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Prendiamo un'equazione di questo tipo:
13x+21y = 67.
Sappiamo che si può trattare in vari modi:
per esempio, mediante l'algoritmo euclideo
o con i metodi di Eulero, Hermite, Lagrange
etc, oppure ricorrendo alle frazioni continue.
Diversi e ottimi testi divulgativi se ne sono
occupati
(*).
A me viene da ragionare in questo modo.
Poiché
67 è dispari, proprio come
13 e
21,
bisogna che una delle incognite sia dispari
e l'altra sia pari. Ma non posso decidere
quale, fra
x e
y, sia dispari e quale, invece,
sia pari. Tuttavia, posso senz'altro dire questo:
esistono certamente due interi
p e
q, e sono
unici, tali che:
x = p+q e
y = p-q-1.
Sostituendo, trovo:
34p-8q = 88
ossia:
17p-4q = 44.
Qui vedo subito che dev'essere:
p = 4r
e quindi:
17r-q = 11
cioè:
q = 17r-11,
che porta a:
x = 21r-11 e
y = -13r+10.
Con le sostituzioni del tipo visto sopra,
si trovano pertanto delle nuove relazioni
caratterizzate da coefficienti più piccoli,
più maneggevoli e semplificabili.
Il metodo è generale, anche se una
sostituzione non vale l'altra. Se avessi
considerato, per esempio,
x = p-q e
y = p+q+1 (e avrei potuto certamente
farlo), avrei trovato lo stesso la soluzione,
questo sì, però non altrettanto rapidamente.
Con un pizzico di osservazione sui termini
noti, si può abbreviare il cammino (ma penso
che si possa tentare un'ottimizzazione del
procedimento, in generale, stabilendo qualche
regola nella scelta delle sostituzioni più
convenienti).
In maniera simile, potrei affrontare questa
indeterminata:
13x+21y = 68,
osservando che
x e
y devono essere al
tempo stesso pari o dispari, quindi sapendo
che esistono (e sono unici) due interi
p e
q tali
che
x = p+q e
y = p-q.
Poiché il metodo è generale, posso adottarlo
anche in presenza di più di due incognite.
Per esempio, appunto, prendendo la
relazione del quiz proposto:
15x+17y+29z=100.
Osservo, già alla prima occhiata, che le
variabili potrebbero essere tutte pari oppure
che una soltanto di esse potrebbe esserlo.
Per
x,
y e
z, quindi, esistono senz'altro
tre numeri interi
p,
q ed
r mediante i quali
posso esprimere le precedenti incognite;
ossia, tali che:
x = p+q
y = p+r
z = -q-r
Infatti, le relazioni:
2p = x+y+z
2q = x-y-z
2r = y-x-z
sono sempre ammissibili quando
x,
y e
z
siano tutte pari o una sola di esse sia
pari, come dicevo sopra.
Questo fatto mi permette di intervenire
sui coefficienti delle incognite, in modo da
ottenerne degli altri che siano semplificabili,
fino al punto di renderli unitari.
Dalla relazione iniziale, allora, posso via via
ricavare le seguenti:
15(p+q)+17(p+r)-29(q+r) = 100
32p-14q-12r = 100
16p-7q-6r = 50
e qui, ponendo ovviamente
q = 2s:
8p-7s-3r = 25.
In maniera altrettanto evidente,
r ed
s non
possono essere contemporaneamente pari
o dispari, per cui (per lo stesso principio
descritto sopra) esistono unicamente due
interi
u e
v, per esempio, tali che:
r = u+v+1
s = u-v.
Dopo due veloci passaggi sono costretto a
porre
u = 2t e quindi trovo, successivamente:
v = 8+5t-2p
r = 8+7t-2p
s = 2p-3t-7
q = 4p-6t-14
e infine:
x = 5p-6t-14
y = 8+7t-p
z = 6-2p-t.
(Se&o)
Dunque, quando non possiamo stabilire
se un'incognita sia pari o dispari (caso più
semplice e immediato), possiamo sempre
metterla in relazione con le altre incognite
rispetto alla stessa o diversa 'parità', in base
alle caratteristiche dei termini noti. Per far
questo, allora, vengono introdotte delle
nuove incognite che permettono di modificare
(e ridurre) i coefficienti e quindi di agevolare
la risoluzione.
Ecco, volevo solo parlarvi di questo metodo
perché mi sembra che abbia diversi aspetti
interessanti, pur essendo pochissimo conosciuto.
In realtà, non mi è ancora capitato di leggerne
qualcosa da quando l'ho 'scoperto'... ma non
dubito che qualcosa ne sia stato scritto
Bruno
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(*)
F. Enriques (a cura di) "Questioni riguardanti le matematiche elementari", Zanichelli, Bologna
R. Courant, H. Robbins "Che cos'è la Matematica?", Bollati Boringhieri, Torino
C. D. Olds "Frazioni continue", Zanichelli, Bologna
H. Davenport "Aritmetica superiore - un'introduzione alla teoria dei numeri", Zanichelli, Bologna
M. Fontana Dispense, Roma
L'argomento ha stimolato l'interesse e le ricerche di vari studiosi e appassionati nel corso
tempo, ma non si può ancora dire che sia stato detto tutto. A me è capitato di leggere
una grande quantità di procedimenti risolutivi, alcuni molti belli.
Vi propongo questo articolo 'antico' del Prof. Giacomo Cardoso-Laynes, dai cui scritti ho
spesso imparato molto:
> Supplemento al Periodico di Matematica, Dicembre 1906, Anno X, Fasc. II,
"Su la risoluzione in numeri interi dell'equazione lineare a due incognite":
- pag. 1
- pag. 2
- pag. 3
- pag. 4
- pag. 5.
