R: Numeri buoni

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Quelo
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R: Numeri buoni

Messaggio da Quelo »

Dalla sezione "Aritmetica russa"

Numeri buoni

Chiamiamo "buono" un numero di 2n cifre se è un quadrato perfetto e i numeri formati dalle sue prime n cifre e dalle sue ultime n cifre sono anche quadrati perfetti.
a) Trovare tutti i numeri "buoni" di 2 e di 4 cifre.
b) Esiste un numero "buono" di 6 cifre?
c) Dimostrare che esiste un numero "buono" di 20 cifre.
d) Dimostrare che esistono almeno 10 numeri "buoni" di 100 cifre.
e) Dimostrare che esistono numeri "buoni" di 30 cifre.

_____________________

a) 49 e 1681

b) Sì ne esistono 3: 144400, 225625 e 324900

c) E' possibile dimostrare che, dato n intero, se prendiamo un numero di 4n cifre così composto:

prima parte: $(\frac{10^n}{2}-1)^2$

seconda parte: $(10^n-1)^2$

esso è il quadrato di un numero intero:

$((\frac{10^n}{2}-1)^2)10^{2n}+(10^n-1)^2$

$((\frac{10^{2n}}{4}-10^n+1))10^{2n}+(10^{2n}-2*10^n+1)$

$\frac{10^{4n}}{4}-10^{3n}+10^{2n}+10^{2n}-2*10^n+1$

$\frac{10^{4n}}{4}-10^{3n}+2*10^{2n}-2*10^n+1=(\frac{10^{2n}}{2}-10^n+1)^2$

di conseguenza esiste almeno un numero buono per ogni numero di cifre multiplo di 4 (e quindi sia 20 che 100)

Questo è il mio limite "matematico", per la d) e la e) faccio una previsione empirica

Questi sono i primi 30 numeri buoni

49; (7) - [2/3]
1681; (41) - [4/9]
144400; (380) - [12/20]
225625; (475) - [15/25]
324900; (570) - [18/30]
24019801; (4901) - [49/99]
1587624025; (39845) - [126/155]
2371690000; (48700) - [154/300]
2528178961; (50281) - [159/281]
3132976729; (55973) - [177/277]
5198410000; (72100) - [228/100]
6350496100; (79690) - [252/310]
8122515625; (90125) - [285/125]
249001998001; (499001) - [499/999]
10547295475600; (3247660) - [1027/2340]
12232366350400; (3497480) - [1106/2520]
14042257290000; (3747300) - [1185/2700]
15976968294400; (3997120) - [1264/2880]
18036499363600; (4246940) - [1343/3060]
23073612250000; (4803500) - [1519/1500]
25027247420176; (5002724) - [1582/2724]
36633966760000; (6052600) - [1914/2600]
48092491265625; (6934875) - [2193/1125]
58660847767369; (7659037) - [2422/2787]
61009002802276; (7810826) - [2470/1674]
81054099030025; (9003005) - [2847/3005]
85497762250000; (9246500) - [2924/1500]
92294449000000; (9607000) - [3038/3000]
1466124176580001; (38290001) - [3829/8751]
2499000199980001; (49990001) - [4999/9999]

Sembrerebbe che il numero di buoni aumenti con il numero delle cifre, quindi dovrebbe essercene almeno 1 di 30 cifre e 10 di 100.

In particolare abbiamo, per numeri buoni di 2n cifre:

n = 1,2 -> buoni = 2 (rapporto 1/1)
n = 3,4 -> buoni = 4 (rapporto 3/1)
n = 5,6 -> buoni = 8 (rapporto 7/1)
n = 7,8 -> buoni = 16 (rapporto 14/2)

Quantomeno curioso, peccato che di numeri buoni di 18 cifre ne ho trovati 38 (invece dei 28 attesi).

Tuttavia mi sento di formulare due congetture:

Prima Congettura di Quelo sui numeri buoni:
"Dato $n$ intero positivo, l'insieme dei numeri buoni di $4n$ e $2(2n-1)$ cifre contiene almeno $2n$ elementi"

Seconda Congettura di Quelo sui numeri buoni:
"Dato $n$ intero positivo, esiste almeno un gruppo di due o più numeri buoni di $2n+1$ cifre che hanno lo stesso rapporto tra la radice quadrata della prima parte e la radice quadrata della seconda parte"
Ultima modifica di Quelo il lun lug 24, 2023 11:18 pm, modificato 3 volte in totale.
[Sergio] / $17$

Quelo
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Re: R: Numeri buoni

Messaggio da Quelo »

Riprendo questo argomento (non recentissimo) in quanto sono emersi nuovi elementi

Mi sono reso conto di aver commesso un errore di interpretazione, dando per scontato che la seconda metà del numero buono dovesse essere un numero di n cifre.
Pertanto i precedenti risultati sono parziali, ecco quelli completi

I numeri buoni di 18 cifre sono 47 e quelli di 20 cifre sono 2, mentre per 24, 28 e 32 cifre solo 1, per cui abbiamo:

n = 1 --> buoni = 1
n = 2 --> buoni = 1
n = 3 --> buoni = 5
n = 4 --> buoni = 1
n = 5 --> buoni = 12
n = 6 --> buoni = 1
n = 7 --> buoni = 24
n = 8 --> buoni = 2
n = 9 --> buoni = 47
n = 10 --> buoni = 2
n = 11 --> buoni = ???
n = 12 --> buoni = 1 (*)
n = 13 --> buoni = ???
n = 14 --> buoni = 1 (*)
n = 15 --> buoni = ???
n = 16 --> buoni = 1 (*)
(*) testati solo i numeri nella forma indicata sotto

n = 1,2 -> buoni = 2
n = 3,4 -> buoni = 6
n = 5,6 -> buoni = 13
n = 7,8 -> buoni = 26
n = 9,10 --> buoni = 49
n = 11,12 --> buoni = ???+1
n = 13,14 --> buoni = ???+1
n = 15,16 --> buoni = ???+1

Non riesco a vedere uno schema

Inoltre i numeri buoni di 4n cifre sembrano avere le seguenti proprietà:

- la radice della prima parte è compresa tra $\displaystyle \lceil{\sqrt{10^{2n-1}}}\rceil$ e $\displaystyle \frac{10^n}{2}-1$ cioè tra 3 e 4, tra 32 e 49, tra 317 e 499, ecc...
- sono nella forma $\displaystyle (\underbrace{\text{radice}\;1^a\;\text{parte}}_{n\;cifre} \cdot 10^n +1)^2$

Verificato per tutti quelli nella forma $\displaystyle (\frac{10^n}{2}-1)^2 \cdot 10^{2n}+(10^n-1)^2$ e per i seguenti, che al momento sono gli unici due noti:

1466124176580001; (38290001) - [3829/8751]
10894620496601400001; (3300700001) - [33007/81249}

E' praticamente certo che ci siano più numeri buoni di 30 cifre, ma sono meno confidente che ce ne siano 10 di 100 cifre

Questi sono i primi 47 numeri buoni:

49 ; ( 7 ) - [ 2 / 3 ]
1681 ; ( 41 ) - [ 4 / 9 ]
144400 ; ( 380 ) - [ 12 / 20 ]
225625 ; ( 475 ) - [ 15 / 25 ]
256036 ; ( 506 ) - [ 16 / 6 ]
324900 ; ( 570 ) - [ 18 / 30 ]
576081 ; ( 759 ) - [ 24 / 9 ]
24019801 ; ( 4901 ) - [ 49 / 99 ]
1299602500 ; ( 36050 ) - [ 114 / 50 ]
1587624025 ; ( 39845 ) - [ 126 / 155 ]
2371690000 ; ( 48700 ) - [ 154 / 300 ]
2496401296 ; ( 49964 ) - [ 158 / 36 ]
2528178961 ; ( 50281 ) - [ 159 / 281 ]
2924105625 ; ( 54075 ) - [ 171 / 75 ]
3132976729 ; ( 55973 ) - [ 177 / 277 ]
5198410000 ; ( 72100 ) - [ 228 / 100 ]
5616902916 ; ( 74946 ) - [ 237 / 54 ]
6350496100 ; ( 79690 ) - [ 252 / 310 ]
8122515625 ; ( 90125 ) - [ 285 / 125 ]
9985605184 ; ( 99928 ) - [ 316 / 72 ]
249001998001 ; ( 499001 ) - [ 499 / 999 ]
10241440050625 ; ( 3200225 ) - [ 1012 / 225 ]
10547295475600 ; ( 3247660 ) - [ 1027 / 2340 ]
12232366350400 ; ( 3497480 ) - [ 1106 / 2520 ]
14042257290000 ; ( 3747300 ) - [ 1185 / 2700 ]
15252250700569 ; ( 3905413 ) - [ 1235 / 837 ]
15976968294400 ; ( 3997120 ) - [ 1264 / 2880 ]
18036499363600 ; ( 4246940 ) - [ 1343 / 3060 ]
21374440562500 ; ( 4623250 ) - [ 1462 / 750 ]
23073612250000 ; ( 4803500 ) - [ 1519 / 1500 ]
24995610192721 ; ( 4999561 ) - [ 1581 / 439 ]
25027247420176 ; ( 5002724 ) - [ 1582 / 2724 ]
30380490422500 ; ( 5511850 ) - [ 1743 / 650 ]
31648410478864 ; ( 5625692 ) - [ 1779 / 692 ]
36633966760000 ; ( 6052600 ) - [ 1914 / 2600 ]
40965760202500 ; ( 6400450 ) - [ 2024 / 450 ]
48092491265625 ; ( 6934875 ) - [ 2193 / 1125 ]
58660847767369 ; ( 7659037 ) - [ 2422 / 2787 ]
61009002802276 ; ( 7810826 ) - [ 2470 / 1674 ]
81054099030025 ; ( 9003005 ) - [ 2847 / 3005 ]
81567360046225 ; ( 9031465 ) - [ 2856 / 215 ]
85497762250000 ; ( 9246500 ) - [ 2924 / 1500 ]
92172960455625 ; ( 9600675 ) - [ 3036 / 675 ]
92294449000000 ; ( 9607000 ) - [ 3038 / 3000 ]
99982440770884 ; ( 9999122 ) - [ 3162 / 878 ]
1466124176580001 ; ( 38290001 ) - [ 3829 / 8751 ]
2499000199980001 ; ( 49990001 ) - [ 4999 / 9999 ]
Ultima modifica di Quelo il dom gen 09, 2022 3:22 pm, modificato 1 volta in totale.
[Sergio] / $17$

Quelo
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Re: R: Numeri buoni

Messaggio da Quelo »

Aggiornamento
Ho sviluppato un algoritmo molto più rapido, basato su questa considerazione:
Se esprimiamo un numero buono nella forma $\displaystyle c^2=a^2 \cdot 10^n + b^2$ dove $a^2$ ha $n$ cifre e $b^2$ ha massimo $n$ cifre
la sua radice $c=\sqrt{a^2 \cdot 10^n + b^2}$ sarà compresa fra $a \sqrt{10^n}$ e $\sqrt{(a^2+1)}\sqrt{10^n}$

Quindi partendo da $a$ non serve verificare tutti i valori possibili di $b$ ma solo in valori interi di $c$ compresi nel range indicato, che sono al massimo 3.
Questo riduce incredibilmente il tempo di elaborazione, consentendo di usare l'impostazione a 1000 cifre di Decimal Basic e di trattare numeri di 28 cifre in tempi ragionevoli.

Ecco le statistitche aggiornate:

Codice: Seleziona tutto

n	2n	buoni
1	2	1
2	4	1
3	6	5
4	8	1
5	10	12
6	12	1
7	14	24
8	16	2
9	18	47
10	20	2
11	22	53
12	24	1
13	26	70
14	28	1
15	30	136
16	32	1
Qualche considerazione:

1) Se prendiamo un numero buono di 2n cifre con n dispari e lo esprimiamo come $c^2=(ka)^2 \cdot 10^n+(kb)^2$ con k intero positivo e mcd(a,b)=1, diciamo che [a,b] è una coppia generatrice.
Risulta che $(ka)^2 \cdot 10^n+(kb)^2=k^2(a^2 \cdot 10^n+b^2)$ è un quadrato perfetto per ogni k, ma sono buoni solo quelli che hanno 2n cifre

Esempio: [79,18] è una coppia generatrice per n=5 e produce i seguenti quadrati:
624100324 ; ( 24982 ) - [79 / 18] non buono (ha 9 cifre)
2496401296 ; ( 49964 ) - [ 158 / 36 ] - buono
5616902916 ; ( 74946 ) - [ 237 / 54 ] - buono
9985605184 ; ( 99928 ) - [ 316 / 72 ] - buono
15602508100 ; ( 124910 ) - [ 395 / 90 ] - non buono (ha 11 cifre)

2) Le coppie generatrici per un dato valore di n possono produrre numeri buoni per altri valori di n, moltiplicando il secondo termine per potenze di 10.
Ad esempio se [a,b] è una coppia generatrice per n=5, [a,10b] è una coppia generatrice per n=7, infatti $a^2 \cdot 10^{n+2}+(10b)^2=100(a^2 \cdot 10^n+b^2)$
non è detto però che produca numeri buoni.

[79,180] è una coppia generatrice per n=7 e produce numeri buoni per k da 13 a 17:
10547295475600 ; ( 3247660 ) - [ 1027 / 2340 ]
12232366350400 ; ( 3497480 ) - [ 1106 / 2520 ]
14042257290000 ; ( 3747300 ) - [ 1185 / 2700 ]
15976968294400 ; ( 3997120 ) - [ 1264 / 2880 ]
18036499363600 ; ( 4246940 ) - [ 1343 / 3060 ]

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Modifica 1:
Come abbiamo visto esiste una formula per generare un numero buono di 2n cifre con n pari ($c^2=a^2\cdot10^n+b^2)$)
radice della prima parte: $\displaystyle a=\frac{\sqrt{10^n}-2}{2}$
radice della seconda parte: $\displaystyle b=\sqrt{10^n}-1=\frac{10^n}{4}-a^2$

La stessa regola ne genera 2 per n dspari e maggiore di 1 (testato non dimostrato)
1)
radice della prima parte: $\displaystyle a_1=\left\lfloor\frac{\sqrt{10^n}}{2}\right\rfloor$
radice della seconda parte: $\displaystyle b_1=\frac{10^n}{4}-{a_1}^2$
2)
radice della prima parte: $\displaystyle a_2=a_1+1$
radice della seconda parte: $\displaystyle b_2={a_2}^2-\frac{10^n}{4}$

A titolo d'esempio:
225625 ; ( 475 ) - [ 15 - 25 ]
256036 ; ( 506 ) - [ 16 - 6 ]
2496401296 ; ( 49964 ) - [ 158 - 36 ]
2528178961 ; ( 50281 ) - [ 159 - 281 ]
24995610192721 ; ( 4999561 ) - [ 1581 - 439 ]
25027247420176 ; ( 5002724 ) - [ 1582 - 2724 ]
249987721150773841 ; ( 499987721 ) - [ 15811 - 12279 ]
250019344374190336 ; ( 500019344 ) - [ 15812 - 19344 ]
2499972076977969951361 ; ( 49999720769 ) - [ 158113 - 279231 ]
2500003699601368704016 ; ( 50000036996 ) - [ 158114 - 36996 ]
24999973750446890394001936 ; ( 4999997375044 ) - [ 1581138 - 2624956 ]
25000005373210288713857041 ; ( 5000000537321 ) - [ 1581139 - 537321 ]
249999990486544090505845063936 ; ( 499999990486544 ) - [ 15811388 - 9513456 ]
250000022109321488822075081041 ; ( 500000022109321 ) - [ 15811389 - 22109321 ]
2499999999733768900007087899860721 ; ( 49999999997337689 ) - [ 158113883 - 2662311 ]
2500000031356545698323295196487936 ; ( 50000000313565456 ) - [ 158113884 - 313565456 ]

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Modifica 2:

Le formule viste sopra si possono generalizzare:

radice della prima parte: $\displaystyle a=\left\lceil{\frac{\sqrt{10^n}}{k}}\right\rceil-j$ con $j=\{0, 1\}$ e $\displaystyle k \in \mathbb{Q} \mid 1\le k< \sqrt{10}$
radice della seconda parte: $\displaystyle b=\left|\frac{10^n}{2k}-\frac{ka^2}{2}\right|$

Al momento non è possibile determinare k, per cui si deve procedere per tentativi. Alcuni valori come 1, 2 e 2,5 producono numeri buoni in quasi ogni ordine di cifre.
Il limite operativo di Decimal Basic ci consente di ricavare un numero buono di 1006 cifre:

Codice: Seleziona tutto

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999947052647186202070832045361844190048442754676687703867682322695235704613473332772572821557450304404977229196293382157078354684390879676450331497114657392613711598538394628506777780702883836955904351725358187413459707480926998959230323331412690143784912470085554249719887183014805274697878072565720883552216263884692442370529881685587511480612448649635479434161634991029549087562256738432399311064765017320476660555459818376474310863574818028190791558583338881363513219237283791767627160114439441934410189838514889184219841035129192364118328433726488496182906730114055094576695353464201507588233447706097612431490043845334502071553702370199991860543600697259040947024455009221703433160625507621844468139487799366056129972303193937907444990511770325846891844; 
(9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999735263235931010354160226809220950242213773383438519338411613476178523067366663862864107787251522024886145981466910785391773421954398382251657485573286963068557992691973142533888903514419184779521758626790937067298537404634994796151616657063450718924562)
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+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Modifica 3:
completata la ricerca fino a 32 cifre (che ha richiesto quasi 2 giorni), anche qui 1 solo numero buono

Per tornare al quesito iniziale:
d) No, la probabilità che ci sia più di un numero buono di 100 cifre è piuttosto bassa, quella che ce ne siano 10 è abbastanza remota

e) Sì, esiste un numero buono di 30 cifre (ne esistono 136)
$\displaystyle a=\left\lceil{\frac{\sqrt{10^{15}}}{2}}\right\rceil-1=15811388$
$\displaystyle b=\frac{10^{15}}{4}-a^2=9513456$
$NB=249999990486544090505845063936$

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


Procederò editando questo post in caso di novità
Ultima modifica di Quelo il lun mar 27, 2023 8:04 pm, modificato 5 volte in totale.
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Re: R: Numeri buoni

Messaggio da Admin »

Bel lavoro Quelo!
Ho sempre trovato un pò misteriosi ed interessanti i quesiti della sezione "Aritmetica Russa", pertanto mi prenderò del tempo per leggere con piacere le tue risposte.

Saluti
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Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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Quelo
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Re: R: Numeri buoni

Messaggio da Quelo »

Grazie Pietro!
Ho aspettato a rispondere in attesa di sviluppi, ma ho apprezzato molto il tuo interesse
Colgo l'occasione adesso che ci sono aggiornamenti

Come prima cosa, grazie a nuove risorse, sono stati indagati i numeri buoni di 34 cifre che sono 208, trovate l'elenco completo qui: Numeri Buoni 2023

Poi sono stati fatti ulteriori ragionamenti sui numeri buoni che hanno un numero di cifre multiplo di 4
Come già accennato se scriviamo un numero buono in questa forma $c^2=a^2 10^n+b^2$ dove $a^2$ ha $n$ cifre e $b^2$ ha al massimo $n$ cifre, risulta
$\displaystyle \sqrt{a^2 10^n}\le c \le\sqrt{(a^2+1)10^n}$
Poiché $c$ deve essere un numero intero, le possibilità sono al massimo 2 e in alcuni casi anche nessuna, per esempio per $a=21 \to 664,078<c<664,831$

Se $n=2m$, dove $m$ è il numero di cifre di $a$, possiamo scrivere
$\displaystyle a 10^m \le c \le \sqrt{(a^2+1)}10^m$
Vediamo subito che una delle possibilità è $c=a 10^m$ ma questo comporta $b=0$
Inoltre per $\displaystyle a\ge\frac{10^m}{2}$ è anche l'unica, quindi non esistono numeri buoni in questa condizione

Per $\displaystyle a<\frac{10^m}{2}$, considerando che $a^2 10^n<(a 10^m+1)^2<(a^2+1)10^n$
$c=a 10^m+1$ rimane l'unica possibilità

A questo punto $c^2=a^2 10^n+2a 10^m+1 \to b^2=2a 10^m+1$

In alternativa possiamo scrivere $(b+1)(b-1)=2a 10^m$
Notiamo con qualche verifica che $b^2-1$ è multiplo di $10^m$ solo per i numeri che terminano in 01, 49, 51 e 99
A noi interessano quelli con 49 e 51, perché quelli con 01 non producono risultati validi e quelli con 99 producono risultati noti
Notiamo anche che al crescere di $m$, i valori di $b$ che hanno questa proprietà mantengono la desinenza e la distanza tra un numero e il successivo è multipla di $\displaystyle \frac{10^m}{2}$
es:

Codice: Seleziona tutto

49
99
249
749
1249
6249
31249
81249
281249
781249
5781249
Da questi dobbiamo togliere quelli che producono valori di $a$ non interi o non compresi nell'intervallo $\displaystyle \sqrt{10^{n-1}}, \frac{10^m}{2}$
Quelli che rimangono sono quelli che generano numeri buoni.
Testato fino a $2n = 616$ ma si potrebbe andare oltre senza troppa fatica. La cosa interessante è che su 148 classi di cifre nella forma $2n=4m$, 80 hanno un solo numero buono, mentre 68 ne hanno 2 e nessuna ne ha più di 2, ma non è escluso che esista una classe con 3 numeri buoni
Trovate tutto nel file
In conclusione possiamo congetturare che i numeri buoni di 100 cifre sono solo 2
Ultima modifica di Quelo il sab dic 30, 2023 6:10 pm, modificato 1 volta in totale.
[Sergio] / $17$

Bruno
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Re: R: Numeri buoni

Messaggio da Bruno »

Fantastico, Sergio :D

Mi sono accorto per caso di questo tuo aggiornamento, di solito entro subito nel forum.
(Bruno)

...........................
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
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