Una strana formula

[Maurizio59]

Un poliedro regolare ha n facce a forma di triangolo equilatero di lato 1 (n = 4, n = 8, n = 20). Dimostra che il volume del poliedro è dato dalla seguente formula:
$$\large V=\frac{n}{12\sqrt{3\tan^2(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3n})-1}}$$

[Gianfranco]

Non so come si possa dimostrare ma il problema è interessante e butto giù qualche idea.

1) Partirei dai poliedri regolari nominati e dalle rispettive sfere inscritte. Per esempio il tetraedro.

tetra_sfera.png (92.77 KiB) Visto 49970 volte

2) Una formula generale per il volume di questi poliedri potrebbe essere:
$\large \displaystyle V=\frac{n A r}{3}$
dove:
A = area di una faccia
n = numero delle facce
r = raggio della sfera inscritta

3) Poiché nel nostro caso lo spigolo è lungo 1, abbiamo, per tutti i poliedri considerati:
$\large \displaystyle A=\frac{\sqrt{3}}{4}$

4) Quindi il volume diventa:
$\large \displaystyle V=\frac{n r\sqrt{3}}{12}$

$\large \displaystyle V=\frac{n}{12} r \sqrt{3}$

5) A questo punto si dovrebbe esprimere il raggio r in funzione dello spigolo (=1) e delle altre proprietà del poliedro... forse potrebbe essere:
$\large \displaystyle r=\frac{\tan{\left( \frac{a}{2}\right) }}{2 \sqrt{3}} $
dove:
a = angolo diedro del poliedro

Ma questa forma dipende dall'angolo diedro..., perciò è meglio che mi fermo qui.

[Quelo]

Se sviluppiamo le formule per il volume dei poliedri regolari a facce triangolari di lato 1

$\displaystyle V_4=\frac{\sqrt{2}}{12}; \quad V_8=\frac{\sqrt{2}}{3}; \quad V_{20}=\frac{\sqrt{5(3+\sqrt{5})}}{12}$

Otteniamo

$\displaystyle V_4=\frac{4}{12\sqrt{3\cdot (\sqrt{3})^2-1}}; \quad V_8=\frac{8}{12\sqrt{3\cdot1^2-1}}; \quad V_{20}=\frac{20}{12\sqrt{3\cdot (\sqrt{5-2\sqrt{5}})^2-1}}$

Che corrispondono a

$\displaystyle V_4=\frac{4}{12\sqrt{3\tan^2{(\frac{\pi}{3})}-1}}; \quad V_8=\frac{8}{12\sqrt{3\tan^2{(\frac{\pi}{4})}-1}}; \quad V_{20}=\frac{20}{12\sqrt{3\tan^2{(\frac{\pi}{5})}-1}}$

$3, 4, 5$ sono spigoli in un vertice rispettivamente di tetraedro, ottaedro, icosaedro
Immagino che il legame sia quello

[Gianfranco]

Se sviluppiamo le formule per il volume dei poliedri regolari a facce triangolari di lato 1...

Simpatica e interessante questa operazione quasi di reverse engineering!

[Maurizio59]

Giuste considerazioni per entrambi.
Ma la soluzione è ancora lontana