equilateri inscritti in un cerchio.
A voi l'evidenza
cheese
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)