6ⁿ per 625.

[Bruno]

Il matematico Domenico Annunziata è l'autore di un libro non ancora disponibile nelle librerie (credo), che tempo fa ho ricevuto in copia e apprezzato: si tratta de "Il segreto dei numeri e le equazioni diofantee".

In alcuni "social" egli propone vari problemi, a volte relativamente semplici, a volte molto impegnativi.

Nello spirito evocato da Pasquale e Peppe, ne riporto uno senza pretese ma simpatico

Dimostrare che se x = 6ⁿ, con n numero naturale arbitrario, allora il polinomio P(x) = 24·x⁴ + 154·x³ + 269·x² +154·x + 24 è divisibile per 625.

Naturalmente, tutti possono dir la propria

[Gianfranco]

Secondo me, Domenico, con questo problema ha fatto uno scherzo.
Infatti, poiché:
$
24 {{x}^{4}}+154 {{x}^{3}}+269 {{x}^{2}}+154 x+24=\left( x+4\right) \, \left( 2 x+3\right) \, \left( 3 x+2\right) \, \left( 4 x+1\right) $
Si ha che per QUALUNQUE $x$ tale che $x \mod 5 =1$, il polinomio assume un valore divisibile per $625$.
Quindi, anche per $x=6^n$.
Salvo errori od omissioni.

[Bruno]

Touché

Grazie, Gianfranco!

[Bruno]

Ben altra faccenda, ma non certo insormontabile, è formulare i valori di x per i quali P(x) sia un multiplo di 11, magari dopo aver cambiato il segno di 154·x³

[peppe]

Gianfranco ha scritto: Si ha che per QUALUNQUE x tale che x mod5=1 , il polinomio assume un valore divisibile per 625

Ho sostituito nella:
$\left( x+4\right) \, \left( 2 x+3\right) \, \left( 3 x+2\right) \, \left( 4 x+1\right)$
i valori 6, 36 e 126 (che sono congrui di 1 modulo 5) e ho constatato che effettivamente i prodotti ottenuti:
75.000, 47.520.000 e 53.807.325.000
sono tutti divisibili per 625, però non riesco a capire perché.

L'unica cosa che mi fa pensare al 5 è il fatto che nelle 4 parentesi, la somma del coefficiente della x con
il termine noto è sempre uguale a 5. Mi spiego meglio:
(x+4)--->1+4=5
(2x+3)-->2+3=5
(3x+2)-->3+2=5
(4x+1)-->4+1=5

Però non capisco da dove salta fuori il 625.

[Info]

sostituisci al posto di x 5n+1 e vedrai che puoi raccogliere il 625

[franco]

Io ho ragionato così partendo dalla formulazione $\left( x+4\right) \, \left( 2 x+3\right) \, \left( 3 x+2\right) \, \left( 4 x+1\right)$:

Essendo che tutte le potenze di $6$ sono numeri che terminano con la cifra $6$ sarà $x=...6$ e quindi la formula può essere scritta anche come
$\left( ...6+4\right) \, \left( ...2+3\right) \, \left( ...8+2\right) \, \left( ...4+1\right)$
e quindi
$\left( ...0\right) \, \left( ...5\right) \, \left( ...0\right) \, \left( ...5\right)$

Ogni termine fra parentesi,avendo ultima cifra $0$ o $5$, è sicuramente multiplo di $5$ quindi il prodotto dei quattre termini è multiplo di $5^4=625$

Forse non è tanto rigorosa ma mi sembra che funzioni

[Bruno]

Grazie, Franco, ottimo

(Sono queste le cose che mi piacciono di più: intuitive, non meccaniche, in un certo modo immediate )

[Gianfranco]

Ben altra faccenda, ma non certo insormontabile, è formulare i valori di x per i quali P(x) sia un multiplo di 11, magari dopo aver cambiato il segno di 154·x³

Bruno, visto che 154 è multiplo di 11, cambiargli il segno non cambia le cose.
$24 {{x}^{4}}-154 {{x}^{3}}+269 {{x}^{2}}+154 x+24 \equiv 24 {{x}^{4}}+269 {{x}^{2}}+24 \mod 11$

@Peppe, mi sembra che i commenti di Info e Franco abbiano risposto alla tua domanda. Se hai ancora dubbi, non esitare a chiedere chiarimenti.

[Gianfranco]

Cari amici e Bruno, chiedo scusa se sembro un po' tecnicista, ma per motivi di tempo scrivo solo i passaggi essenziali senza raccontare il percorso. Sono consapevole che così non va bene.
Dunque, dicevo:
$24 {{x}^{4}}-154 {{x}^{3}}+269 {{x}^{2}}+154 x+24 \equiv 24 {{x}^{4}}+269 {{x}^{2}}+24 \mod 11$
$\equiv 2{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}+2 \mod 11$
$\equiv \left( {{x}^{2}}+2\right) \left( 2 {{x}^{2}}+1\right) \mod 11$
Concludendo:
$\left( {{x}^{2}}+2\right)$ è multiplo di 11 per
$x^2 \mod 11 = 9$
$x=3, 8, 14, 19, 25, 30, ...$ (tutti i numeri congruenti 3 oppure 8 modulo 11)
https://oeis.org/A299647

$\left( 2 {{x}^{2}}+1\right)$ è multiplo di 11 per
$x=4, 7, 15, 18, 26, 29, ...$ (tutti i numeri congruenti 4 oppure 7 modulo 11)
https://oeis.org/A281445
E guarda chi trovo: Bruno Berselli!
Grande Bruno!

[Bruno]

Tutto torna, infatti

Grande sei tu, Gianfranco, piuttosto

[Bruno]

Bruno, visto che 154 è multiplo di 11, cambiargli il segno non cambia le cose.

Certo, ma il pregio di considerare P(x) = (x+4)·(2·x+3)·(3·x+2)·(4·x+1), nella valutazione della divisibilità per 11, è quello di comprendere facilmente che 11 (o una sua potenza) migra fra i quattro fattori e solo uno di essi può essere un suo multiplo.


Ho cercato una formula un po' compatta per i valori di x che rendano P(x) divisibile per 11, eccola:
⅛∙(22∙n + 6∙i⁽ⁿ⁻¹⁾ⁿ + 7∙(-1)ⁿ + 11), nella quale i rappresenta l'unità immaginaria ed n ≥ 0 è un intero.
Essa ci permette di riunire entrambe le sequenze individuate da Gianfranco.

[peppe]

Vi ringrazio per l'attenzione ma ancora non riesco ad afferrare il senso delle spiegazioni che cortesamente mi avete fornito.
A dire il vero non riesco a capire neppure la scomposizione del polinomio di partenza nel prodotto dei quattro binomi,
anche in considerazione del fatto che 269 è un numero primo.

Tutto al più, la scomposizione del polinomio:
$24{{x}^{4}}+154 {{x}^{3}}+269 {{x}^{2}}+154 x+24$

riesco a farla solo così:

$24(x^4+1)+154x(x^2+1)+269x^2$

e ho potuto verificare che è giusta perché, data in "pasto" a WolfraAlpha,
mi restituisce la stessa sciomposizione di Gianfranco, che penso sia
stata ottenuta applicando la regola di Ruffini.

[peppe]

Probabilmente non riuscirò a capire la scomposizione, ma almeno una soddisfazione me la sono presa:
finalmente ho imparato come si costruisce una semplice tabella con il LaTex, a dispetto di tutti i file in
pdf, dedicati all'argomento, che ho consultato in rete, inutilmente perché quando li ho provati
sulle pagine del forum mi segnalavano un errore. Ora invece:

$\begin{array}{|l|l|l|C}
\hline
(x+4)&(1+4)&5\\
\hline
(2x+3)&(2+3)&5\\
\hline
(3x+2)&(3+2)&5\\
\hline
(4x+1)&(4+1)&5\\
\hline
\end{array}$

E questo grazie a Panurgo:
viewtopic.php?f=1&t=8404
---
P.S.
Questo è il codice che ho usato copiato dalla pagina segnalata,
con le opportune modifiche del caso.

[Bruno]

finalmente ho imparato come si costruisce una semplice tabella con il LaTex, a dispetto di tutti i file in pdf ...

In effetti, Peppe, prendere come riferimento chi ha più dimestichezza è sempre meglio.

Avevo due minuti di tempo e ho dato un'occhiata a questo tuo post. Così ho fatto un giro fra i siti dedicati all'argomento che proponi.
Ho visto che si trovano dei buoni spunti in rete, anche se è necessario aver presente qualche idea di base.
Per esempio: la differenza fra ambiente array (modalità soprattutto matematica) e ambiente tabular (simile, ma può essere usato in qualunque modalità).
Se qui incolli un codice con "tabular", il sistema ti dice "Unknown environment 'tabular'".

Da Luigi Carusillo ho copiato questa tabella, sostituendo "tabular" con "array" (che è poi simile a quella che tu hai riportato):

$\begin{array}{|l|c|r|}
\hline
a & aa & aaa\\
\hline
b & bb & bbb\\
\hline
c & cc & ccc\\
\hline
\end{array}$

e questo schema:

$\begin{array}{[email protected]{,}[email protected]{}}
123 & 45 +\\
678 & 90 =\\
\hline
802 & 35
\end{array}$

Mentre da un documento del Dipartimento di Matematica e Informatica di Trieste ho ricopiato il codice per una tabella del tipo seguente:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline
Nome & Cognome & Voto \\ \hline
Carlo & Rossi & 1 \\
Maria & Bianchi & 2 \\
Luo & Who & 3 \\
Sandra & Prato & 4 \\
Andrea & Monti & 5 \\ \hline
\end{array}$

e un codice per questa matrice (con poche modifiche):

$
\left(
\begin{array}{ccc}
\left|
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}
\right| & 3 & 4 \\
d & e & f \\
g & h & i \\
l & m & n
\end{array}
\right)
$


Di certo, il materiale di Guido è validissimo per il nostro forum e non richiede adeguamenti

Ho un'esperienza davvero minima con LATEX e qui finora mi sono limitato a scrivere (prevalentemente) delle formule.

Buon approfondimento