La formica
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
La formica
Una formica parte da un punto P del bordo inferiore di un cilindro di raggio R ed altezza H e deve compiere n giri completi intorno alla superficie del cilindro, per terminare la sua corsa all'altezza del bordo superiore, sulla verticale del punto di partenza, superando quindi un dislivello H.
Mostrare e dimostrare il percorso più breve possibile.
Mostrare e dimostrare il percorso più breve possibile.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Enrì, penso che si voglia n diverso da 0, altrimenti che problema sarebbe?
In sostanza dovrebbe essere un percorso elicoidale: potrebbe essere un cerchio più l'altezza, oppure un'elica più o meno equidistribuita lungo l'altezza.
In sostanza dovrebbe essere un percorso elicoidale: potrebbe essere un cerchio più l'altezza, oppure un'elica più o meno equidistribuita lungo l'altezza.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
non vedo come potrebbe essere altrimenti;
immagino di tagliare il cilindro e di spianarlo in modo da ridurre la superficie (interna!) ad un rettangolo; facendo per comodità, coincidere il punto di partenza con vertice e quello d'arrivo ad un vertice adiacente. Il problema è collegare i due punti con una linea, o meglio una serie di linee corrispondenti ai giri compiuti dalla formica.
Di strategie possibili , a occhio, se ne possono ipotizzare due:
tutti i giri con uguale "pendenza", che siglnifica sommare n ipotenuse di n triangoli rettangoli con base uguale al perimetro del cilindro e altezza pari all'altezza/n ;
oppure (n-1) volte la base del rettangolo (= perimetro del cilindro) e una diagonalona (ipotenusa del triangolo avente base e altezza come cateti).
Da poche verifiche fatte a campione, risulta sempre vincente la strategia di equidistribuzione; il che è coerente ed intuitivo, collegandosi al concetto-teorema che in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due, e soprattutto all'esperienza di qualunque ciclista o podista della domenica che ben sa che il modo migliore di superare un dislivello èe quello di distribuire nel modo più equo il dislivello stesso.
immagino di tagliare il cilindro e di spianarlo in modo da ridurre la superficie (interna!) ad un rettangolo; facendo per comodità, coincidere il punto di partenza con vertice e quello d'arrivo ad un vertice adiacente. Il problema è collegare i due punti con una linea, o meglio una serie di linee corrispondenti ai giri compiuti dalla formica.
Di strategie possibili , a occhio, se ne possono ipotizzare due:
tutti i giri con uguale "pendenza", che siglnifica sommare n ipotenuse di n triangoli rettangoli con base uguale al perimetro del cilindro e altezza pari all'altezza/n ;
oppure (n-1) volte la base del rettangolo (= perimetro del cilindro) e una diagonalona (ipotenusa del triangolo avente base e altezza come cateti).
Da poche verifiche fatte a campione, risulta sempre vincente la strategia di equidistribuzione; il che è coerente ed intuitivo, collegandosi al concetto-teorema che in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due, e soprattutto all'esperienza di qualunque ciclista o podista della domenica che ben sa che il modo migliore di superare un dislivello èe quello di distribuire nel modo più equo il dislivello stesso.
Enrico
Sembra che la disuguaglianza triangolare metta la parola fine sulla questione del percorso minimo, e invece ci sono ben $2^n$ percorsi minimi...
P.S.: che la festa sia con voi!
P.S.: che la festa sia con voi!
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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Scusatemi, ma le feste natalizie mi hanno portato in un luogo sconnesso e non ho potuto praticare il Foro.
Consideriamo lo sviluppo della superficie laterale del cilindro: un rettangolo. Il percorso della formica diviene una retta che congiunge vertici opposti del rettangolo
Chiaramente, qualunque percorso diverso, sia esso una curva o una spezzata, è più lungo di quello rettilineo
ma, nulla vieta di considerare il percorso a spirale nel verso opposto (l’altra diagonale del rettangolo)
Prendiamo, per esempio, $n = 4$: ad ogni giro siamo liberi di scegliere quale delle due spirali seguire!
Quindi, vi sono $2^n$ percorsi minimi, ciascuno lungo $\sqrt {n^2 \left (2 \pi r \right )^2 + h^2}$.
Al crescere di $n$ la distanza percorsa tende a $2 n \pi r$
Consideriamo lo sviluppo della superficie laterale del cilindro: un rettangolo. Il percorso della formica diviene una retta che congiunge vertici opposti del rettangolo
Chiaramente, qualunque percorso diverso, sia esso una curva o una spezzata, è più lungo di quello rettilineo
ma, nulla vieta di considerare il percorso a spirale nel verso opposto (l’altra diagonale del rettangolo)
Prendiamo, per esempio, $n = 4$: ad ogni giro siamo liberi di scegliere quale delle due spirali seguire!
Quindi, vi sono $2^n$ percorsi minimi, ciascuno lungo $\sqrt {n^2 \left (2 \pi r \right )^2 + h^2}$.
Al crescere di $n$ la distanza percorsa tende a $2 n \pi r$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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