Somma di numeri naturali

[Quelo]

Non so se questo quesito è già stato posto:

1. Dimostrare che le potenze di 2 non sono esprimibili come somma di numeri naturali consecutivi

2. Dimostrare che ogni numero naturale maggiore di 1 che non è potenza di 2 può essere espresso come somma di numeri naturali consecutivi

[Maurizio59]

1. Dimostrare che le potenze di 2 non sono esprimibili come somma di numeri naturali consecutivi

Consideriamo una sequenza di k numeri naturali consecutivi (k > 1) il più piccolo dei quali sia n.
La loro somma è $S = n+(n+1)+(n+2)+...+(n+k-1)$
Essa si può anche scrivere così: $S = kn+1+2+3+...+k-1$, cioè $S = kn+k(k-1)/2$
Raccogliendo k si ottiene $S = k(2n+k-1)/2$
I due fattori che compongono la somma devono essere potenze di 2.
Se così fosse k sarebbe pari e il secondo fattore diventerebbe dispari per cui non sarebbe una potenza di 2.

[Gianfranco]

Cari amici, ecco un cenno della dimostrazione della seconda parte.
Non scrivo formule.
1) Ogni numero dispari >1 si può esprimere come somma di due numeri consecutivi (facile)
Esempio con il numero 7.
7 = 3 + 4

2) Aggiungendo numeri a destra e a sinistra, si può ottenere qualunque multiplo di 7, in particolare 2*7, 4*7, 8*7, 2^n*7
Esempio.
2 + 3 + 4 + 5 = 14
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 56
Osserviamo che i numeri negativi si elidono con altrettanti numeri positivi e rimane una successione di numeri consecutivi positivi.

3) Osserviamo che qualunque numero pari CHE NON SIA UNA POTENZA DI 2 è uguale al prodotto di un numero dispari >1 per una potenza di 2.

4) Concludiamo che qualunque numero >1 che non è una potenza di 2 si può esprimere come richiesto, etc.

[NothIng]

L'estensione di Gianfrango ai numeri negativi mi ha ricordato un vecchio post: Tertium datur est

[Bruno]

Grazie del richiamo, NothIng

Le buone idee non hanno tempo

[Gianfranco]

Ciao NothIng, mi unisco al ringraziamento di Bruno, però la cosa mi preoccupa.
Non mi ricordavo minimamente di quel problema e neppure della mia risposta. E neppure mi sono reso conto di aver fatto lo stesso esempio.
Segno di inesorabile vecchiaia con grave decadenza mentale, oltre che fisica.
Va bé, dài, allegriaaaa!!!

[Quelo]

Condivido il ragionamento che ho fatto io.
Per comodità parto dal risultato di Maurizio

$\displaystyle S=\frac{k(2n+k+1)}{2}$ e ricavo $\displaystyle \quad n=\frac{S}{k}-\frac{k-1}{2}$

Con $\displaystyle S=2^p$ n non può essere naturale:
per k>=S, n è zero o negativo
per k<S dispari, il primo termine non è intero mentre il secondo sì
per k<S pari diverso da una potenza di 2, il primo termine è una potenza di 2 divisa per un numero dispari, mentre il secondo è un numero dispari diviso per 2
per k<S potenza di 2, il primo termine è intero mentre il secondo no

Con $\displaystyle S\ne 2^p$ dispari basta porre k=2 ed n risulta sempre intero positivo $\displaystyle S=\frac{n-1}{2}+\frac{n+1}{2}$

$\displaystyle S\ne 2^p$ pari può essere scritto come prodotto fra una potenza di 2 e un numero dispari
In questo caso basta porre k uguale ad uno dei fattori primi dispari oppure al doppio della potenza di 2
Una delle due opzioni genera n intero positivo
es: S = 20
k = 5 --> n = 2 --> S = 2 + 3 + 4 + 5 + 6
k = 8 --> n = -1
S = 14
k = 7 --> n = -1
k = 4 --> n = 2 --> S = 2 + 3 + 4 + 5

[Bruno]

Non mi ricordavo minimamente di quel problema e neppure della mia risposta. E neppure mi sono reso conto di aver fatto lo stesso esempio.
Segno di inesorabile vecchiaia con grave decadenza mentale, oltre che fisica.

Son passati otto anni, Gianfranco, di cose ne hai fatte e viste, non evocherei la decadenza mentale
Invece c'è un aspetto positivo, in questa cosa: le idee che funzionano restano valide nel tempo, non sentono l'età