Ciao a tutti,
già che ci sono, vi espongo anche in forma canonica il problema che già vi ho proposto sotto altre 2 forme:

Dimostrare che un numero intero positivo è uguale alla somma di una serie di almeno due numeri interi positivi consecutivi se e solo se non è una potenza di 2


Alessandro

Ciao a tutti,
bel problema, provo a rispondere.

Lemma 1. Ogni numero primo dispari si può esprimere come somma di due numeri consecutivi.

Dimostrazione.
2n+1 = n+(n+1)

Lemma 2. Ogni multiplo di un numero primo dispari si può esprimere come somma di almeno 2 numeri consecutivi.

Dimostrazione.
Cominciamo con un esempio. La generalizzazione è immediata.

7 = 3+4
14 = 2+3+4+5 (aggiungo due numeri agli estremi della serie precedente)
21 = 1+2+3+4+5+6 (come sopra)
28 = 0+1+2+3+4+5+6+7 (come sopra)
35 = ???
A questo punto mi direte: "Sei fregato, come fai per andare avanti?"
Nessun problema: estendo la serie ai numeri negativi.
35 = (-1)+0+1+2+3+4+5+6+7+8 (aggiungo 8 a destra e tolgo 1 a sinistra)
42 = (-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 (aggiungo 9 a destra e tolgo 2 a sinistra)
49 = (-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 (aggiungo 10 a destra e tolgo 3 a sinistra)
A questo punto mi direte: "Hai cambiato le carte in tavola! Il quesito originale escludeva l'uso dei numeri negativi!"
Non ho cambiato le carte in tavola.
Basta osservare che i numeri negativi aggiunti a sinistra eliminano altrettanti numeri positivi a destra dello 0.
Esempio:
49 = [(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3]+4+5+6+7+8+9+10 = 4+5+6+7+8+9+10
56 = [(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4]+5+6+7+8+9+10+11 = 5+6+7+8+9+10+11
...
E così via.

La stessa procedura si applica a tutti i numeri primi dispari.

Una conseguenza immediata dei lemmi 1 e 2 è che tutti i numeri naturali tranne le potenze di 2 si possono esprimere come come somma di almeno 2 numeri consecutivi.

Ora dobbiamo dimostrare che se un numero è una potenza di 2 allora non ha una rappresentazione di questo tipo.

Lemma 3. Se un numero è una potenza di 2 allora non non può essere rappresentato come somma di almeno due numeri consecutivi.

Dimostrazione.
Una somma di almeno due numeri consecutivi si può calcolare con la seguente formula.
a+a+1+a+2+a+3+...+a+n = a(n+1)+ T_n (dove T_n è l'n-esimo numero triangolare)

= a(n+1) + n(n+1)/2

Affinché tale somma sia una potenza di 2 è necessario che:
(n+1)(2a+n) sia, a sua volta, una potenza di 2.

Ma ciò non è possibile perché (n+1) e (2a+n) hanno parità diversa e quindi almeno uno dei due deve avere un fattore primo dispari.

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Questo problema si può esporre anche in un'altra forma:
Dimostrare che ogni numero intero positivo che non sia una potenza di 2 si può esprimere come differenza di due numeri triangolari non consecutivi.

Caro Gianfranco,
magnifica idea quella di usare i negativi! La soluzione che avevo pensato è decisamente più complicata.
In merito all'ultima osservazione, è necessario includere fra i numeri triangolari anche 0=T(0).
La cosa mi procura un po' di fastidio, ma pare sia accettata.
Ciao
Beppe