Testa o croce

[Paolo32]

Ci sono due giocatori, A e B, che devono ottenere testa lanciando una moneta non truccata, comincia A: se ottiene testa vince altrimenti la moneta passa a B che se ottiene testa ha vinto altrimenti la moneta ripassa ad A etc. fino a quando uno dei due non ottiene testa. Ovviamente A, cominciando per primo, ha una probabilità totale di vincere superiore a quella di B; quale è questa probabilità?

[Gianfranco]

Affinché A vinca (prima o poi), deve verificarsi la seguente sequenza di esiti:
T
oppure
CCT
oppure
CCCCT
oppure
CCCCCCT
oppure
CCCCCCCCT
oppure
...
La probabilità totale è:
$\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^5} ... + \frac{1}{2^{2n-1}}+...$

Raccogliamo $\displaystyle\frac{1}{2}$
$\displaystyle\frac{1}{2}(\frac{1}{4^0}+ \frac{1}{4^1}+\frac{1}{4^2} ... + \frac{1}{4^{n}}+...)$

Il risultato della sommatoria, moltiplicato per $\displaystyle\frac{1}{2}$ è: $\displaystyle\frac{2}{3}$

P.S. C'è anche una dimostrazione "ricorsiva" molto più semplice, ma è abbastanza nota...

[Paolo32]

Grazie Gianfranco, io avevo un altro tipo di soluzione: prima che A lanci la monete B ha una probabilità totale che diventa quella che aveva A quindi B avrebbe una probabilità $1/2$ di avere probabilità di vincere che aveva A prima del lancio della moneta, ossia B=$1/2$ A. Dato che A+B=1 abbiamo A + $1/2$ A =1 Quindi $3/2 A =1$ e A =$2/3$

[Gianfranco]

io avevo un altro tipo di soluzione...

Giusto Paolo, è quella a cui mi riferivo.

[Paolo32]

La soluzione di Gianfranco mi piace più della mia, elegante e precisa.