Esiste un intero $n$ tale per cui il suo fattoriale $n!$ sia un numero che termina con $2021$ zeri?
Se si, determinare il più piccolo valore di $n$.
Se no, determinare il più piccolo valore di $m>2021$ tale che esista almeno un intero $n$ il cui fattoriale $n!$ termini con $m$ zeri.
www.diophante.fr
A1748
Existe-t-il au moins un entier n tel que n! (factorielle de n) se termine par 2021 zéros? Si oui donner le plus petit n. Si non donner le plus petit entier m >2021 tel qu’il existe au moins un entier n de sorte que n! se termine par m zéros
2021 zeri
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Re: 2021 zeri
La risposta è no, non esiste n tale che n! ha 2021 zeri finali, invece 8100! ha 2022 zeri finali
8100! mod 10^2022
Si devono contare tutti i fattori 2 e 5 nei numeri da 2 a n, ogni coppia 2-5 produce uno zero finale
8100! mod 10^2022
Si devono contare tutti i fattori 2 e 5 nei numeri da 2 a n, ogni coppia 2-5 produce uno zero finale
[Sergio] / $17$
Re: 2021 zeri
Confermo, anche perché:
${\Large \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{\log{(5)}}\rfloor} \lfloor \frac{n}{5^i}\rfloor}\; = \; 2020 ,\quad per \quad n=8099\quad$
Un altro esempio:
${\Large \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{4938280}{\log{(5)}}\rfloor} \lfloor \frac{4938280}{5^i}\rfloor}\; = \; 1234567$,
quindi esistono dei fattoriali che terminano esattamente con 1234567 zeri, e il più piccolo è 4938280!.
${\Large \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{\log{(5)}}\rfloor} \lfloor \frac{n}{5^i}\rfloor}\; = \; 2020 ,\quad per \quad n=8099\quad$
Un altro esempio:
${\Large \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{4938280}{\log{(5)}}\rfloor} \lfloor \frac{4938280}{5^i}\rfloor}\; = \; 1234567$,
quindi esistono dei fattoriali che terminano esattamente con 1234567 zeri, e il più piccolo è 4938280!.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: 2021 zeri
Sembrerebbe che il rapporto fra n e il numero di zeri con cui termina n! sia circa 4
Ad es.
1000010! termina con 250.000 zeri
2000005! termina con 500.000 zeri
4000005! termina con 1.000.000 di zeri
8000010! termina con 2.000.000 di zeri
Ad es.
1000010! termina con 250.000 zeri
2000005! termina con 500.000 zeri
4000005! termina con 1.000.000 di zeri
8000010! termina con 2.000.000 di zeri
[Sergio] / $17$
Re: 2021 zeri
In effetti, Hieronymus Fischer ha stabilito un asintotico comportamento qui
(Bruno)
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