Prodotto degli inversi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Prodotto degli inversi
Trovare due numeri il cui prodotto sia uguale al prodotto degli stessi numeri con le cifre invertite.
Ad esempio se il primo numero è formato dalle cifre $\diamondsuit$ e $\heartsuit$ e il secondo da $\clubsuit$ e $\spadesuit$, deve essere $\diamondsuit\heartsuit \cdot \clubsuit\spadesuit = \heartsuit\diamondsuit \cdot \spadesuit\clubsuit$
Ad esempio se il primo numero è formato dalle cifre $\diamondsuit$ e $\heartsuit$ e il secondo da $\clubsuit$ e $\spadesuit$, deve essere $\diamondsuit\heartsuit \cdot \clubsuit\spadesuit = \heartsuit\diamondsuit \cdot \spadesuit\clubsuit$
[Sergio] / $17$
Re: Prodotto degli inversi
Scansando i palindromi, il più piccolo prodotto sembra questo: 12×42 = 21×24.
Cercando cifre tutte diverse, invece, si parte da qui (pare): 12×63 = 21×36, seguito da 13×62 = 31×26.
Cercando cifre tutte diverse, invece, si parte da qui (pare): 12×63 = 21×36, seguito da 13×62 = 31×26.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Prodotto degli inversi
Molto bene.
Secondo me anche qui c'è uno schema, come nel quesito dei cubi.
Chi trova una (o più) formulazioni generali?
Secondo me anche qui c'è uno schema, come nel quesito dei cubi.
Chi trova una (o più) formulazioni generali?
[Sergio] / $17$
Re: Prodotto degli inversi
D'emblée, Sergio, vedo questo piccolo schema.
Prendiamo un numero di due cifre non maggiori di 3: poniamo 12.
Moltiplichiamo ogni cifra per un numero non maggiore di 4, così non abbiamo riporti: poniamo 4, quindi otteniamo 48.
Troviamo che 12×84 = 21×48.
Ora possiamo aggiungere fra 1 e 2 una cifra non maggiore di 2 e fra 4 e 8 inseriamo il suo quadruplo, replicando tali cifre lo stesso numero di volte:
112×844 = 211×448,
1112×8444 = 2111×4448 etc.
122×884 = 221×488,
1222×8884 = 2221×4888 etc.
Ma possiamo anche fare così:
11212×84844 = 21211×44848,
112212×848844 = 212211×448848,
1121212×8484844 = 2121211×4484848 etc.
procedendo con inserimenti centrali.
Con qualche semplice calcolo algebrico, la faccenda si può generalizzare.
Non so se sia ciò che intendevi
Prendiamo un numero di due cifre non maggiori di 3: poniamo 12.
Moltiplichiamo ogni cifra per un numero non maggiore di 4, così non abbiamo riporti: poniamo 4, quindi otteniamo 48.
Troviamo che 12×84 = 21×48.
Ora possiamo aggiungere fra 1 e 2 una cifra non maggiore di 2 e fra 4 e 8 inseriamo il suo quadruplo, replicando tali cifre lo stesso numero di volte:
112×844 = 211×448,
1112×8444 = 2111×4448 etc.
122×884 = 221×488,
1222×8884 = 2221×4888 etc.
Ma possiamo anche fare così:
11212×84844 = 21211×44848,
112212×848844 = 212211×448848,
1121212×8484844 = 2121211×4484848 etc.
procedendo con inserimenti centrali.
Con qualche semplice calcolo algebrico, la faccenda si può generalizzare.
Non so se sia ciò che intendevi
(Bruno)
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Re: Prodotto degli inversi
Simpatico Vediamo cosa ne pensa Decimal Basic con numeri a 3 cifre
Dove sotto si vede una S in grassetto, si intende che sia il simbolo di un dollaro (ho dovuto farlo, perché il dollaro mi comporta problemi dopo l'invio... non ricordo cosa fare per evitarlo).
cont=0
10 FOR m=102 TO 997
20 FOR n=m+1 TO 998
LET mS=STRS(m)
LET nS=STRS(n)
LET j$ = ""
30 FOR j = 3 TO 1 STEP -1
LET jS =jS + midS(mS,j,1)
NEXT j
LET p=VAL(jS)[/quote]
LET k$ = ""
40 FOR k=4 TO 1 STEP -1
LET kS=kS + midS(nS,k,1)
NEXT k
LET q=VAL(kS)
IF m*n=p*q THEN
IF m<>p AND m<>q AND n<>p AND n<>q THEN
LET cont=cont+1
PRINT m;"x";n;"=";p;"x";q
END if
END IF
NEXT n
NEXT m
print
PRINT "Totale";cont;"soluzioni"
END
Tuttavia , se non ci sicontenta delle 120 soluzioni, volendo collezionare anche 1228 soluzioni con numeri da 4 cifre, è sufficiente sostituire le righe 10, 20, 30 e 40 con le seguenti:
10 FOR m=1002 TO 9997
20 FOR n=m+1 TO 9998
30 FOR j=4 TO 1 STEP -1
40 FOR k=4 TO 1 STEP -1
Dove sotto si vede una S in grassetto, si intende che sia il simbolo di un dollaro (ho dovuto farlo, perché il dollaro mi comporta problemi dopo l'invio... non ricordo cosa fare per evitarlo).
cont=0
10 FOR m=102 TO 997
20 FOR n=m+1 TO 998
LET mS=STRS(m)
LET nS=STRS(n)
LET j$ = ""
30 FOR j = 3 TO 1 STEP -1
LET jS =jS + midS(mS,j,1)
NEXT j
LET p=VAL(jS)[/quote]
LET k$ = ""
40 FOR k=4 TO 1 STEP -1
LET kS=kS + midS(nS,k,1)
NEXT k
LET q=VAL(kS)
IF m*n=p*q THEN
IF m<>p AND m<>q AND n<>p AND n<>q THEN
LET cont=cont+1
PRINT m;"x";n;"=";p;"x";q
END if
END IF
NEXT n
NEXT m
PRINT "Totale";cont;"soluzioni"
END
Tuttavia , se non ci sicontenta delle 120 soluzioni, volendo collezionare anche 1228 soluzioni con numeri da 4 cifre, è sufficiente sostituire le righe 10, 20, 30 e 40 con le seguenti:
10 FOR m=1002 TO 9997
20 FOR n=m+1 TO 9998
30 FOR j=4 TO 1 STEP -1
40 FOR k=4 TO 1 STEP -1
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: Prodotto degli inversi
Ottimo, Pasquale
Sopra mi sono limitato a una svelta osservazione pressoché cartacea, giusto per dare una prima risposta a Sergio
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(Bruno)
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Re: Prodotto degli inversi
Ottimo lavoro sia Bruno che Pasquale
Molti di questi risultati possono essere generalizzati, ad esempio il caso 13x62=31x26, 133x662=331x266, ... si può scrivere
$\displaystyle \left ( 10^n+\frac{10^n-1}{3} \right ) \left ( \frac{2(10^{n+1}-1)}{3} -4\right )=\left ( \frac{10^{n+1}-1}{3} -2 \right ) \left ( 2\cdot10^n+\frac{2(10^n-1)}{3} \right )$
@Pasquale, per non avere problemi con i listati puoi usare [ code] ... [ /code]
Molti di questi risultati possono essere generalizzati, ad esempio il caso 13x62=31x26, 133x662=331x266, ... si può scrivere
$\displaystyle \left ( 10^n+\frac{10^n-1}{3} \right ) \left ( \frac{2(10^{n+1}-1)}{3} -4\right )=\left ( \frac{10^{n+1}-1}{3} -2 \right ) \left ( 2\cdot10^n+\frac{2(10^n-1)}{3} \right )$
@Pasquale, per non avere problemi con i listati puoi usare [ code] ... [ /code]
[Sergio] / $17$
Re: Prodotto degli inversi
Riporto la routine di Pasquale (mondata, c'era anche un [/quote] fuori posto):
Qui invece riporto il codice che ho buttato giù per MAGMA (basta incollarlo nel box), sia pure in modo un po' grezzo, anche se permette di farsi un'idea:
Codice: Seleziona tutto
LET cont=0
10 FOR m=102 TO 997
20 FOR n=m+1 TO 998
LET m$=STR$(m)
LET n$=STR$(n)
LET j$ = ""
30 FOR j = 3 TO 1 STEP -1
LET j$ =j$ & mid$(m$,j,1)
NEXT j
LET p=VAL(j$)
LET k$ = ""
40 FOR k=4 TO 1 STEP -1
LET k$=k$ & mid$(n$,k,1)
NEXT k
LET q=VAL(k$)
IF m*n=p*q THEN
IF m<>p AND m<>q AND n<>p AND n<>q THEN
LET cont=cont+1
PRINT m;"x";n;"=";p;"x";q
END if
END IF
NEXT n
NEXT m
print
PRINT "Totale";cont;"soluzioni"
END
Qui invece riporto il codice che ho buttato giù per MAGMA (basta incollarlo nel box), sia pure in modo un po' grezzo, anche se permette di farsi un'idea:
Codice: Seleziona tutto
for x in [100..999] do
for y in [x+1..999] do
if Seqint(Reverse(Intseq(x))) gt x then /* Escludo casi uguali con membri invertiti */
if Seqint(Reverse(Intseq(x))) ne x and Seqint(Reverse(Intseq(y))) ne y and Intseq(x) ne Reverse(Intseq(y)) then /* Escludo i palindromi e i casi come x = 102 e y = 201 */
if x*y eq Seqint(Reverse(Intseq(x)))*Seqint(Reverse(Intseq(y))) then /* Cerco i casi per cui x*y = reverse(x)*reverse(y) */
x, "x", y, "=", Seqint(Reverse(Intseq(x))), "x", Seqint(Reverse(Intseq(y))), "=", x*y; /* Riporto i risultati */
end if;
end if;
end if;
end for;
end for;
(Bruno)
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Re: Prodotto degli inversi
Grazie a Bruno e Sergio.
Ogni tanto c'è qualcosa che finisce nel dimenticatoio e da lì deduco (matematicamente parlando) che il tempo che avanza non depone a favore.
Ritornando alla routine, è evidente che sostituendo in modo opportuno i valori nelle 4 righe indicate, è possibile cercare i risultati relativi a numeri da più
cifre, avendo voglia di attendere i tempi necessari, ma di meno se si vuole estrapolare magari un solo esempio.
Ogni tanto c'è qualcosa che finisce nel dimenticatoio e da lì deduco (matematicamente parlando) che il tempo che avanza non depone a favore.
Ritornando alla routine, è evidente che sostituendo in modo opportuno i valori nelle 4 righe indicate, è possibile cercare i risultati relativi a numeri da più
cifre, avendo voglia di attendere i tempi necessari, ma di meno se si vuole estrapolare magari un solo esempio.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: Prodotto degli inversi
Pasquale, mi sembra che siano meno i casi effettivi.
Nella tua lista compaiono, per esempio:
102 x 402 = 201 x 204
201 x 204 = 102 x 402
che sono però la stessa cosa.
Dico bene?
(Bruno)
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Re: Prodotto degli inversi
Si, dici bene, ma evitare questo avrebbe complicato ed appesantito la routine, che legge e confronta da sinistra a destra.
Tutti i prodotti analizzati al primo membro, che abbiano un corrispondente al secondo membro, diventano corrispondenti al secondo membro dell'altro spostato al primo membro.
Tuttavia, i 120 prodotti da analizzare, posti al primo membro delle eguaglianze, in prima battuta, sono diversi e non si sa se abbiano una soluzione, se non dopo aver effettuato le inversioni e le moltiplicazioni.
Se avesse elencato al primo membro soltanto 60 casi, quali avrebbe dovuto considerare il povero Decimal Basic? Qualcuno avrebbe protestato: "Oh Decimal, oh che tu fai ? e questo e tal altro, perché non l'hai te tu provato ? e le altre centinaia di casi li hai esaminati? "
Comunque, è evidente che se il prodotto al primo membro è uguale a quello del secondo membro, è vero anche che il prodotto del secondo membro è uguale a quello del primo. Il conteggio poi dei casi positivi trovati penso sia una questione d'interpretazione delle operazioni effettuate, considerate o da considerare,o dei risultati.
Resta comunque il ringraziamento a Gianfranco, Bruno e quanti altri da anni mantengono ancora vivo il Forum, specialmente in questo poco piacevole periodo.
W tutti
Aggiungo un esempio con numeri a 6 cifre: 123523 x 618432 = 325321 x 234816
Tutti i prodotti analizzati al primo membro, che abbiano un corrispondente al secondo membro, diventano corrispondenti al secondo membro dell'altro spostato al primo membro.
Tuttavia, i 120 prodotti da analizzare, posti al primo membro delle eguaglianze, in prima battuta, sono diversi e non si sa se abbiano una soluzione, se non dopo aver effettuato le inversioni e le moltiplicazioni.
Se avesse elencato al primo membro soltanto 60 casi, quali avrebbe dovuto considerare il povero Decimal Basic? Qualcuno avrebbe protestato: "Oh Decimal, oh che tu fai ? e questo e tal altro, perché non l'hai te tu provato ? e le altre centinaia di casi li hai esaminati? "
Comunque, è evidente che se il prodotto al primo membro è uguale a quello del secondo membro, è vero anche che il prodotto del secondo membro è uguale a quello del primo. Il conteggio poi dei casi positivi trovati penso sia una questione d'interpretazione delle operazioni effettuate, considerate o da considerare,o dei risultati.
Resta comunque il ringraziamento a Gianfranco, Bruno e quanti altri da anni mantengono ancora vivo il Forum, specialmente in questo poco piacevole periodo.
W tutti
Aggiungo un esempio con numeri a 6 cifre: 123523 x 618432 = 325321 x 234816
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