Un altro quadrato.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Un altro quadrato.

Messaggio da Bruno »

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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da Pasquale »

Con carta quadrettata, riga e matita, tracciando il rettangolo che comprende il quadrato ed il triangolo con P e calcolando le varie superfici, si può ottenere P+Q da cui sottrarre poi Q. Risulterebbe infine P metà di Q.
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Bruno
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da Bruno »

Ah, certo... e il gioco è fatto 😄 🙃 :mrgreen:
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franco
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da franco »

Io, senza usare la carta quadrettata, avevo ottenuto un risultato diverso (P/Q = 25/46) quindi presumibilmente ho fatto qualche errore :(
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
sab nov 20, 2021 2:08 am
Con carta quadrettata, riga e matita, tracciando il rettangolo che comprende il quadrato ed il triangolo con P e calcolando le varie superfici, si può ottenere P+Q da cui sottrarre poi Q. Risulterebbe infine P metà di Q.
E' una buona approssimazione, tenendo conto che nel calcolo delle aree gli errori di misurazione si moltiplicano.
Nella figura seguente ci sono i risultati teorici prendendo come lato del quadrato 5 cm.

La chiave del procedimento è il punto d'intersezione delle rette oblique, trovata per via analitica.
Il rapporto è 25/46.
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da franco »

Io ho ragionato così:

Faccio riferimento alla figura qui sotto, assegnando arbitrariamente il valore 60 (*) alla misura del lato del quadrato.
altroquadrato.png
altroquadrato.png (10.21 KiB) Visto 601 volte
L’area del pentagono irregolare BCDFG si calcola per differenza fra quella del quadrato e quella dei due triangoli Q = 2070
I triangoli KCB e BGA sono simili: KC/CB=AG/AB → KC=40
I triangoli KCB e KHJ sono simili: KH/KC=JH/BC → (100+x)/40=(30+x)/24 → x=75
L’area del triangolo FJG si calcola quindi immediatamente: P = 1125
P/Q = 1125/2070 = 25/46


(*) 60 è un valore comodo per trovarmi sempre con numeri interi ...
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Pasquale
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da Pasquale »

A seguito di quanto sopra, qualche precisazione:
disegno.jpg
disegno.jpg (40.96 KiB) Visto 589 volte
Come già detto, ho proceduto tramite il disegno con semplici calcoli sulla base dello stesso e dunque anche della sua possibile imprecisione.
Infatti i quadratini di sfondo non è detto che siano perfettamente quadrati ed è sulla scorta di tale considerazione che ho arrotondato a 0,5 il risultato che in realtà risulta essere 0,504..., che pure potrebbe essere non esatto.
Ad ogni buon fine, nell'idea di minimizzare l'errore del disegno, ho considerato come unità di misura il quadratino del reticolato, da cui discendono le seguenti misure:

lato del quadrato AKPE = 10
AH = HK = KG = GP = 5
Lati del rettangolo esterno:
AB = 22; BC=17
Abbiamo poi AF=4 e EF=6

In definitiva, l' approssimazione potrebbe essere dovuta all'inesattezza della posizione di C.
Tanto premesso, il procedimento consiste poi nella semplice sottrazione di superfici, per il calcolo di P+Q, e della sola Q, da cui P e Q ed infine il rapporto 29/67,5, che con un po' di maggiore precisione del disegno, avrebbe potuto essere 29/58, come forse nell'idea dell'autore del quesito.
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Gianfranco
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
sab nov 20, 2021 5:38 pm
Infatti i quadratini di sfondo non è detto che siano perfettamente quadrati ed è sulla scorta di tale considerazione che ho arrotondato a 0,5 il risultato...
Credevo che tu avessi fatto il disegno su un vero foglio di carta con i quadretti "quadrati".
Non è obbligatorio che siano proprio quadrati, ma dovrebbero almeno essere tutti uguali.
pasquale.png
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da Quelo »

Altro quadrato.png
Altro quadrato.png (42.11 KiB) Visto 570 volte
l'area di Q si calcola velocemente come
$\displaystyle Q=A_{ABCD}-A_{CDF}-A_{BEG}=L^2-\frac{3L^2}{10}-\frac{L^2}{8}=\frac{23L^2}{40}$

Per l'area P vediamo che l'area di CGHJ è uguale a quella di CDF, mentre l'area di HIJ è uguale a quella di GKM, quindi

$\displaystyle P=A_{CDF}+A_{GKM}=\frac{3L^2}{10}+\frac{L^2}{80}=\frac{25L^2}{80}$

$\displaystyle \frac{P}{Q}=\frac{25}{46}$
[Sergio]

Pasquale
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da Pasquale »

Va bene, sapevo sin dall'inizio che il procedimento adottato sarebbe stato approssimativo, considerati anche gli elementi incerti già descritti.
Comunque, interessato ad individuare l'errore del disegno, ho riprovato in modo diverso, appurando che effettivamente i quadratini, anche se di poco, non erano perfetti.
Infatti, facendo riferimento al disegno postato con il quadrato da 10x10, ho verificato che il punto di intersezione doveva trovarsi un po' più all'esterno.
Per tagliare la testa al toro, ho proceduto con la geometria analitica, ricavando le equazioni delle due rette convergenti, per individuare con certezza il punto di intersezione e così verificando che le dimensioni del rettangolo disegnato avrebbero dovuto essere 22,5 x 17,5 e non 22 x 17.
Dunque, i miei quadratini non erano il massimo della precisione, come suggerito dal sistema che segue, riferito sempre al quadrato da 10x10, preso come riferimento per gli assi cartesiani:

y = $\frac{3}{5}x$ + 4
y= x - 5

da cui si giunge ai seguenti risultati:

Superficie rettangolo = 393,75
P+Q= 88,75
Q= 57,5
P= 31,25
P/Q = 0,543478261 approssimato per eccesso (naturalmente 31,25/57,5 = 25/46)

Comunque, grazie a Gianfranco, Bruno, Franco, Quelo ed altri, che spesso si danno da fare per mantenere vivo l'interesse. Anche stavolta mi sono divertito, apprendendo qualcosa in più :wink:
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da Bruno »

Ottimo :D


Riporto l'immagine di un mio approccio (solo perché l'avevo già preparata):

B5 - Un altro quadrato [2].jpg
B5 - Un altro quadrato [2].jpg (14.55 KiB) Visto 499 volte

Visivamente, ho ridotto Q a due porzioni del quadrato e P a un triangolo rettangolo più abbordabile - giusto per fare qualcosa di diverso.
I valori indicati sono evidenti, a parte $\;\frac{15\cdot x}{4}\;$ e $\;\frac{45\cdot x}{4}\;$ che discendono da semplici considerazioni sui triangoli simili osservabili.

Allora:

$P = \frac{ {\large \frac{5\cdot x}{2} \cdot (\frac{5\cdot x}{2} + \frac{15\cdot x}{4})}}{2} = \frac{125}{16}\cdot x^2$
$Q = \frac{3}{8}\cdot {\small 25\cdot x^2} + \frac{2\cdot x \cdot 5 \cdot x}{2} = \frac{230}{16}\cdot x^2$

e infine:

$\frac{P}{Q} = \frac{125}{230} = \frac{25}{46}$.
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da Pasquale »

E' proprio vero che, come in un vecchio post, tutte le strade portano a Roma, sempre che non si imbocchi quella senza uscita (come mi è capitato), nel qual caso però, tornando indietro, c'è sempre la possibilità di imboccare quella giusta. :D
Base Cinque insegna :wink:
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Re: Un altro quadrato.

Messaggio da Bruno »

Ma tu a volte, Pasquale, usi l'aeroplano :D
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