Nocciolina con carta e penna

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Gianfranco
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Nocciolina con carta e penna

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
"
di solito il mio primo approccio è con carta e penna...
"
Ecco un problemino che anch'io mi sono gustato con carta e penna. L'ho trovato su FB.
---
$P(x)$ è un polinomio nella variabile $x$ tale che:
$P(x)-P(x+1)=3x+1$
a) Quanto vale $P(3)-P(1)$?
b) Si può scrivere l'espressione del polinomio?
---
La cosa che mi ha sorpreso di questo problema è che l'ho risolto usando una certa strategia approvata anche dalla penna.
Poi sono andato a vedere su YT la soluzione proposta dall'autore: era la stessa, ma trovata con una strategia mooolto diversa, secondo me.
Mi piacerebbe vedere le vostre strategie.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: Nocciolina con carta e penna

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
gio gen 14, 2021 11:40 pm
Mi piacerebbe vedere le vostre strategie.


Primo passo: P(3) - P(1) ?

A freddo, farei:
P(0) - P(1) = 1,
P(1) - P(2) = 4,
P(2) - P(3) = 7;

sommo mam le ultime due eguaglianze:
P(1) - P(3) = 11;

quindi:
p(3) - P(1) = -11.

Secondo passo: P(x) ?

Andando avanti per quella via:
P(0) - P(1) = 1,
P(1) - P(2) = 4,
P(2) - P(3) = 7,
···
P(x-1) - P(x) = 3·(x - 1) + 1,

e, sommando mam:
P(0) - P(x) = 1 + 4 + 7 + ··· + 3·(x - 1) + 1.

L'espressione a destra si calcola molto facilmente, anche con carta e penna, e vale:
½·x·(3·x - 1) [ha la forma di un numero pentagonale].

Pertanto, se k è una costante, posto P(0) = k:
P(x) = k - ½·x·(3·x - 1).


Direi così.
(Bruno)

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Gianfranco
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Re: Nocciolina con carta e penna

Messaggio da Gianfranco »

Perfetto Bruno, grazie.
Molto "elegante" la strategia per la domanda b).
In realtà la domanda b) non c'era nella versione originale su FB, l'ho aggiunta io.

La mia strategia per la prima parte è stata questa (dal generale al particolare).
$P(x)-P(x+1)=3x+1$
$P(x+1)-P(x+2)=3x+4$
Sommo mam
$P(x)-P(x+2)=6x+5$

Per x=1
$P(1)-P(3)=6+5=11$
da cui:
$P(3)-P(1)=-11$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
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Re: Nocciolina con carta e penna

Messaggio da panurgo »

La risposta ad a) è

$\begin{array}{lrC}
P\left(1\right)-P\left(2\right)=4&\quad+\\
P\left(2\right)-P\left(3\right)=7&\quad=\\
\hline
P\left(1\right)-P\left(3\right)=11&
\end{array}$

quindi $P\left(3\right)-P\left(1\right)=-11$.

La risposta a b) la troviamo generalizzando

$\begin{array}{rclrC}
P\left(x\right)&=&ax^2+bx+c&\quad-\\
P\left(x+1\right)&=&ax^2+2ax+a+bx+b+c&\quad=\\
\hline
P\left(x\right)-P\left(x+1\right)&=&-2ax-a-b&
\end{array}$

Perché sia $-2ax-a-b=3x+1$ deve essere

$\left\{\begin{array}{lC}
-2a=3\\
-a-b=1
\end{array}\right.
\qquad\Longrightarrow\qquad
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle a=-\frac32\\
\displaystyle b=\frac12
\end{array}\right.$

Nulla si può dire di $c$ quindi

$\displaystyle P\left(x\right)=-\frac32x^2+\frac12x+c$

(al posto di un differenziale abbiamo una differenza, al posto di un integrale indefinito un polinomio indefinito...)
il panurgo

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panurgo
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Re: Nocciolina con carta e penna

Messaggio da panurgo »

In alternativa possiamo riarrangiare l’equazione per ottenere

$P\left(x+1\right)=P\left(x\right)-3x-1$

ovvero

$P\left(x\right)=P\left(x-1\right)-3x+2$

Definiamo la relazione di ricorrenza

$\left\{\begin{array}{lC}q_n=q_{n-1}-3n+2\\q_0\end{array}\right.$

con $q_0$ indeterminato. L’equazione caratteristica $r-1=0$ ha radice $r=1$ e la soluzione della corrispondente relazione di ricorrenza omogenea è

$q_n=q_0\cdot 1^n=q_0$

Una soluzione particolare della relazione completa è

$q_n=n^1\left(A+Bn\right)=An+Bn^2$

ovvero $An+Bn^2=q_{n-1}-3n+2$.
Per $n\in\left\{1,2,3\right\}$ abbiamo

$\left\{\begin{array}{lC}A+B=q_0-1\\2A+4B=q_0-5\\3A+9B=q_0-12\end{array}\right.$

Posto in forma matriciale il sistema è

$\left(\begin{array}{cC}1&1&-1\\2&4&-1\\3&9&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cC}A\\B\\q_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cC}-1\\-5\\-12\end{array}\right)$

ovvero

$\left(\begin{array}{cC}A\\B\\q_0\end{array}\right)=-\frac12\left(\begin{array}{cC}5&-8&3\\-1&2&-1\\6&-6&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cC}-1\\-5\\-12\end{array}\right)$

cioè

$\left\{\begin{array}{lC}\displaystyle A=-\frac{-5+40-36}2=\frac12\\\displaystyle B=-\frac{1-10+12}2=-\frac32\\\displaystyle q_0=-\frac{-6+30-24}2=0\end{array}\right.$

La soluzione particolare

$\displaystyle q_n=\frac{n-3n^2}2$

va sommata alla soluzione della relazione omogenea per ottenere la soluzione generale

$\displaystyle q_n=q_0+\frac{n-3n^2}2$

cui corrisponde il polinomio

$\displaystyle P\left(x\right)=k+\frac{x-3x^2}2$
il panurgo

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Re: Nocciolina con carta e penna

Messaggio da Gianfranco »

panurgo ha scritto:
sab gen 16, 2021 5:12 pm
La risposta a b) la troviamo generalizzando

$\begin{array}{rclrC}
P\left(x\right)&=&ax^2+bx+c&\quad-\\
P\left(x+1\right)&=&ax^2+2ax+a+bx+b+c&\quad=\\
\hline
P\left(x\right)-P\left(x+1\right)&=&-2ax-a-b&
\end{array}$
...
(al posto di un differenziale abbiamo una differenza, al posto di un integrale indefinito un polinomio indefinito...)
Sono incantato dalle tue soluzioni.
In effetti io avevo percorso questa strada ma in modo assolutamente rozzo.
Avevo pensato alle differenze (espresse da una funzione di primo grado) come a una specie di derivata di cui avevo calcolato una specie di integrale indefinito per poi sistemare le cose con aggiustamenti per tentativi ragionati supponendo che la funzione di secondo grado fosse una parabola.
Una domanda (spero non troppo ingenua):
Nella tua generalizzazione, come fai a stabilire subito che la funzione è quella di una parabola ($P(x)=ax^2+bx+c$)?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
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Re: Nocciolina con carta e penna

Messaggio da panurgo »

Se fosse stato un polinomio di primo grado non avresti avuto la $x$ nella differenza

$\begin{array}{rclrC}
P\left(x\right)&=&bx+c&\quad-\\
P\left(x+1\right)&=&bx+b+c&\quad=\\
\hline
P\left(x\right)-P\left(x+1\right)&=&-b&
\end{array}$

Allo stesso modo, se il polinomio fosse stato di terzo grado nella differenza avresti avuto un termine in $x^2$.

Ciò detto, consideriamo

$\displaystyle\frac{P\left(x+\Delta x\right)-P\left(x\right)}{\Delta x}=\frac{a\left(x+\Delta x\right)^2+b\left(x+\Delta x\right)+c-ax^2-bx-c}{\Delta x}=2ax+a\Delta x+b$

e, anzichè passare al limite per $\Delta x\to 0$, poniamo $\Delta x=1$: la tua analogia con l'integrazione non è così sbagliata...
panurgo ha scritto:
sab gen 16, 2021 5:12 pm
(al posto di un differenziale abbiamo una differenza, al posto di un integrale indefinito un polinomio indefinito...)
PS: sembro molto più sicuro di me di quanto non sia :wink:
il panurgo

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Re: Nocciolina con carta e penna

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
gio gen 14, 2021 11:40 pm
...sono andato a vedere su YT la soluzione proposta dall'autore: era la stessa, ma trovata con una strategia mooolto diversa, secondo me.

Gianfranco :D che tipo di risoluzione ha proposto l'autore di questo problema?
(Bruno)

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