un anno raro

[delfo52]

In math.StackExchange, Ed Pegg ha notato che 2021 è la giustapposizione di due numeri consecutivi (20 e 21), ed è anche il prodotto di due primi consecutivi (43 e 47); si è chiesto se ci fosse qualche altro esempio. Robert Israel ha risposto dicendo che sì, ce n’è almeno un altro.
Temo che nessuno di noi sarà presente all'avvenimento

[peppe]

Fra 608 anni:

2627 = 37x71

Auguri di Buon Anno.

[delfo52]

ma 37 e 71 non sono consecutivi...

[Gianfranco]

Buon anno Enrico e Peppe!
C'è da notare anche che:
$43=21+22$
$47=23+24$
$2021=43 \cdot 47=(21+22)\cdot(23+24) $
Ma non è una proprietà molto originale perchè qualunque numero dispari si può scrivere come somma di due numeri consecutivi e se due numeri dispari differiscono di 4 unità allora questo giochetto riesce sempre.

[delfo52]

https://math.stackexchange.com/question ... 3-times-47

il link all'articolo e alle risposte

[peppe]

Enrico hai ragione.
Sono stato tratto in inganno dalla frase :
" 2021 è la giustapposizione di due numeri consecutivi (20 e 21) " , e l'anno 2627 è giusto solo a metà.
Chiedo scusa.

Contraccambio gli auguri a Gianfranco , che ringrazio anche per la regola che ha postato:
sarà pure banale, ma io non la conoscevo e la reputo curiosa.
Saluti.

[Bruno]

https://math.stackexchange.com/question ... 3-times-47

il link all'articolo e alle risposte

Fantastico, Enrico
Dall'ottimo Israel mi sarei aspettato qualcosa del genere --- oltre a essere un eccellente teorico dei numeri, è uno specialista di Maple.

[peppe]

Bruno ha scritto:

"Dall'ottimo Israel mi sarei aspettato qualcosa del genere".

E siccome io lo sento nominare per la prima volta, ho voluto verificare con Wolfram Alpha, sia la primalità dei due numeri, e
sia il risultato del loro prodotto. Effettivamente

891077215721081784886888257701070827

e

891077215721081784886888257701070829 sono primi

e il loro prodotto è:

891077215721081784886888257701070827 x 891077215721081784886888257701070829 =

794018604377235322848433897872605582794018604377235322848433897872605583

[delfo52]

e ci sono almeno un altro paio di numerini con questa "dote". Ma è ancora più difficile che siamo ancora al mondo quando ci arriveremo... (per quello bastava anche la soluzione semi-giusta di Peppe)

[Bruno]

Buon anno Enrico e Peppe!
C'è da notare anche che:
$43=21+22$
$47=23+24$
$2021=43 \cdot 47=(21+22)\cdot(23+24) $
Ma non è una proprietà molto originale perchè qualunque numero dispari si può scrivere come somma di due numeri consecutivi e se due numeri dispari differiscono di 4 unità allora questo giochetto riesce sempre.

En passant, facendo un passo laterale... mi sembra che 2021 sia il più piccolo dei semiprimi AB, formati da un numero pari di cifre (la parte A ha lo stesso numero di cifre della parte B), aventi per fattori due numeri primi consecutivi AB = pₑ·pₑ₊₁, con la proprietà messa in evidenza da Gianfranco e anche questa caratteristica: A+B è primo.

Dopo 2021, dovremmo avere i seguenti valori di sei cifre:
210677 = 457×461 = (228+229)·(230+231) e 210+677 = 887, il 154° numero primo;
378221 = 613×617 = (306+307)·(308+309) e 378+221 = 599, il 109° numero primo;
576077 = 757×761 = (378+379)·(380+381) e 576+77 = 653, il 119° numero primo, etc.

[Pasquale]

Vediamo un po' :

2021 è un numero dispari

20 e 21 sono 2 numeri ed inoltre sono anche 2 numeri consecutivi.

Quindi, 2(20+21)+2 = 84

Tuttavia, 5 corrisponde alla somma delle cifre di 2021 e pertanto 84+5 = 89

Ecco perché la somma di tutti i dispari fra 5 e 89 è uguale a

[peppe]

Ciao Pasquale, davvero curioso il tuo calcolo.
Ho verificato con Execel che la somma dei numeri dispari, da 5 a 85 compresi, è uguale a 2021 però non riesco a capire come ci sei arrivato.

[peppe]

In questi giorni sui social, ho avuto modo di leggere diverse "formule" relativo al calcolo dell'anno nuovo 2021, tipo:

$1^2+2^2+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3 $(che qualcuno ha scritto anche in forma compatta come somma di due sommatorie).

[peppe]

Ma le due che mi hanno stupito sono quella di Pasquale, e quella del Prof. Francesco Daddi, (vedi foto).

Praticamente entrano in gioco sia il 43, e sia il 47.

Il primo è ottenuto come somma tra 1 e il numero phi(49) di Eulero che è uguale a 42 .
Mentre il valore approssimato del 47 è ottenuto dallo sviluppo in frazione continua [6,1,5,1,12...] della frazione $\left(\frac {617}{90}\right)^2$. Infatti$ (617:90)^2 = 46,99(864197530)
$
$43*46,99(864197530)=2020,941(604938271)
$
Per la verifica della frazione continua ho utilizzato la calcolatrice che ho trovato qui:

http://www.robertobigoni.it/Matematica/ ... tinue.html

Ho trovato pure questo calcolo: $(2)^{11}-(3)^3 = 2048-27 = 2021$
e anche la trasformazione in differenza di quadrati del prodotto 43x47:
43X47 o in alternativa $(45-2)(45+2) = 45^2-2^2 = 2021$
---
Come si può notare, non sono riuscito ad inserire le immagini in linea col testo. Ci riproverò.

[Bruno]

Ho verificato con Execel che la somma dei numeri dispari, da 5 a 85 compresi, è uguale a 2021 però non riesco a capire come ci sei arrivato.

Il calcolo di Pasquale, caro Peppe, si può dimostrare in questo modo.
La somma di k numeri dispari consecutivi, a partire da 2·n+1, è uguale a k·(2·n+k).
Sommiamo, per esempio, tre numeri dispari iniziando da 5: 5+7+9 = 21 = 3·7. Ho scomposto il risultato in fattori perché così riconosci il numero degli addendi (3) e il divisore 2·n+k, cioè il predecessore del primo numero dispari più 3.

Alla formula k·(2·n+k), Peppe, puoi arrivare in vari modi, uno dei quali può essere quello di considerare una proprietà nota (sicuramente la conosci), che sintetizzo così:
1+3+5+7+9+ ··· +2·r+1 = (r+1)².
Una somma di k numeri dispari a partire da 2·n+1: (2·n+1)+[2·(n+1)+1]+[2·(n+2)+1]+ ··· +[2·(n+k-1)+1], può allora essere vista come differenza di due quadrati:
n² = 1+3+5+7+9+ ··· +2·n-1 e
(n+k)² = 1+3+5+7+9+ ··· +2·(n+k-1)+1,
da cui ottieni appunto k·(2·n+k) = (n+k)² - n².

Perché funziona il calcolo di Pasquale? Perché 2021 è un tipo di numero esprimibile come il prodotto di due fattori non unitari di uguale parità (entrambi pari o entrambi dispari) e in tale modo puoi intendere k·(2·n+k).
Anche 2020 = 10·202 = 2·1010 può essere scritto come somma di numeri dispari consecutivi (193+195+197+199+201+ ··· +211 = 1009+1011), mentre per l'anno prossimo questo non è possibile.

Mentre il valore approssimato del 47 è ottenuto dallo sviluppo in frazione continua [6,1,5,1,12...] della frazione ...

Nella formula di Francesco Daddi, Peppe, la frazione continua fornisce proprio $\small \;\sqrt{47}\;$ (di cui viene poi preso il quadrato) e non la frazione $\;\frac{617}{90}$, perché i numeri $ \small \;1, 5, 1, 12\;$ costituiscono un periodo, cioè si ripetono all'infinito



Spero di esser stato di qualche utilità, ancora auguri di buon anno.