Terne non Pitagoriche

[Maurizio59]

Un triangolo scaleno ha un angolo di 60° e i suoi tre lati sono numeri interi primi fra loro.
Trova la lunghezza dei lati dei cinque triangoli di perimetro minimo.

[Quelo]

Ogni terna così definita ha una compagna, che si ottine riflettendo il terzo lato sull'altezza

Qui abbiamo l'esmpio di perimetro minimo {3,7,8} e {5,7,8}

terne_non_pitagorighe.png (41.83 KiB) Visto 6957 volte

[Maurizio59]

Bene Quelo.
Infatti le terne esistono in coppie.
Ad esse corrispondono un triangolo acutangolo e uno ottusangolo e nelle quali varia solo il lato minore.
Conoscendo la tripla corrispondente al triangolo ottusangolo ABC come possiamo ricavare la gemella corrispondente al triangolo acutangolo AEC?
Altre terne e altre caratteristiche?

[franco]

Bene Quelo.
...
Ad esse corrispondono un triangolo acutangolo e uno ottusangolo e nelle quali varia solo il lato minore.
Conoscendo la tripla corrispondente al triangolo ottusangolo ABC come possiamo ricavare la gemella corrispondente al triangolo acutangolo AEC?
...

Se chiamo $a$, $b$, $c$ i lati del triangolo ottusangolo (opposti rispettivamente ai vertici A, B, C come da disegno), la terna corrispondente dell'acutangolo credo sia $a$, $b$, $(b-c)$

[Maurizio59]

...
Se chiamo $a$, $b$, $c$ i lati del triangolo ottusangolo (opposti rispettivamente ai vertici A, B, C come da disegno), la terna corrispondente dell'acutangolo credo sia $a$, $b$, $(b-c)$

Credi bene, Franco.

[franco]

In effetti stavo per editare il post sostituendo "credo sia" con "è".
Si può facilmente vedere graficamente considerando che l'ottusangolo e l'acutangolo messi assieme fanno un equilatero:

terneNP.png (19.31 KiB) Visto 6729 volte

[franco]

Oltre alle due terne individuate da Sergio, ho trovato queste:
15-13-7 ... 15-13-8
21-19-5 ... 21-19-16
35-31-11 ... 35-31-24
40-37-7 ... 40-37-33
48-43-13 ... 48-43-35

[Maurizio59]

Oltre alle due terne individuate da Sergio, ho trovato queste:
15-13-7 ... 15-13-8
21-19-5 ... 21-19-16
35-31-11 ... 35-31-24
40-37-7 ... 40-37-33
48-43-13 ... 48-43-35

Ottimo.
Dai risultati si può stabilire la seguente congettura: Le terne sono formate solo da numeri dispari o da multipli di 8.
Qualcuno è in grado di dimostrarla o confutarla?

[Quelo]

Aggiungo una congettura:

Se $P_n$ è l'n-esimo numero primo, allora tutti i numeri ottenuti dal prodotto di $P_n$ e uno qualsiasi dei successivi $n$ numeri primi, sono i lati lunghi di almeno una coppia di terne non pitagoriche

Esempi:
$n = 2$
$P_n=3$
$P_n \cdot P_{n+1} = 3 \cdot 5=15$
$P_n \cdot P_{n+2} = 3 \cdot 7=21$

$n = 3$
$P_n=5$
$P_n \cdot P_{n+1} = 5 \cdot 7=35$
$P_n \cdot P_{n+2} = 5 \cdot 11=55$
$P_n \cdot P_{n+3} = 5 \cdot 13=65$

Codice: Seleziona tutto

[15, 13, 7] ... [15, 13, 8]
[21, 19, 5] ... [21, 19, 16] 
[35, 31, 11] ... [35, 31, 24] 
[55, 49, 16] ... [55, 49, 39] 
[65, 61, 9] ... [65, 61, 56] 
[77, 67, 32] ... [77, 67, 45] 
[91, 79, 40] ... [91, 79, 51] 
[119, 109, 24] ... [119, 109, 95]
[133, 127, 13] ...[133, 127, 120]

[panurgo]

Le Terne Pitagoriche sono le soluzioni dell’equazione diofantea

$c^2=a^2+b^2$

La soluzione generale, come è noto, è

$\left\{\begin{array}{lC} a=m^2-n^2 \\ b=2mn \\ c=m^2+n^2\end{array}\right.$

Le Terne Non Pitagoriche sono le soluzioni dell’equazione diofantea (Teorema del Coseno, $\cos(60^\circ)=1/2$)

$c^2=a^2+b^2-ab$

Proviamo a vedere se esiste una soluzione generale anche per queste: aggiungiamo alle soluzioni generali precedenti dei polinomi di secondo grado in $m$ e $n$

$\left\{\begin{array}{lC} a=m^2-n^2+P(m,n) \\ b=2mn+Q(m,n) \\ c=m^2+n^2+R(m,n)\end{array}\right.$

Sembra opportuno che $R$ sia un monomio misto perché nell’altro membro dell’equazione abbiamo il termine $ab$. Proviamo dunque

$\left\{\begin{array}{lC} a=m^2-n^2+\alpha m^2 \\ b=2mn+\beta n^2\\ c=m^2+n^2+\gamma mn\end{array}\right.$

Espandiamo l’equazione

$c^2=a^2+b^2-ab$

ottenendo

$\underline{(m^2+n^2)^2}+2\gamma mn(m^2+n^2)+\gamma^2 m^2 n^2=\underline{(m^2-n^2)^2}+2\alpha m^2 (m^2-n^2)+\alpha^2 m^4 +\underline{(2mn)^2}+2\beta n^2 (2mn)+\beta^2 n^4-(m^2-n^2+\alpha m^2)(2mn+\beta n^2)$

Dalle Terne Pitagoriche sappiamo che

$(m^2+n^2)^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2$

quindi togliamo quei termini e otteniamo

$2\gamma mn(m^2+n^2)+\gamma^2 m^2 n^2=2\alpha m^2 (m^2-n^2)+\alpha^2 m^4 +2\beta n^2 (2mn)+\beta^2 n^4-(m^2-n^2+\alpha m^2)(2mn+\beta n^2)$

Una volta espansi i prodotti e raccolti i vari temini otteniamo l’equazione

$(\alpha^2+2\alpha) m^4-2(\alpha+\gamma+1) m^3 n-(2\alpha+\alpha\beta+\beta+\gamma^2) m^2 n^2+2(2\beta-\gamma+1) mn^3+(\beta^2+\beta) n^4=0$

Due polinomi sono uguali tra loro solo se lo sono i loro coefficienti, il membro di destra dell’equzione è il polinomio nullo quindi tutti i coefficienti del membro di sinistra devono essere nulli

$\left\{\begin{array}{lC} \alpha^2+2\alpha=0 \\ \alpha+\gamma+1=0 \\ 2\alpha+\alpha\beta+\beta+\gamma^2=0 \\ 2\beta-\gamma+1=0 \\ \beta^2+\beta=0 \end{array}\right.$

La prima equazione ha due radici: $\alpha=0$ e $\alpha=-2$; se poniamo $\alpha=-2$ otteniamo

$a=-(m^2+n^2)<0$

quindi questa soluzione non è accettabile. Con $\alpha=0$ abbiamo

$\left\{\begin{array}{lC} \alpha =0 \\ \gamma+1=0 \\ \beta+\gamma^2=0 \\ 2\beta-\gamma+1=0 \\ \beta^2+\beta=0 \end{array}\right.$

Dalla seconda equazione ricaviamo $\gamma=-1$ e dalla terza ricaviamo $\beta=-1$: sostituendo i valori nella quarta e nella quinta equazione si verifica

$\left\{\begin{array}{lC} \alpha =0 \\ \gamma=-1 \\ \beta=-1 \\ 2(-1)-(-1)+1=0 \\ (-1)^2+(-1)=0 \end{array}\right.$

La soluzione generale dell’equazione diofantea

$c^2=a^2+b^2-ab$

è dunque

$\left\{\begin{array}{lC} a=m^2-n^2 \\ b=2mn-n^2\\ c=m^2+n^2-mn\end{array}\right.$

P.S.: Terne Non Pitagoriche $\equiv$ Terne di Eisenstein.