Prodotto di corde

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Quelo
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 481
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Prodotto di corde

Messaggio da Quelo »

Si dispongano $n$ punti equidistanti su di una circonferenza di raggio unitario.
Si scelga un punto X intermedio tra due punti consecutivi
Si traccino tutte le corde da X agli $n$ punti.
La lunghezza di ogni corda sarà $c_i$
Calcolare il prodotto di tutte le corde
$\displaystyle P=\prod_{i=1}^{n}{c_i}$

Vi metto un esempio per n=5
.
Prodotto di corde.png
Prodotto di corde.png (47.35 KiB) Visto 202 volte
Sergio

« La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te, e però è sbagliata » Parola di Quelo

franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1248
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Prodotto di corde

Messaggio da franco »

Solo un chiarimento: il punto X è un punto qualunque sulla circonferenza o per "intermedio" intendi equidistante da due dei punti N individuati precedentemente (come nel disegno esemplificativo)?
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Quelo
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 481
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Prodotto di corde

Messaggio da Quelo »

Sì Franco, il punto X deve essere a metà strada tra due punti N, come nel disegno.
Ne deriva una soluzione singolare
Sergio

« La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te, e però è sbagliata » Parola di Quelo

franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1248
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Prodotto di corde

Messaggio da franco »

Per n=2, n=3 e n=4 il prodotto delle corde risulta sempre uguale (e, con un pò di fantasia, anche per il caso limite n=1).
Mi sembra qualcosa più di un indizio :D
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Quelo
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 481
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Prodotto di corde

Messaggio da Quelo »

E' giusto Franco, il prodotto è sempre uguale, indipendentemente da n.
Ho trovato questo "teorema" ma senza dimostrazione, così me ne sono fatta una mia, anche se non particolrmente elegante.
Sergio

« La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te, e però è sbagliata » Parola di Quelo

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2715
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Prodotto di corde

Messaggio da Pasquale »

Praticamente bisogna dimostrare che il prodotto di cui trattasi vale sempre quanto il diametro?
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1406
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Prodotto di corde

Messaggio da panurgo »

La congettura da dimostrare è

$\displaystyle\prod_{k=1}^n\sin \frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}=2^{1-n}$
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Quelo
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 481
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Prodotto di corde

Messaggio da Quelo »

Esattamente

Una strada che ho cercato di percorrere è che la lunghezza delle corde corrisponde alla parte reale (in valore assoluto) delle radici di $\sqrt[n]{-(2^n)}$ ma non mi ha portato a nulla.
Seguendo un'altra strada sono riuscito ad esprimere il prodotto come sommatoria, per la quale Wolfram Alpha conferma il valore costante.
Sergio

« La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te, e però è sbagliata » Parola di Quelo

Rispondi