Vincita attesa (facile)

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1708
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Vincita attesa (facile)

Messaggio da Gianfranco »

In questa ruota della fortuna la freccia è ferma mentre il disco può ruotare attorno al suo centro.
vincita_attesa.png
vincita_attesa.png (48.26 KiB) Visto 6420 volte
Le regole di una partita del gioco sono queste:
1) Si fa girare la ruota.
2) Se esce 5 € oppure 10 € si incassa la vincita scritta nel settore uscito e si gira di nuovo la ruota (in pratica si passa al punto 1).
3) Se esce "GAME OVER", la partita è finita.

Qual è la vincita attesa (o la media delle vincite) di una partita?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Re: Vincita attesa (facile)

Messaggio da delfo52 »

rispondo di getto, dopo brevi compitazioni
la serie del rendimento atteso parte con 7,5
al secondo colpo, sale a 8,333
al terzo, 11,666

tende quindi a infinito?
Chiamo Cantor e chiedo
Enrico

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1708
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: Vincita attesa (facile)

Messaggio da Gianfranco »

Anche se non so la risposta finale, a me vengono risultati diversi.
Le vincite attese, considerando partite che durano 1, 2, 3, 4, ... colpi mi vengono:

5 €
+3,333... € = 8,333
+2,222... € = 10,555
+1,481... € = 12,037
etc.

Immaginiamo di fare un numero illimitato di partite.
1/3 di queste finiscono al primo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite è 5/3+10/3=5€

Di questi 2/3 di partite che continuano oltre il primo colpo:
1/3 finiscono al secondo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite che sono arrivate al secondo colpo è 2/3*(5/3+10/3)=10/3=3,333...€

Sommiamo alla media precedente e abbiamo 5+3,333...=8,333...€

Ora i 2/3 dei 2/3 = (2/3)^2 delle partite giocate hanno diritto al terzo colpo:
1/3 di finiscono al terzo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite che sono arrivate al terzo colpo è (2/3)^2*(5/3+10/3)=20/9=2,222...€

Sommiamo alle medie precedenti e abbiamo 5+3,333...+2,222...=10,555...

Se andiamo avanti allo stesso modo, ogni volta si aggiunge sempre meno è PUO' ESSERE che la somma delle medie non cresca all'infinito ma abbia un limite finito.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1521
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Vincita attesa (facile)

Messaggio da panurgo »

Senza formalizzazione, per ogni giro della ruota la vincita attesa è $\left(10+5+0\right)/3=5$ mentre la probabilità di fare il primo giro è $1$, per il secondo è $2/3$, per il terzo $4/9$ ecc.
Allora $5\left(1+2/3+4/9+\cdots\right) = 5\cdot3=15$.
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1708
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: Vincita attesa (facile)

Messaggio da Gianfranco »

Grazie Panurgo, per la spiegazione breve e molto chiara.
Per una via un po' piu contorta ero giunto alla stessa soluzione e la tua risposta da esperto mi rassicura.
Penso di fare un articoletto sul sito su questa famiglia di problemi.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Vincita attesa (facile)

Messaggio da Pasquale »

Ed infatti andiamo a giocare praticamente:

RANDOMIZE
LET S=0
FOR m=1 TO 100000
DO
LET x=INT(RND*3)
IF x=0 THEN
EXIT do
ELSE
LET S=S+5*x
END IF
LOOP
NEXT M
LET Media=S/100000
PRINT Media
END
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Rispondi