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ZioGiò
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x^n - (x-1)^n = ...

Messaggio da ZioGiò » dom gen 15, 2006 9:53 am

Ciao a tutti!

Come già riportato in un altro topic mi sono imbattuto in questa relazione:

x^{2}-(x-1)^{2} = (x-1)^{2} - (x-2)^{2} + 2

che è utile, ad esempio, a risolvere questo:
1000^{2}-(999)^{2}
= 1000 + 999 = 1999

cioè in generale, data una coppia di numeri consecutivi a e b (con a che precede b):
a^{2}-(b)^{2} = a + b
che non è una cosa sconvolgente, ma non mi ci ero mai soffermato...

Continuando su questa strada mi sono chiesto:
e se avessi

a^{3}-(b)^{3} oppure a^{4}-(b)^{4}

Finora sono giunto al seguente risultato (basato solo su ripetuto calcoli e che quindi potrebbe essere completamente sbagliato):
se n è naturale e maggiore strettamente di 1
x^{n}-(x-1)^{n} = (x-1)^{n} - (x-2)^{n} + P(x)

Dove P(x) è un polinomio completo in x di grado (n-2)
Il cui coefficiente dell'incognita di grado (n-2) (grado massimo) è n(n-1)
Il cui coefficiente dell'incognita di grado (n-3) (se esiste) è -n(n-1)(n-2)
poi non riesco più a determinare nessun legame tra i coefficienti dell'incognita di grado (n-4) e così via.
L'unica cosa che ho ancora notato è che il termine noto di P(x) (che nel caso di n = 2 corrisponde al coefficiente di grado massimo) è uguale al doppio del termine noto della stessa equazione con n = n-1 più 2...
Inoltre i coefficienti dell'incognita di grado n-4 sono tutti divisibili per 14...

Domanda:
Secondo voi si può riuscire a trovare un regola per determinare tutti i coefficienti di P(x) qualunque sia n?
E se si quale è l'espressione generale?


Se può essere utile:
x^{2}-(x-1)^{2} = (x-1)^{2} - (x-2)^{2} + 2
x^{3}-(x-1)^{3} = (x-1)^{3} - (x-2)^{3} + 6x - 6
x^{4}-(x-1)^{4} = (x-1)^{4} - (x-2)^{4} + 12x^{2} - 24x + 14
x^{5}-(x-1)^{5} = (x-1)^{5} - (x-2)^{5} + 20x^{3} - 60x^{2} + 70x - 30
x^{6}-(x-1)^{6} = (x-1)^{6} - (x-2)^{6} + 30x^{4} - 120x^{3} + 210x^{2} - 180x + 62
x^{7}-(x-1)^{7} = (x-1)^{7} - (x-2)^{7} + 42x^{5} - 210x^{4} + 490x^{3} - 630x^{2} + 434x - 126

Saluti!
Ultima modifica di ZioGiò il lun gen 16, 2006 6:22 pm, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da ZioGiò » lun gen 16, 2006 12:23 pm

Mi pare anche che:
n^{3} - (n-1)^{3} = 6(2n + (\sum_{k=1}^{n-3}k)   - 3) + 1

Ma per un esponenete generico?!

Byez!

ZioGiò
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Messaggio da Bruno » lun gen 16, 2006 3:42 pm

...

ZioGiò, scusa... non ho controllato le altre, ma c'è una svista nella seconda
identità della serie che hai presentato nel tuo messaggio precedente: l'ultimo
numero a destra è -6.

Intanto, grazie per le tue considerazioni,

Bruno

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Messaggio da ZioGiò » lun gen 16, 2006 6:23 pm

Hai perfettamente ragione!

Grazie per l'avvertimento, l'ho modificato...

Qualche idea?
Ah, il segno del termine noto è (-1)^n

Saluti!
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0-§
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Messaggio da 0-§ » lun gen 16, 2006 9:23 pm

Bingo!
\displaystyle P(x,n)=\sum_{i=1}^{n-1} \left[(2^{i+1}-2) \left( {\begin{array}{c} {n}  \\ {i+1}  \\ \end{array}} \right)(x^{n-i-1}){(-1)^{i+1}}\right]!
Torno subito,il tempo di mangiare e posto soluzione e passaggi.
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

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Messaggio da ZioGiò » mar gen 17, 2006 10:54 am

Grande 0-§!
che fare se non inchinarsi davanti a tanta bravura?

Vorrà dire come ti racconterò da dove risale questo problema:
la prima relazione (quella con n=2) l'avevo notata in seconda media (non ero neppure riuscito a dimostrarla, perchè non avevo fatto ancora le equazioni), quando ti obbligano a fare centinaia di esercizi con i numeri quadrati (bei tempi quando questo sembrava difficile!). Grazie all'aiuto di un amico, una volta certo della sua validità in generale, avevo provato a ricavare quella per n = 3 ma non ero giunto a niente (cercavo un'altra costante come per il caso di 2, invece era in funzione del primo numero scelto).
Pochi giorni fa trastullandomi con i numeri complessi ho dovuto risolvere un calcolo simile e mi è ritornata in mente la vecchia relazione trovata in seconda media. Quindi ho accantonato i numeri complessi e ho cercato di determinare la formula per n=3. Non riuscendovi subito ho pensato bene di postare il problema in questo mitico forum, sicuro che qualche geniaccio l'avrebbe risolto. E così è stato!

Se hai finito di mangiare (sei a una cena di matrimonio?):) sarei curiosissimo di capire i passaggi che ti hanno condotto alla soluzione e magari di vedere anche la dimostrazione generale (non saprei neppure da dove cominciare, combinatoria è sempre stata una mia grossa lacuna). Per darti un'idea dell'intensità di tale curiosità ti dirò che la prima cosa che ho fatto stamattina (prima ancora della colazione) è stato dare una sbirciata al topic...

Nell'attesa posso proporre ancora un altro quesito?
grazie alla polinomio P(x) determinato da 0-§ penso si riuscirà ad esprimere
x^{n} - (x-1)^{n} = kx + k(x-1) + kj = k(2x-1) + kj + c
Il problema è determinare k, j e c...
Dico questo guardando l'equazione di partenza per n=2 e n=3
In effetti sarebbe comodo avere una regola pratica per numeri consecutivi alla n che permetta d risolvere i calcoli in fretta (almeno per x piccoli).
Per n=2 la cosa è davvero comoda (k=1, j=0, c=0):
x^{2} - (x-1)^{2} = kx + k(x-1) + kj = x + (x-1) = 2x - 1
pre n=3 la faccenda si complica al crescere di x, perchè è più difficile calcolare la sommatoria (penso ad esempio con x = 17) che i cubi... In questo caso k=6, j= (\displaystyle\sum_{i=1}^{n-2}i)-2, e c = +1.

e per x= n?

Saluti e grazie ancora!

P.S. Come diavolo si fa correttamente il segno di sommatoria? :) W il teX!
Ultima modifica di ZioGiò il mar gen 17, 2006 9:22 pm, modificato 2 volte in totale.
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Messaggio da peppe » mar gen 17, 2006 12:38 pm

P.S. Come diavolo si fa correttamente il segno di sommatoria?
ziogiò

Se clicchi sul bottone riporta posto in alto a destra,puoi copiare il codice e da lì trovare quello relativo al segno di sommatoria.

Questo è il codice della formula di zeroinfinito (senza i TAG tex e /tex racchiusi fra parentesi quadre []):

\displaystyle P(x,n)=\sum_{i=1}^{n-1} \left[(2^{i+1}-2) \left( {\begin{array}{c} {n} \\ {i+1} \\ \end{array}} \right)(x^{n-i-1}){(-1)^{i+1}}\right]

Il codice di:

\sum_{i=1}^{n-1}

è:
\sum_{i=1}^{n-1}

Ciao.
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Messaggio da ZioGiò » mar gen 17, 2006 1:09 pm

Ciao Peppe, felice di rileggerti!

Ero riuscito a copiare il codice dell'ottimo 0-§ (anche se non utilizzando "riporta" pulsante del quale ignoravo l'utilità fino al tuo illuminante suggerimento, ma andando a guardare il codice HTML). In ogni caso Lui riesce a far stare gli estremi sotto e sopra il simbolo di sommatoria. A me (ma anche a te) risultano invece spostati a sinistra di sigma maiuscolo (era questo il problema):

\sum_{i=1}^{n-1}

Codice: Seleziona tutto

\sum_{i=1}^{n-1} 
rileggendo con più attenzione il mitico topic "Tutorial sulla scrittura di equazioni (Leggetelo!!!)" ho capito che basta aggiungere "\displaystyle" davanti al codice di sommatoria, anche se non è riportato nel "promemoria dei simboli". Grande!

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}
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panurgo
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Messaggio da panurgo » mar gen 17, 2006 2:19 pm

la differenza tra displaystyle e normale è che il primo è inteso per le formule staccate dal testo, il secondo per le formule in linea (credo)...
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
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Messaggio da peppe » mar gen 17, 2006 3:01 pm

Cavolo!!
Con voi non si finisce mai d'imparare! Grazie.

E,a proposito di cavoli ,sono incavolato nero,perché ho ricevuto una e-mail con allegato una foto in formato TIFF,(dovrebbe essere l'immagine di un cavolo) che non sono riuscito a visualizzare in nessun modo.
Ho salvato l'allegato sul desktop e l'icona è quella caretteristica del formato TIFF ,ossia le lettere O e P bianche su sfondo azzurro.

Nemmeno con OmniPage Pro12,sono riuscito ad aprire l'allegato,di ben 1,16MB,perché diventa "invisibile".

Ho provato anche con Photoshop 6.0,ma inutilmente.Compare il messaggio:
Impossibile aprire il documento poiché il formato TIFF usa una gamma del colore non supportata.

Sospetto che l'allegato sia criptato,ma non ne sono sicuro.
Oppure probabilmente ,per visualizzare l'immagine del presunto cavolo,necessita un programma diverso da OmniPage Pro12 e Photoshop 6.0,ma non ne sono così convinto.

Insomma,datemi una mano se potete.

P.S.
Non ci crederete,ma (quando si dice il caso!) giuro sul mio onore ,che oggi ho pranzato con un cavolfiore lesso condito con aceto e olio:ottimo!!

Provare per credere.

Ciao
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Messaggio da panurgo » mar gen 17, 2006 3:43 pm

peppe, hai già visto questo topic http://www.base5forum.it/viewtopic.php?t=203 e i riferimenti in esso contenuti?
il panurgo

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Messaggio da peppe » mar gen 17, 2006 4:24 pm

Ho visto,ho visto.

Maestoso! Grazie per la ricetta!

Anche quello segnalato da delfo 52 non scherza!

Se mi spieghi come si postano gli allegati,invierò un regalo a 0-§. :lol:

Ciao.
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Aspettando 0-§...

Messaggio da ZioGiò » mar gen 17, 2006 5:29 pm

Ah, una precisazione:
\displaystyle P(x,n)=\sum_{i=1}^{n-1} \left[(2^{i+1}-2) \left( {\begin{array}{c} {n}  \\ {i+1}  \\ \end{array}} \right)(x^{n-i-1}){(-1)^{i+1}}\right]
Il "!" finale era per la gioia di aver trovato P(x) (credo) :)

Peppe hai provato ad aprire il tuo misterioso file con irfanview? E' un programmino molto semplice, ma ha il pregio di essere gratis e di non essere sofisticato come PhotoShop (se ne frega altamente delle gamme di colori). Lo puoi trovare a:

http://www.irfanview.com/
(per avere Photoshop e Omnipage cosa sei, un grafico?)

Come fai a sapere che l'immagine è un cavolo se non l'hai mai aperta?
Potrebbe benissimo essere corrotta (niente di politico, ma traduzione dall'inglese corrupted)...

Per gli allegati devi andare nel profilo del tuo utente e cliccare su quota upload...
Comunque quello che gli altri si limitano a fare è portare un'immagine su un server e poi richiamarala con il tag Immagine

Bruno
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Messaggio da Bruno » mar gen 17, 2006 6:54 pm

ZioGiò ha scritto:Il "!" finale era per la gioia di aver trovato P(x) (credo)
...sì, credo anch'io che fosse un segno di gioia (giustificatissima) ---


Seppur in ritardo, un bravo a 0-§ anche da parte mia ;)


Nell'attesa che 0-§ ci spieghi com'è arrivato alla sua formula (sono molto curioso...),
butto giù quello che ho fatto io per trovare un risultato equivalente.

Cercherò di trascurare pochissimi passaggi, per ottenere una miglior chiarezza, anche
se ciò mi porterà ad allungare il testo.

Innanzitutto, sono partito da questa espressione:

\displaystyle P {\tex \footnotesize (m,n)} = (m+1)^n+(m-1)^n-2\cdot m^n

che si ricava da quella di ZioGiò per \displaystyle x = m+1.

Ricordo la formula binomiale:

\displaystyle (a+b)^n = \sum_{i=0}^{n} \left( {\begin{array}{c}{n}\\{i}\\ \end{array}}\right)\cdot a^i\cdot b^{n-i} = \left( {\begin{array}{c}{n}\\{0}\\ \end{array}}\right) \cdot a^n+\left( {\begin{array}{c}{n}\\{1}\\ \end{array}}\right) \cdot a^{n-1}\cdot b+\left( {\begin{array}{c}{n}\\{2}\\ \end{array}}\right) \cdot a^{n-2}\cdot b^2+ \cdots + \left( {\begin{array}{c}{n}\\{n-1}\\ \end{array}}\right) \cdot a\cdot b^{n-1}+\left( {\begin{array}{c}{n}\\{n}\\ \end{array}}\right) \cdot b^n \,,

con \displaystyle \left( {\begin{array}{c}{n}\\{0}\\ \end{array}}\right) = \left( {\begin{array}{c}{n}\\{n}\\ \end{array}}\right) =1 \,.


Poiché:

\displaystyle (m+1)^n = \sum_{i=0}^{n} \left( {\begin{array}{c}{n}\\{i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{n-i} \\ \, \\ (m-1)^n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i\cdot \left( {\begin{array}{c}{n}\\{i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{n-i}

e tenuto conto che:

\displaystyle \left( {\begin{array}{c}{n}\\{0}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{n} = m^n

si può anche scrivere:

\displaystyle (m+1)^n = m^n +  \sum_{i=1}^{n} \left( {\begin{array}{c}{n}\\{i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{n-i} \\ \, \\ (m-1)^n = m^n + \sum_{i=1}^{n} (-1)^i\cdot \left( {\begin{array}{c}{n}\\{i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{n-i}

Allora:

\displaystyle \alpha) \,\, (m+1)^n+(m-1)^n-2\cdot m^n = \sum_{i=1}^{n} \left( {\begin{array}{c}{n}\\{i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{n-i}+ \sum_{i=1}^{n} (-1)^i\cdot \left( {\begin{array}{c}{n}\\{i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{n-i}

La differenza fra i termini delle due sommatorie risiede nel segno degli elementi
di posto dispari, infatti:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left( {\begin{array}{c}{n}\\{i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{n-i} = \left({\begin{array}{c}{n}\\{1}\\ \end{array}}\right) \cdot m^{n-1}+\left( {\begin{array}{c}{n}\\{2}\\ \end{array}}\right) \cdot m^{n-2}+\left( {\begin{array}{c}{n}\\{3}\\ \end{array}}\right) \cdot m^{n-3}+\left( {\begin{array}{c}{n}\\{4}\\ \end{array}}\right) \cdot m^{n-4}+ \, etc. \\ \,\\ \sum_{i=1}^{n} (-1)^i\cdot \left( {\begin{array}{c}{n}\\{i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{n-i} = -\left({\begin{array}{c}{n}\\{1}\\ \end{array}}\right) \cdot m^{n-1}+\left( {\begin{array}{c}{n}\\{2}\\ \end{array}}\right) \cdot m^{n-2}-\left( {\begin{array}{c}{n}\\{3}\\ \end{array}}\right) \cdot m^{n-3}+\left( {\begin{array}{c}{n}\\{4}\\ \end{array}}\right) \cdot m^{n-4}- \, etc.


Ma questo significa che l'ultimo membro di \displaystyle \, \alpha \,può assumere la seguente forma,
dal momento che gli addendi di posto pari si raddoppiano e gli altri si eliminano:

\displaystyle (m+1)^n+(m-1)^n-2\cdot m^n = 2\cdot \sum_{i=1}^{[\frac {n}{2}]} \left( {\begin{array}{c}{n}\\{2i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{n-2i}

dove il simbolo \displaystyle \, [\frac {n}{2}] \, indica la parte intera della metà di \displaystyle \, n \ge 2.


Prendiamo, per esempio, \displaystyle \, n = 7 e quindi \displaystyle \, [\frac {7}{2}] = 3:

\displaystyle (m+1)^7+(m-1)^7-2\cdot m^7 = 2\cdot \sum_{i=1}^3 \left( {\begin{array}{c}{7}\\{2i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{7-2i} = 2\cdot \left[ \left({\begin{array}{c}{7}\\{2}\\ \end{array}}\right)\cdot m^5+\left({\begin{array}{c}{7}\\{4}\\ \end{array}}\right)\cdot m^3+\left({\begin{array}{c}{7}\\{6}\\ \end{array}}\right)\cdot m\right]
ossia:

\displaystyle (m+1)^7+(m-1)^7-2\cdot m^7 = 42\cdot m^5+70\cdot m^3+14\cdot m \,\,.

Per \displaystyle \, n = 4 e \displaystyle \, [\frac {4}{2}] = 2, invece, è:

\displaystyle (m+1)^4+(m-1)^4-2\cdot m^4 = 2\cdot \sum_{i=1}^2 \left( {\begin{array}{c}{4}\\{2i}\\ \end{array}}\right)\cdot m^{4-2i} = 12\cdot m^2+2.

E' solo un altro modo di vedere il problema, niente di più.

In questo caso abbiamo, per il polinomio \displaystyle P {\tex \footnotesize (m,n)}, un numero minore di termini
rispetto a quelli presenti nell'originale impostazione di ZioGiò.

(Se&o)

ZioGiò, a proposito... stavo cercando di interpretare il tuo secondo quesito.
Quando dici:
...penso si riuscirà ad esprimere
x^{n} - (x-1)^{n} = kn + k(n-1) + kj = k(2n-1) + kj + c
mi confermi che al membro destro tu voglia \displaystyle \, {\tex \footnotesize n} \, ed \displaystyle \, {\tex \footnotesize n-1} \,, anziché \displaystyle \, {\tex \footnotesize x} \, e \displaystyle \, {\tex \footnotesize x-1} \,?

Può essere che io non abbia occasione di ritornare sul problema o che un altro
basecinquino ne abbia ragione prima di me (e più brillantemente), però mi
sembra opportuno che tu possa confermare questo punto. Il dubbio mi è venuto
andando qualche riga più sotto, dove fai riferimento alla differenza dei quadrati...

Intanto ciao,

..........
Bruno
Ultima modifica di Bruno il mer gen 18, 2006 10:40 am, modificato 1 volta in totale.

ZioGiò
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Che sbadataggine...

Messaggio da ZioGiò » mar gen 17, 2006 9:31 pm

Complimenti anche a Bruno!
E' stata un'emozione leggere il tuo procedimento di risoluzione :)
ZioGiò, a proposito... stavo cercando di interpretare il tuo secondo quesito.
Cosa farei senza di te a correggermi quando sbaglio?!
Saresti stato utilissimo durante gli esami... Che dici?
Ho modificato come doveva essere (spero).
Per quanto il mio errore sia imperdonabile, cerco qualche scusa che lo motivi:
provando a risolvere il questito mi sono accorto che in effetti la variabile vera è l'esponente e quindi l'avevo chiamato x, mentre con n indicavo la base... Tornando a scriverlo ho voluto adottare la convenzione del primo messaggio e quindi ho iniziato con x e x-1 alla n... Dopodichè, per motivi che lascio spiegare volentieri a psichiatri e psicologi, sono tornato bel bello al modo di scrittura precedente. Scusatemi!

Un'altra domanda è: perchè solo la gente che sta a Bologna è riuscita a risolverlo? E' qualcosa che avete nell'aria di lì? :)

Ciauz!
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