Formulazione un po' contorta ma sembra un problema interessante ...
Dimostrare che qualunque sia l'intero $k ≥1$,si possono trovare due interi $a$ e $b$ entrambi strettamente positivi e di $k$ cifre tali che l'intero $n$ ottenuto concatenando $a$ e $b$ separati da $k$ zeri sia pari alla somma dei cubi di $a$ e $b$.
Ad esempio, per $k=1$ abbiamo $407=4^3+7^3$
Per $k=2$, $340067=34^3+67^3$
...
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A390
Démontrer que quel que soit l’entier k ≥1, on sait trouver deux entiers a et b strictement positifs de k chiffres l’un et l’autre tels que l’entier n obtenu par concaténation de a et de b séparés par k zéros est égal à la somme des cubes de a et de b.
Due interi e i loro cubi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Due interi e i loro cubi
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
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Re: Due interi e i loro cubi
In questo caso insieme alla domanda hai dato anche la risposta
Poniamo
$\displaystyle a=\frac{10^n+2}{3}; \quad b=\frac{2\cdot10^n+1}{3}$
Risulta
$\displaystyle a^3+b^3=\frac{(10^n+1)(10^{2n}+10^n+1)}{3}=\frac{10^n+2}{3}10^{2n}+\frac{2\cdot10^n+1}{3}=a\cdot10^{2n}+b$
Poniamo
$\displaystyle a=\frac{10^n+2}{3}; \quad b=\frac{2\cdot10^n+1}{3}$
Risulta
$\displaystyle a^3+b^3=\frac{(10^n+1)(10^{2n}+10^n+1)}{3}=\frac{10^n+2}{3}10^{2n}+\frac{2\cdot10^n+1}{3}=a\cdot10^{2n}+b$
[Sergio] / $17$
Re: Due interi e i loro cubi
Ottimo, ma era pressoché inevitabile che Franco ti suggerisse anche la risposta con l'esempio
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Due interi e i loro cubi
A margine, ho trovato queste identità numeriche:
12² + 33² = 1233
88² + 33² = 8833
------------------------------
16³ + 50³ + 33³ = 165033
22³ + 18³ + 59³ = 221859
34³ + 10³ + 67³ = 341067
44³ + 46³ + 64³ = 444664
48³ + 72³ + 15³ = 487215
98³ + 28³ + 27³ = 982827
98³ + 32³ + 21³ = 983221
Curiosa è la presenza, anche qui, di 34 e 67.
Ma non ho visto 4 quarte potenze con basi di due cifre etc.
Paiono simpatiche pure le seguenti configurazioni:
12² + 33² = 1233
88² + 33² = 8833
990² + 100² = 990100
9412² + 2353² = 94122353
17650² + 38125² = 1765038125
25840² + 43776² = 2584043776, etc.
registrate in OEIS.
12² + 33² = 1233
88² + 33² = 8833
------------------------------
16³ + 50³ + 33³ = 165033
22³ + 18³ + 59³ = 221859
34³ + 10³ + 67³ = 341067
44³ + 46³ + 64³ = 444664
48³ + 72³ + 15³ = 487215
98³ + 28³ + 27³ = 982827
98³ + 32³ + 21³ = 983221
Curiosa è la presenza, anche qui, di 34 e 67.
Ma non ho visto 4 quarte potenze con basi di due cifre etc.
Paiono simpatiche pure le seguenti configurazioni:
12² + 33² = 1233
88² + 33² = 8833
990² + 100² = 990100
9412² + 2353² = 94122353
17650² + 38125² = 1765038125
25840² + 43776² = 2584043776, etc.
registrate in OEIS.
(Bruno)
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Re: Due interi e i loro cubi
In effetti potevo anche evitare di mettere l'esempio o, al limite, mettere solo il primo.
Quando ho trovato la soluzione per k=2 era evidente che c 'era uno schema ...
Franco
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