Gli uomini in cerchio

[ronfo]

Ciao a tutti,
con il caldo che mi tormenta non posso più fare le mie passeggiate ragion per cui ho ripreso i miei amati libri di argomenti matematici.
Ho trovato questo interessante problemino ( non credo di averlo già postato ) .
Ve lo propongo.
Alcuni uomini erano seduti in cerchio, sicché ciascuno di essi aveva due vicini e ciascuno di essi aveva un certo numero di monete.
Il primo aveva una moneta in più del secondo , che aveva una moneta in più del terzo , e così via .
Il primo diede una moneta al secondo , che diede due monete al terzo, e così via ciascuno dando una moneta in più di quanto ricevuto al vicino successivo, finché fu possibile.
Alla fine c'erano due vicini uno dei quali aveva quattro volte più monete dell'altro.
Quanti uomini c'erano ; quante monete aveva inizialmente il più povero?
Buona divertimento a tutti!

[panurgo]

Alla fine c'erano due vicini uno dei quali aveva quattro volte più monete dell'altro.

Dobbiamo interpretare come

$\text{uno} = \text{altro} + 4 \;\text{altro}$

oppure

$\text{uno} = 4 \;\text{altro}$

?

Nel primo caso $9$ e $3$, nel secondo $7$ e $2$.

PS: non posto il ragionamento per lasciarvi divertire...

[ronfo]

Ciao Panurgo.
L'interpretazione giusta è la seconda.
Il problema l'ho trovato nel libro "Le gioie della matematica " di Theoni Pappas che a sua volta lo ha estratto da "Pillow Problems ( problema N.8 ) " di Lewis Carrol.
Nel testo ho solo sostituito scellini con monete.
buona giornata

[panurgo]

Il tempo è passato quindi vado…

Riformulo: ci sono $n$ persone sedute in cerchio ("uomini" poteva andare bene quando Lewis Carroll ha scritto Pillow Problems): la prima ha un certo numero di monete, la seconda ne ha una in più della prima, la terza una in più della seconda e così via.
La situazione si sintetizza così

$\left\{p+1,p+2,p+3,\ldots,p+n\right\}$

Si comincia: la prima persona dà una moneta alla seconda, la seconda dà due monete alla terza, la terza ne dà tre alla quarta e così via fino a che l'ennesima persona dà $n$ monete alla prima: tutti hanno dato una moneta in più rispetto a quelle che hanno ricevuto tranne la prima persona che ne riceve $n-1$ in più di quella che ha dato.
La situazione è diventata

$\left\{p+1+\left(n-1\right),\overbrace{p+2-1,p+3-1,\ldots,p+n-1}^{n-1}\right\}$

Dopo $k$ mosse la situazione è

$\left\{p+1+k\left(n-1\right),p+2-k,p+3-k,\ldots,p+n-k\right\}$

Evidentemente il gioco finisce quando la seconda persona finisce le monete cioè quando $k=p+2$: la situazione a tal punto è

$\left\{p+1+\left(p+2\right)\left(n-1\right),0,1,\ldots,n-2\right\}$

Le due persone che hanno l'una un numero di monete multiplo dell'altra sono la prima e l'ultima poiché le somme possedute dalle altre coppie differiscono di uno tranne che per la prima persona e la seconda e zero non ha multipli.
Quindi deve essere

$p+1+\left(p+2\right)\left(n-1\right)=m\left(n-2\right)$

Riorganizziamo questa espressione

$2m-1=n\left(m-2-p\right)$

Poniamo per comodità $m=p+q+2$ e otteniamo

$2p+3=\left(n-2\right)q$

Poiché il membro di sinistra è dispari segue che il membro di destra deve essere il prodotto di due numeri dispari: fissiamo

$n=2a+1,\qquad a>0$

$a$ non può essere zero perché $n>1$ ("persone"), e

$q=2b+1,\qquad b\geq 0$

Da

$2p+3=\left(2a-1\right)\left(2b+1\right)$

otteniamo

$p=2ab+a-b-2$

e

$m=2ab+a+b+1$

Se $b>0$ allora $\min\left(m\right)=5$. Nel nostro caso $m=4$: posto $b=0$ abbiamo

$a=3,\qquad p=1,\qquad n=7$

ovvero

$\left\{2,3,4,5,6,7,8\right\}\to\left\{4\cdot 5,0,1,2,3,4,5\right\}$

[ronfo]

Ciao Panurgo, e ciao a tutti.
Ho letto la tua soluzione e sono rimasto allibito ,
in un primo momento perché pensavo di aver esposto in modo sbagliato il problema , poi perché anche con la tua interpretazione il risultato non cambia. (almeno così ho interpretato 7 persone e 2 monete )
La prima persona è quella che ha il maggior numero di monete non quella che ne ha di meno.
Ti riporto la spiegazione che ha dato Lewis Carroll ( Ti risparmio le mie elucubrazioni mentali per giungere al risultato).
p = numero di persone
K = numero di monete dell'ultima persona ( quella più povera).
Dopo un giro , ogni persona ha una moneta in meno e il mucchio circolante di monete contiene "p" monete.
dopo K giri , ciascuna persona ha "K" monete in meno, l'ultimo non ha nemmeno una moneta e il mucchio contiene "p* K" monete.
Il processo termina quando l'ultima persona deve passare al suo vicino il mucchio che contiene allora (p* K + p-1 ) monete
La penultima persona ora non ha nulla mentre la prima ha (p-2) monete.
La prima e l'ultima sono le uniche persone che possono avere le monete in rapporto 4 a 1.
Quindi
1) o (p*K + p-1)=4(p-2)
2) oppure 4(p*K + p-1)=(p-2)
dalla prima equazione si ricavano valori interi p=7 e K=2
la seconda non da nessun valore intero.
Buona giornata a tutti

[panurgo]

La prima persona è quella che ha il maggior numero di monete non quella che ne ha di meno.

Mea culpa: probabilmente devo imparare di nuovo a leggere...

[panurgo]

Mea culpa: probabilmente devo imparare di nuovo a leggere...

Comunque, non tutto il male vien per nuocere. O gli errori.

Infatti, "errore" viene da "errare" che significa sì "sbagliare (strada)" ma anche "vagare" e noi abbiamo incontrato qualcosa di inaspettato: il risultato ottenuto interpretando in modo errato la descrizione del problema non è sbagliato.

Con il mio formalismo

$\left\{p+n,\;p+n-1,\;p+n-2,\;\ldots,\;p+1\right\}\to\left\{p+n+\left(p+1\right)\left(n-1\right),\;n-2,\;n-1,\;\ldots,\;0\right\}$

e, dato che è certamente

$p+n+\left(p+1\right)\left(n-1\right)>n>n-2$

deve essere

$p+n+\left(p+1\right)\left(n-1\right)=m\left(n-2\right)$

e, posto come prima $m=p+q+2$, con facile algebra otteniamo anche qui

$2p+3=\left(n-2\right)q$

cioè la stessa equazione con le stesse soluzioni. Ma perché?

Proviamo ad eseguire il processo in un caso semplice registrando tutti i passaggi di monete: la situazione iniziale (versione corretta) è

$\left\{5,4,3,2,1\right\}$

Passiamo le monete

$\begin{array}{lC}
\left\{5-1,\;4+1,\;3,\;2,\;1\right\}\qquad\to\qquad\left\{4,\;5,\;3,\;2,\;1\right\} \\
\left\{4,\;5-2,\;3+2,\;2,\;1\right\}\qquad\to\qquad\left\{4,\;3,\;5,\;2,\;1\right\} \\
\left\{4,\;3,\;5-3,\;2+3,\;1\right\}\qquad\to\qquad\left\{4,\;3,\;2,\;5,\;1\right\} \\
\left\{4,\;3,\;2,\;5-4,\;1+4\right\}\qquad\to\qquad\left\{4,\;3,\;2,\;1,\;5\right\} \\
\left\{4+5,\;3,\;2,\;1,\;5-5\right\}\qquad\to\qquad\left\{9,\;3,\;2,\;1,\;0\right\}=\left\{3\cdot3,\;3,\;2,\;1,\;0\right\}
\end{array}$

Che succede se passiamo le monete nel verso opposto?

$\begin{array}{lC}
\left\{5-1,\;4,\;3,\;2,\;1+1\right\}\qquad\to\qquad\left\{4,\;4,\;3,\;2,\;2\right\} \\
\left\{4,\;4,\;3,\;2+2,\;2-2\right\}\qquad\to\qquad\left\{4,\;4,\;3,\;4,\;0\right\} \\
\left\{4,\;4,\;3+3,\;4-3,\;0\right\}\qquad\to\qquad\left\{4,\;4,\;6,\;1,\;0\right\} \\
\left\{4,\;4+4,\;6-4,\;1,\;0\right\}\qquad\to\qquad\left\{4,\;8,\;2,\;1,\;0\right\} \\
\left\{4+5,\;8-5,\;2,\;1,\;0\right\}\qquad\to\qquad\left\{9,\;3,\;2,\;1,\;0\right\}=\left\{3\cdot3,\;3,\;2,\;1,\;0\right\}
\end{array}$

Sembra che il risultato non dipenda dal verso!

Per trovare la soluzione del problema in generale abbiamo osservato che ogni persona cede una moneta in più di quelle che riceve tranne la prima che ne riceve $n-1$ in più di quella che cede.

Possiamo semplificare il processo dividendolo in due passaggi:

1.ogni persona mette una moneta in un bussolotto al centro del cerchio ($-1$)

$\left\{5,\;4,\;3,\;2,\;1\middle|0\right\}\qquad\to\qquad\left\{4,\;3,\;2,\;1,\;0\middle|5\right\}$

2.una persona (la prima) svuota il bussolotto ($+n$)

$\left\{4,\;3,\;2,\;1,\;0\middle|5\right\}\qquad\to\qquad\left\{9,\;3,\;2,\;1,\;0\middle|0\right\}$

Adesso sappiamo perché il verso in cui si gira è irrilevante: ai fini pratici... non si gira.

Possiamo anche scrivere in modo più familiare (quello che ha catturato la mia percezione e mi ha fatto sbagliare)

$\left\{1,\;2,\;3,\;4,\;5\middle|0\right\}\qquad\to\qquad\left\{0,\;1,\;2,\;3,\;4\middle|5\right\}\qquad\to\qquad\left\{0,\;1,\;2,\;3,\;9\middle|0\right\}$

l'importante è quale persona arraffa il bussolotto.

Siamo anche in grado di capire perché il problema errato (errante?) dà lo stesso risultato: nella nuova versione, con il primo passaggio,

$\left\{p+1,\;p+2,\;p+3,\;...,\;\mathbf{p+n}\;\middle|\;0\right\}\qquad\to\qquad\left\{p,\;p+1,\;p+2,\;...,\;p+n-1\;\middle|\;n\right\}\qquad\to\qquad\left\{\mathbf{p+n},\;p+1,\;p+2,\;...,\;p+n-1\;\middle|\;0\right\}$

l'ultimo diventa il primo!

[ronfo]

Ciao Panurgo.
Complimenti sei un mostro(di bravura).
Devo ammettere che ci ho messo un po' a seguire il tuo ragionamento , ma si sa che la matematica procede lentamente (specie per chi ha qualche decade di età) .
In effetti da quanto hai esposto si arriva allo stesso risultato sia girando in un senso che nell'altro (cosa che non avevo contemplato).
Grazie ancora e buona continuazione