Nocciolina con carta e penna
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Nocciolina con carta e penna
Bruno ha scritto:
"
di solito il mio primo approccio è con carta e penna...
"
Ecco un problemino che anch'io mi sono gustato con carta e penna. L'ho trovato su FB.
---
$P(x)$ è un polinomio nella variabile $x$ tale che:
$P(x)-P(x+1)=3x+1$
a) Quanto vale $P(3)-P(1)$?
b) Si può scrivere l'espressione del polinomio?
---
La cosa che mi ha sorpreso di questo problema è che l'ho risolto usando una certa strategia approvata anche dalla penna.
Poi sono andato a vedere su YT la soluzione proposta dall'autore: era la stessa, ma trovata con una strategia mooolto diversa, secondo me.
Mi piacerebbe vedere le vostre strategie.
"
di solito il mio primo approccio è con carta e penna...
"
Ecco un problemino che anch'io mi sono gustato con carta e penna. L'ho trovato su FB.
---
$P(x)$ è un polinomio nella variabile $x$ tale che:
$P(x)-P(x+1)=3x+1$
a) Quanto vale $P(3)-P(1)$?
b) Si può scrivere l'espressione del polinomio?
---
La cosa che mi ha sorpreso di questo problema è che l'ho risolto usando una certa strategia approvata anche dalla penna.
Poi sono andato a vedere su YT la soluzione proposta dall'autore: era la stessa, ma trovata con una strategia mooolto diversa, secondo me.
Mi piacerebbe vedere le vostre strategie.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Nocciolina con carta e penna
Primo passo: P(3) - P(1) ?
A freddo, farei:
P(0) - P(1) = 1,
P(1) - P(2) = 4,
P(2) - P(3) = 7;
sommo mam le ultime due eguaglianze:
P(1) - P(3) = 11;
quindi:
p(3) - P(1) = -11.
Secondo passo: P(x) ?
Andando avanti per quella via:
P(0) - P(1) = 1,
P(1) - P(2) = 4,
P(2) - P(3) = 7,
···
P(x-1) - P(x) = 3·(x - 1) + 1,
e, sommando mam:
P(0) - P(x) = 1 + 4 + 7 + ··· + 3·(x - 1) + 1.
L'espressione a destra si calcola molto facilmente, anche con carta e penna, e vale:
½·x·(3·x - 1) [ha la forma di un numero pentagonale].
Pertanto, se k è una costante, posto P(0) = k:
P(x) = k - ½·x·(3·x - 1).
Direi così.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Nocciolina con carta e penna
Perfetto Bruno, grazie.
Molto "elegante" la strategia per la domanda b).
In realtà la domanda b) non c'era nella versione originale su FB, l'ho aggiunta io.
La mia strategia per la prima parte è stata questa (dal generale al particolare).
$P(x)-P(x+1)=3x+1$
$P(x+1)-P(x+2)=3x+4$
Sommo mam
$P(x)-P(x+2)=6x+5$
Per x=1
$P(1)-P(3)=6+5=11$
da cui:
$P(3)-P(1)=-11$
Molto "elegante" la strategia per la domanda b).
In realtà la domanda b) non c'era nella versione originale su FB, l'ho aggiunta io.
La mia strategia per la prima parte è stata questa (dal generale al particolare).
$P(x)-P(x+1)=3x+1$
$P(x+1)-P(x+2)=3x+4$
Sommo mam
$P(x)-P(x+2)=6x+5$
Per x=1
$P(1)-P(3)=6+5=11$
da cui:
$P(3)-P(1)=-11$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Nocciolina con carta e penna
La risposta ad a) è
$\begin{array}{lrC}
P\left(1\right)-P\left(2\right)=4&\quad+\\
P\left(2\right)-P\left(3\right)=7&\quad=\\
\hline
P\left(1\right)-P\left(3\right)=11&
\end{array}$
quindi $P\left(3\right)-P\left(1\right)=-11$.
La risposta a b) la troviamo generalizzando
$\begin{array}{rclrC}
P\left(x\right)&=&ax^2+bx+c&\quad-\\
P\left(x+1\right)&=&ax^2+2ax+a+bx+b+c&\quad=\\
\hline
P\left(x\right)-P\left(x+1\right)&=&-2ax-a-b&
\end{array}$
Perché sia $-2ax-a-b=3x+1$ deve essere
$\left\{\begin{array}{lC}
-2a=3\\
-a-b=1
\end{array}\right.
\qquad\Longrightarrow\qquad
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle a=-\frac32\\
\displaystyle b=\frac12
\end{array}\right.$
Nulla si può dire di $c$ quindi
$\displaystyle P\left(x\right)=-\frac32x^2+\frac12x+c$
(al posto di un differenziale abbiamo una differenza, al posto di un integrale indefinito un polinomio indefinito...)
$\begin{array}{lrC}
P\left(1\right)-P\left(2\right)=4&\quad+\\
P\left(2\right)-P\left(3\right)=7&\quad=\\
\hline
P\left(1\right)-P\left(3\right)=11&
\end{array}$
quindi $P\left(3\right)-P\left(1\right)=-11$.
La risposta a b) la troviamo generalizzando
$\begin{array}{rclrC}
P\left(x\right)&=&ax^2+bx+c&\quad-\\
P\left(x+1\right)&=&ax^2+2ax+a+bx+b+c&\quad=\\
\hline
P\left(x\right)-P\left(x+1\right)&=&-2ax-a-b&
\end{array}$
Perché sia $-2ax-a-b=3x+1$ deve essere
$\left\{\begin{array}{lC}
-2a=3\\
-a-b=1
\end{array}\right.
\qquad\Longrightarrow\qquad
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle a=-\frac32\\
\displaystyle b=\frac12
\end{array}\right.$
Nulla si può dire di $c$ quindi
$\displaystyle P\left(x\right)=-\frac32x^2+\frac12x+c$
(al posto di un differenziale abbiamo una differenza, al posto di un integrale indefinito un polinomio indefinito...)
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Nocciolina con carta e penna
In alternativa possiamo riarrangiare l’equazione per ottenere
$P\left(x+1\right)=P\left(x\right)-3x-1$
ovvero
$P\left(x\right)=P\left(x-1\right)-3x+2$
Definiamo la relazione di ricorrenza
$\left\{\begin{array}{lC}q_n=q_{n-1}-3n+2\\q_0\end{array}\right.$
con $q_0$ indeterminato. L’equazione caratteristica $r-1=0$ ha radice $r=1$ e la soluzione della corrispondente relazione di ricorrenza omogenea è
$q_n=q_0\cdot 1^n=q_0$
Una soluzione particolare della relazione completa è
$q_n=n^1\left(A+Bn\right)=An+Bn^2$
ovvero $An+Bn^2=q_{n-1}-3n+2$.
Per $n\in\left\{1,2,3\right\}$ abbiamo
$\left\{\begin{array}{lC}A+B=q_0-1\\2A+4B=q_0-5\\3A+9B=q_0-12\end{array}\right.$
Posto in forma matriciale il sistema è
$\left(\begin{array}{cC}1&1&-1\\2&4&-1\\3&9&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cC}A\\B\\q_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cC}-1\\-5\\-12\end{array}\right)$
ovvero
$\left(\begin{array}{cC}A\\B\\q_0\end{array}\right)=-\frac12\left(\begin{array}{cC}5&-8&3\\-1&2&-1\\6&-6&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cC}-1\\-5\\-12\end{array}\right)$
cioè
$\left\{\begin{array}{lC}\displaystyle A=-\frac{-5+40-36}2=\frac12\\\displaystyle B=-\frac{1-10+12}2=-\frac32\\\displaystyle q_0=-\frac{-6+30-24}2=0\end{array}\right.$
La soluzione particolare
$\displaystyle q_n=\frac{n-3n^2}2$
va sommata alla soluzione della relazione omogenea per ottenere la soluzione generale
$\displaystyle q_n=q_0+\frac{n-3n^2}2$
cui corrisponde il polinomio
$\displaystyle P\left(x\right)=k+\frac{x-3x^2}2$
$P\left(x+1\right)=P\left(x\right)-3x-1$
ovvero
$P\left(x\right)=P\left(x-1\right)-3x+2$
Definiamo la relazione di ricorrenza
$\left\{\begin{array}{lC}q_n=q_{n-1}-3n+2\\q_0\end{array}\right.$
con $q_0$ indeterminato. L’equazione caratteristica $r-1=0$ ha radice $r=1$ e la soluzione della corrispondente relazione di ricorrenza omogenea è
$q_n=q_0\cdot 1^n=q_0$
Una soluzione particolare della relazione completa è
$q_n=n^1\left(A+Bn\right)=An+Bn^2$
ovvero $An+Bn^2=q_{n-1}-3n+2$.
Per $n\in\left\{1,2,3\right\}$ abbiamo
$\left\{\begin{array}{lC}A+B=q_0-1\\2A+4B=q_0-5\\3A+9B=q_0-12\end{array}\right.$
Posto in forma matriciale il sistema è
$\left(\begin{array}{cC}1&1&-1\\2&4&-1\\3&9&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cC}A\\B\\q_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cC}-1\\-5\\-12\end{array}\right)$
ovvero
$\left(\begin{array}{cC}A\\B\\q_0\end{array}\right)=-\frac12\left(\begin{array}{cC}5&-8&3\\-1&2&-1\\6&-6&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cC}-1\\-5\\-12\end{array}\right)$
cioè
$\left\{\begin{array}{lC}\displaystyle A=-\frac{-5+40-36}2=\frac12\\\displaystyle B=-\frac{1-10+12}2=-\frac32\\\displaystyle q_0=-\frac{-6+30-24}2=0\end{array}\right.$
La soluzione particolare
$\displaystyle q_n=\frac{n-3n^2}2$
va sommata alla soluzione della relazione omogenea per ottenere la soluzione generale
$\displaystyle q_n=q_0+\frac{n-3n^2}2$
cui corrisponde il polinomio
$\displaystyle P\left(x\right)=k+\frac{x-3x^2}2$
il panurgo
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Re: Nocciolina con carta e penna
Sono incantato dalle tue soluzioni.panurgo ha scritto: ↑sab gen 16, 2021 5:12 pmLa risposta a b) la troviamo generalizzando
$\begin{array}{rclrC}
P\left(x\right)&=&ax^2+bx+c&\quad-\\
P\left(x+1\right)&=&ax^2+2ax+a+bx+b+c&\quad=\\
\hline
P\left(x\right)-P\left(x+1\right)&=&-2ax-a-b&
\end{array}$
...
(al posto di un differenziale abbiamo una differenza, al posto di un integrale indefinito un polinomio indefinito...)
In effetti io avevo percorso questa strada ma in modo assolutamente rozzo.
Avevo pensato alle differenze (espresse da una funzione di primo grado) come a una specie di derivata di cui avevo calcolato una specie di integrale indefinito per poi sistemare le cose con aggiustamenti per tentativi ragionati supponendo che la funzione di secondo grado fosse una parabola.
Una domanda (spero non troppo ingenua):
Nella tua generalizzazione, come fai a stabilire subito che la funzione è quella di una parabola ($P(x)=ax^2+bx+c$)?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Nocciolina con carta e penna
Se fosse stato un polinomio di primo grado non avresti avuto la $x$ nella differenza
$\begin{array}{rclrC}
P\left(x\right)&=&bx+c&\quad-\\
P\left(x+1\right)&=&bx+b+c&\quad=\\
\hline
P\left(x\right)-P\left(x+1\right)&=&-b&
\end{array}$
Allo stesso modo, se il polinomio fosse stato di terzo grado nella differenza avresti avuto un termine in $x^2$.
Ciò detto, consideriamo
$\displaystyle\frac{P\left(x+\Delta x\right)-P\left(x\right)}{\Delta x}=\frac{a\left(x+\Delta x\right)^2+b\left(x+\Delta x\right)+c-ax^2-bx-c}{\Delta x}=2ax+a\Delta x+b$
e, anzichè passare al limite per $\Delta x\to 0$, poniamo $\Delta x=1$: la tua analogia con l'integrazione non è così sbagliata...
$\begin{array}{rclrC}
P\left(x\right)&=&bx+c&\quad-\\
P\left(x+1\right)&=&bx+b+c&\quad=\\
\hline
P\left(x\right)-P\left(x+1\right)&=&-b&
\end{array}$
Allo stesso modo, se il polinomio fosse stato di terzo grado nella differenza avresti avuto un termine in $x^2$.
Ciò detto, consideriamo
$\displaystyle\frac{P\left(x+\Delta x\right)-P\left(x\right)}{\Delta x}=\frac{a\left(x+\Delta x\right)^2+b\left(x+\Delta x\right)+c-ax^2-bx-c}{\Delta x}=2ax+a\Delta x+b$
e, anzichè passare al limite per $\Delta x\to 0$, poniamo $\Delta x=1$: la tua analogia con l'integrazione non è così sbagliata...
PS: sembro molto più sicuro di me di quanto non sia
il panurgo
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Re: Nocciolina con carta e penna
Gianfranco ha scritto: ↑gio gen 14, 2021 11:40 pm...sono andato a vedere su YT la soluzione proposta dall'autore: era la stessa, ma trovata con una strategia mooolto diversa, secondo me.
Gianfranco che tipo di risoluzione ha proposto l'autore di questo problema?
(Bruno)
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