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Per avere un valore approssimato è sufficiente considerare la pendenza della retta passate per $\text{D}$ e per il punto medio della freccia del segmento circolare $\text{APB}$, $\text{E}$
$\displaystyle m_\text{DE}=\frac{y_\text{E}-y_\text{D}}{x_\text{E}-x_\text{D}}=\frac{0+\frac12}{\frac{\frac12+\frac{\sqrt2}2}2+\frac12}=\frac2 {3+\sqrt{2}}$
La retta divide il segmento circolare in due parti che differiscono tra loro quanto il triangolino a sinistra di $\text{E}$ e il triangolino curvilineo a destra.
L'angolo cercato è pari all'arcotangente di $m_\text{DE}$
$\displaystyle \alpha=\arctan\left(\frac2 {3+\sqrt{2}}\right)=24,3744\dots^\circ\approx 24,37^\circ$
Per una soluzione esatta non è necessario ricorrere agli integrali,
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basta osservare che l'angolo del settore circolare $\text{OAP}$ è doppio dell'angolo in $\text{D}$ (angolo al centro, angolo alla circonferenza): l'area che ci interessa è data da
$\displaystyle A=A_\text{OAP}-A_\text{AOQ}-A_\text{PQR}=\frac{\pi-2}{16}$
L'ultimo termine è metà dell'area del segmento circolare $\text{APB}$ ottenuta sottraendo l'area del quadrato da quella del cerchio e dividendo per otto.
Il punto $\text{P}$ è la seconda intersezione con la circonferenza della retta passante per $\text{D}$ di pendenza $k=\tan\alpha$.
$\displaystyle \left\{\begin{array}{lC}x^2+y^2=\frac12\\y=-\frac12+k\left(x+\frac12\right)\end{array}\right.$
Pochi Passaggi Di Facile Algebra sono sufficienti per ottenere le coordinate dei punti
$\displaystyle \text{P}\left(\frac12\frac{-k^2+2k+1}{k^2+1};\frac12\frac{k^2+2k-1}{k^2+1}\right)\qquad\text{Q}\left(\frac12;\frac12\frac{k^2+2k-1}{-k^2+2k+1}\right)\qquad\text{R}\left(\frac12;k-\frac12\right)$
Le aree cercate sono
$\displaystyle A_\text{OAP}=\frac{\alpha}2\qquad A_\text{AOQ}=\frac{x_\text{A}\left(y_\text{Q}-y_\text{A}\right)}2\qquad A_\text{PQR}=\frac{\left(x_\text{P}-x_\text{Q}\right)\left(y_\text{Q}-y_\text{R}\right)}2$
Sostituendo le coordinate dei punti, dopo i soliti
Pochi Passaggi Di Facile Algebra, otteniamo l'equazione
$\displaystyle \arctan\left(k\right)-\frac{k\left(k^2-k+1\right)}{k^2+1}=\frac{\pi-2}8$
che, data in pasto a
Wolfram Alpha, fornisce tre soluzioni: la soluzione che ci interessa è quella compresa tra $0$ e $1$
$\displaystyle k= 0,4531869\ldots$
cui corrisponde l'angolo
$\displaystyle\alpha=24,3794\ldots^\circ\approx 24,38^\circ$