Vincita attesa (facile)

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Vincita attesa (facile)

Messaggioda Gianfranco » ven lug 27, 2018 8:34 am

In questa ruota della fortuna la freccia è ferma mentre il disco può ruotare attorno al suo centro.
vincita_attesa.png

Le regole di una partita del gioco sono queste:
1) Si fa girare la ruota.
2) Se esce 5 € oppure 10 € si incassa la vincita scritta nel settore uscito e si gira di nuovo la ruota (in pratica si passa al punto 1).
3) Se esce "GAME OVER", la partita è finita.

Qual è la vincita attesa (o la media delle vincite) di una partita?
Pace e bene a tutti.
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Re: Vincita attesa (facile)

Messaggioda delfo52 » ven lug 27, 2018 10:53 am

rispondo di getto, dopo brevi compitazioni
la serie del rendimento atteso parte con 7,5
al secondo colpo, sale a 8,333
al terzo, 11,666

tende quindi a infinito?
Chiamo Cantor e chiedo
Enrico
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Re: Vincita attesa (facile)

Messaggioda Gianfranco » ven lug 27, 2018 11:42 pm

Anche se non so la risposta finale, a me vengono risultati diversi.
Le vincite attese, considerando partite che durano 1, 2, 3, 4, ... colpi mi vengono:

5 €
+3,333... € = 8,333
+2,222... € = 10,555
+1,481... € = 12,037
etc.

Immaginiamo di fare un numero illimitato di partite.
1/3 di queste finiscono al primo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite è 5/3+10/3=5€

Di questi 2/3 di partite che continuano oltre il primo colpo:
1/3 finiscono al secondo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite che sono arrivate al secondo colpo è 2/3*(5/3+10/3)=10/3=3,333...€

Sommiamo alla media precedente e abbiamo 5+3,333...=8,333...€

Ora i 2/3 dei 2/3 = (2/3)^2 delle partite giocate hanno diritto al terzo colpo:
1/3 di finiscono al terzo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite che sono arrivate al terzo colpo è (2/3)^2*(5/3+10/3)=20/9=2,222...€

Sommiamo alle medie precedenti e abbiamo 5+3,333...+2,222...=10,555...

Se andiamo avanti allo stesso modo, ogni volta si aggiunge sempre meno è PUO' ESSERE che la somma delle medie non cresca all'infinito ma abbia un limite finito.
Pace e bene a tutti.
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Re: Vincita attesa (facile)

Messaggioda panurgo » sab lug 28, 2018 5:45 pm

Senza formalizzazione, per ogni giro della ruota la vincita attesa è $\left(10+5+0\right)/3=5$ mentre la probabilità di fare il primo giro è $1$, per il secondo è $2/3$, per il terzo $4/9$ ecc.
Allora $5\left(1+2/3+4/9+\cdots\right) = 5\cdot3=15$.
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Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
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Re: Vincita attesa (facile)

Messaggioda Gianfranco » mar lug 31, 2018 9:27 pm

Grazie Panurgo, per la spiegazione breve e molto chiara.
Per una via un po' piu contorta ero giunto alla stessa soluzione e la tua risposta da esperto mi rassicura.
Penso di fare un articoletto sul sito su questa famiglia di problemi.
Pace e bene a tutti.
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Re: Vincita attesa (facile)

Messaggioda Pasquale » mer ago 29, 2018 10:52 pm

Ed infatti andiamo a giocare praticamente:

RANDOMIZE
LET S=0
FOR m=1 TO 100000
DO
LET x=INT(RND*3)
IF x=0 THEN
EXIT do
ELSE
LET S=S+5*x
END IF
LOOP
NEXT M
LET Media=S/100000
PRINT Media
END
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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