fai la somma
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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fai la somma
ANNULLATO
Anche di questo non ho la soluzione, ma ve lo passo per la vostra goduria (mi sa che deve essere un po' tosto):
trovare la somma della serie infinita $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+ ....….$, in cui al denominatore compaiono solo numeri divisibili per 2 e/o 3 (giustificare).
ANNULLATO
Anche di questo non ho la soluzione, ma ve lo passo per la vostra goduria (mi sa che deve essere un po' tosto):
trovare la somma della serie infinita $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+ ....….$, in cui al denominatore compaiono solo numeri divisibili per 2 e/o 3 (giustificare).
ANNULLATO
Ultima modifica di Pasquale il mer dic 28, 2005 6:51 pm, modificato 1 volta in totale.
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
...
Pasquale, ciao.
Ho bisogno di un chiarimento, mi sfugge qualcosa.
Il quattro e il due non son divisibili per tre, perché allora non c'è l'otto?
E perché non c'è il nove ma il tre sì?
I denominatori devono essere della forma $\displaystyle {\tex\footnotesize 2^\alpha \cdot 3^\beta}$ con esponenti non negativi?
Intanto grazie
Bruno
Pasquale, ciao.
Ho bisogno di un chiarimento, mi sfugge qualcosa.
Il quattro e il due non son divisibili per tre, perché allora non c'è l'otto?
E perché non c'è il nove ma il tre sì?
I denominatori devono essere della forma $\displaystyle {\tex\footnotesize 2^\alpha \cdot 3^\beta}$ con esponenti non negativi?
Intanto grazie
Bruno
...e il 10? Chiedo scusa, Bruno ha ragione...non ho controllato che il testo fosse aderente alla serie scritta...mi sono fidato ed in effetti questo è accaduto, perché il quesito non l'ho proprio studiato, nella fretta di mettervi al lavoro.....
Va bene, il quesito è da intendersi annullato.
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Chiudo il topic?
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Sarebbe un peccato, perché nella formulazione di Bruno mi pare interessante: la serie è
$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{16}} + \cdots = \sum\nolimits_{\alpha ,\beta \in N} {\frac{1}{{2^\alpha 3^\beta }}}$
E’ possibile raggruppare i termini in
$S_{0,0} = 1$
e infinite somme del tipo
$S_{n,m} = \frac{1}{{2^n 3^m }} + \frac{1}{{2^{2n} 3^{2m} }} + \frac{1}{{2^{3n} 3^{3m} }} + \cdots$
nelle quali $n$ e $m$ devono essere primi tra loro. Ciò perché se, per esempio, $n= p m$ allora
$\frac{1}{{2^n 3^m }} = \frac{1}{{\left( {2^1 3^p } \right)^n }}$
e quindi sarebbe un termine della somma $S_{1,p}$. Ugualmente per $m = q n$
Consideriamo la somma $S_{1,0}$
$S_{1,0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \cdots$
Si tratta della serie geometrica di ragione $\frac 1 2$ senza il primo termine, cioè
$S_{1,0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \cdots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \cdots - 1 = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} - 1 = 1$
La somma somma $S_{0,1}$ vale
$S_{0,1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \cdots = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \cdots - 1 = \frac{1}{{1 - \frac{1}{3}}} - 1 = \frac{1}{2}$
La somma somma $S_{1,1}$ vale
$S_{1,1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{216}} + \frac{1}{{1296}} + \cdots = \frac{1}{5}$
E, in generale, la somma $S_{n,m}$ vale
$S_{n,m} = \frac{1}{{2^n 3^m }} + \frac{1}{{2^{2n} 3^{2m} }} + \frac{1}{{2^{3n} 3^{3m} }} + \cdots = \frac{1}{{2^n 3^m - 1}}$
Nella formulazione di Pasquale, la serie è
$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{16}} + \cdots$
ovvero
$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{12}} + \cdots + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{15}} + \cdots - \frac{1}{6} - \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{18}} - \cdots$
e, quindi
$S = 1 + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}} \right)\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots } \right) = 1 + \frac{2}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots } \right) = \infty$
La serie diverge
$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{16}} + \cdots = \sum\nolimits_{\alpha ,\beta \in N} {\frac{1}{{2^\alpha 3^\beta }}}$
E’ possibile raggruppare i termini in
$S_{0,0} = 1$
e infinite somme del tipo
$S_{n,m} = \frac{1}{{2^n 3^m }} + \frac{1}{{2^{2n} 3^{2m} }} + \frac{1}{{2^{3n} 3^{3m} }} + \cdots$
nelle quali $n$ e $m$ devono essere primi tra loro. Ciò perché se, per esempio, $n= p m$ allora
$\frac{1}{{2^n 3^m }} = \frac{1}{{\left( {2^1 3^p } \right)^n }}$
e quindi sarebbe un termine della somma $S_{1,p}$. Ugualmente per $m = q n$
Consideriamo la somma $S_{1,0}$
$S_{1,0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \cdots$
Si tratta della serie geometrica di ragione $\frac 1 2$ senza il primo termine, cioè
$S_{1,0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \cdots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \cdots - 1 = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} - 1 = 1$
La somma somma $S_{0,1}$ vale
$S_{0,1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \cdots = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \cdots - 1 = \frac{1}{{1 - \frac{1}{3}}} - 1 = \frac{1}{2}$
La somma somma $S_{1,1}$ vale
$S_{1,1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{216}} + \frac{1}{{1296}} + \cdots = \frac{1}{5}$
E, in generale, la somma $S_{n,m}$ vale
$S_{n,m} = \frac{1}{{2^n 3^m }} + \frac{1}{{2^{2n} 3^{2m} }} + \frac{1}{{2^{3n} 3^{3m} }} + \cdots = \frac{1}{{2^n 3^m - 1}}$
Nella formulazione di Pasquale, la serie è
$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{16}} + \cdots$
ovvero
$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{12}} + \cdots + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{15}} + \cdots - \frac{1}{6} - \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{18}} - \cdots$
e, quindi
$S = 1 + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}} \right)\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots } \right) = 1 + \frac{2}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots } \right) = \infty$
La serie diverge
Ultima modifica di panurgo il gio dic 29, 2005 8:35 am, modificato 1 volta in totale.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
In realtà, non devono avere fattori comuni, ovvero $MCD = 1$. Infatti, se $n = p a$ e $m = q a$ allora $\frac 1 {2^n 3^m} = \frac 1 {\left ( 2^p 3^q\right )^a}$ e quindi è un termine della somma $S_{p,q}$panurgo ha scritto:$n$ e $m$ devono essere primi tra loro
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Col che Ospite ha dimostrato anche quanto vale il mio acume...Ospite ha scritto:A me il quesito sembra molto semplice!
La somma è 3 infatti essa si può scrivere nel seguente modo:
$S = \left ( \frac 1 {2^0} + \frac 1 {2^1} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {2^3} + \cdots + \frac 1 {2^n} + \cdots \right) \times \left ( \frac 1 {3^0} + \frac 1 {3^1} + \frac 1 {3^2} + \frac 1 {3^3} + \cdots + \frac 1 {3^n} + \cdots \right)$
Essendo il prodotto di due serie geometriche di ragioni $\frac 1 2$ e $\frac 1 3$ si ottiene:
$\frac 1 {1 - \frac 1 2} \times \frac 1 {1 - \frac 1 3} = 2 \times \frac 3 2 = 3$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"