A volontà.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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A volontà.

Messaggio da Bruno »

Consideriamo i numeri naturali la cui somma delle cifre eguagli il relativo prodotto.
Concentriamoci su quelli che contengono tutte le cifre da 1 a 9 (lo 0 è naturalmente escluso).
Trovarne infiniti, spiegando in modo semplice e preciso la regola applicata.
(Bruno)

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Quelo
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Re: A volontà.

Messaggio da Quelo »

Io farei così: prendo un numero di 9 cifre contenente tutte le cifre da 1 a 9, il prodotto è P=9!, la somma è S=45
Aggiungo P-45 volte il numero 1, il prodotto non cambia e la somma eguaglia il prodotto
Aggiungo una cifra N maggiore di 1, il nuovo prodotto sarà P'=NP, mentre la somma S'=S+N, quindi aggiungo (N-1)P-N volte 1
E così via

SE&O
[Sergio] / $17$

Gianfranco
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Re: A volontà.

Messaggio da Gianfranco »

Ottimo Quelo!
Sono sbalordito dall'enormità di questi numeri.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Gianfranco
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Re: A volontà.

Messaggio da Gianfranco »

Bruno, per favore, potresti ricordarci le notazioni:

a) per esprimere il concatenamento (o concatenazione) di due interi per ottenerne un terzo, es.
$25, 471 -> 25471$

b) per rappresentare più brevemente gli interi con cifre o gruppi di cifre ripetute, per esempio:
$111111113275757575$
$(1)_{8\ volte}32(75)_{4\ volte}$

Grazie.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: A volontà.

Messaggio da Bruno »

Mi associo all'ottimo per Sergio 😊

Penso che così possa andare bene, nell'ambito della concatenazione:
$(1)_832(75)_4$.


A me è capitato di 'vedere' questa sequenza di numeri, quando mi è apparso il problema:

B5 - Somma & Prodotto & Tutte le cifre.png
B5 - Somma & Prodotto & Tutte le cifre.png (4.27 KiB) Visto 5884 volte

Naturalmente, le cifre non unitarie (per esempio) possono essere 'sparpagliate' allegramente fra gli 1.
(Bruno)

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Gianfranco
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Re: A volontà.

Messaggio da Gianfranco »

Bel "pattern", Bruno.

Per gestire mentalmente il problema, ho preferito pensarlo in termini di multi-insiemi (multiset) cioè insiemi in cui alcuni elementi possono essere ripetuti.
Ciò è possibile perché l'addizione e la moltiplicazione sono commutative e quindi l'ordinamento delle cifre è indifferente.

Questa è una variante della soluzione di Sergio, credo che generi la sequenza più "lenta" possibile.

1) Consideriamo la sequenza:
23456789
223456789
2223456789
...
Nel primo elemento, somma: $s = 44$ e prodotto: $p = 9!$
A ogni passo, il prodotto delle cifre raddoppia e la loro somma aumenta di 2 unità.
passo 0: $p, s$
passo 1: $2p, s+2$
passo 2: $4p, s+4$
...
passo n: $2^n\cdot p,s+2\cdot n$

2) Per far sì che la somma sia uguale al prodotto, basta aggiungere alla stringa tanti "1" quanto basta, ma quanti sono?

3) Per trovare quanti 1 devo aggiungere per uguagliare la somma al prodotto al passo n, posso risolvere un'equazione:

$2^n\cdot p= k+s+2\cdot n$

da cui:

$k=2^n\cdot p-s-2\cdot n$


passo 0: $1(9!-44\ volte) 23456789$
passo 1: $1(2\cdot 9!-46\ volte) 223456789$
passo 2: $1(4\cdot 9!-48\ volte) 2223456789$
...
passo n: $1(2^n\cdot 9!-44-2\cdot n\ volte) 2(n+1\ volte)3456789$

Salvo erori&ommisioni.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: A volontà.

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Gianfranco :D
(Bruno)

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franco
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Re: A volontà.

Messaggio da franco »

Se non ho capito male il problema, con Excel si riesce facilmente a calcolare quanti uno aggiungere ad un qualunque insieme di cifre per uguagliare somma e prodotto:
avolonta1.PNG
avolonta1.PNG (27.46 KiB) Visto 5803 volte
avolonta2.PNG
avolonta2.PNG (8.53 KiB) Visto 5796 volte
(formula editata ... avevo invertito base e esponente :) )
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Bruno
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Re: A volontà.

Messaggio da Bruno »

Direi di sì, ottimo :D
(Bruno)

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