Qual è il resto di
$1\,+\,2^2\,+\,3^2\,+\,4^2\,+ \, \cdot \cdot \cdot\, +\,1122334454^2\,+\,1122334455^2$
se dividiamo per sette ?
... col resto di?
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
... col resto di?
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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{Rudi Mathematici}
Re: ... col resto di?
Come i 44 gatti in fila per 6
Io ho fatto così:
$\displaystyle \sum_{n=1}^k{n^2}= \frac{k}{6}(k+1)(2k+1)$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{1122334455}{n^2}= 471243782197593005168211380$
Verifico se divisibile per 7 con questo metodo: Un numero è divisibile per sette se lo è la somma delle somme con segni alterni: delle cifre di posizione congrua a zero (mod 3), delle cifre di posizione congrua a 1 (mod 3) per tre e delle cifre di posizione congrua a 2 (mod 3) per due
$(0-1+8-5+3-7+2-3+1)+3*(8-1+6-0+9-9+8-4+7)+2*(3-2+1-0+5-1+7-2+4)=100$
$100 \equiv 2 \pmod{7}$
Io ho fatto così:
$\displaystyle \sum_{n=1}^k{n^2}= \frac{k}{6}(k+1)(2k+1)$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{1122334455}{n^2}= 471243782197593005168211380$
Verifico se divisibile per 7 con questo metodo: Un numero è divisibile per sette se lo è la somma delle somme con segni alterni: delle cifre di posizione congrua a zero (mod 3), delle cifre di posizione congrua a 1 (mod 3) per tre e delle cifre di posizione congrua a 2 (mod 3) per due
$(0-1+8-5+3-7+2-3+1)+3*(8-1+6-0+9-9+8-4+7)+2*(3-2+1-0+5-1+7-2+4)=100$
$100 \equiv 2 \pmod{7}$
[Sergio] / $17$
Re: ... col resto di?
Ottimo, Sergio
Si può anche non calcolare la somma, osservando che...
Si può anche non calcolare la somma, osservando che...
(Bruno)
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Invisibile un vento
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sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: ... col resto di?
Ecco la mia risposta
Dato che
$1^2 + 2^2 +\ldots + 1122334455^2 \pmod 7 \equiv 1^2 \pmod 7 + 2^2 \pmod 7 + \ldots + 1122334455^2 \pmod 7$
e ossevato che
$\begin{array}{cC}
n & n^2 & \pmod 7 & \Sigma \pmod 7 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 4 & 5 \\
3 & 9 & 2 & 0 \\
4 & 16 & 2 & 2 \\
5 & 25 & 4 & 6 \\
6 & 36 & 1 & 0 \\
7 & 49 & 0 & 0 \\
\vdots
\end{array}$
troviamo rapidamente il resto modulo sette di $1122334455$ togliendo ricorsivamente multipli di sette dalle prime due cifre
$\begin{array}{lC}
1122334455 \\
422334455 \\
2334455 \\
234455 \\
24455 \\
3455 \\
655 \\
25 \\
4
\end{array}$
Cioè $1122334455\equiv 4 \pmod 7$, ergo $1^2 + 2^2 +\ldots + 1122334455^2\equiv 2 \pmod 7$
Dato che
$1^2 + 2^2 +\ldots + 1122334455^2 \pmod 7 \equiv 1^2 \pmod 7 + 2^2 \pmod 7 + \ldots + 1122334455^2 \pmod 7$
e ossevato che
$\begin{array}{cC}
n & n^2 & \pmod 7 & \Sigma \pmod 7 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 4 & 5 \\
3 & 9 & 2 & 0 \\
4 & 16 & 2 & 2 \\
5 & 25 & 4 & 6 \\
6 & 36 & 1 & 0 \\
7 & 49 & 0 & 0 \\
\vdots
\end{array}$
troviamo rapidamente il resto modulo sette di $1122334455$ togliendo ricorsivamente multipli di sette dalle prime due cifre
$\begin{array}{lC}
1122334455 \\
422334455 \\
2334455 \\
234455 \\
24455 \\
3455 \\
655 \\
25 \\
4
\end{array}$
Cioè $1122334455\equiv 4 \pmod 7$, ergo $1^2 + 2^2 +\ldots + 1122334455^2\equiv 2 \pmod 7$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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Re: ... col resto di?
Ottimo, Guido, proprio così
(Bruno)
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Re: ... col resto di?
Non dir così, Sergio, l'aritmetica modulare ha i suoi pregi e tu puoi maneggiarla molto meglio di me, occorre solo un po' di allenamento e buona disposizione
(Bruno)
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