Altezza e mediana

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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panurgo
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Altezza e mediana

Messaggio da panurgo »

n123.01.01.480x240.png
n123.01.01.480x240.png (8.96 KiB) Visto 492 volte
$\text{AD}$ e $\text{AE}$ sono rispettivamente altezza e mediana del triangolo $\text{ABC}$: dimostrare che, se gli angoli $\text{BAD}$ e $\text{CAE}$ sono congruenti, l’angolo $\text{BAC}$ è retto.
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franco
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Re: Altezza e mediana

Messaggio da franco »

Il triangolo ABC è retto in A; la sua mediana relativa all'ipotenusa misura quanto metà dell'ipotenusa stessa.
Quindi il triangolo AEC è isoscele e quindi gli angoli CAE e BCA sono congruenti.
D'altra parte il triangolo ABD è simile a ABC (entrambi rettangoli e con angolo comune in B), quindi l'angolo BAD è congruente a BCA.
Quindi CAE e BAD, entrambi congruenti e BCA, sono congruenti.
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panurgo
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Re: Altezza e mediana

Messaggio da panurgo »

Risposta corretta alla domanda sbagliata: se è vero che "se B allora A" questo non implica che sia vero "se A allora B". Devi dimostrare che $\text{ABC}$ è retto in $\text{A}$, non prenderlo come ipotesi.
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Gianfranco
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Re: Altezza e mediana

Messaggio da Gianfranco »

franco ha scritto:
mar dic 29, 2020 10:42 am
Il triangolo ABC è retto in A; la sua mediana relativa all'ipotenusa misura quanto metà dell'ipotenusa stessa.
Tu hai dimostrato:
(ABC retto in A) => (CAE = BAD)

Ma il problema chiede di dimostrare l'implicazione inversa, cioè:
(CAE = BAD) => (ABC retto in A)

Dimostrate entrambe, potremo usare il "se e solo se".

(Vedo che Panurgo ha risposto contemporaneamente)
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Altezza e mediana

Messaggio da franco »

Ho letto di fretta il testo (come spesso mi succede) e mi sono fatto un film sbagliato.
(mi sembrava troppo facile ...)

ciao

Franco
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Re: Altezza e mediana

Messaggio da Gianfranco »

franco ha scritto:
mar dic 29, 2020 10:57 am
Ho letto di fretta il testo (come spesso mi succede) e mi sono fatto un film sbagliato.
Stessa cosa è capitata a me, alla prima lettura veloce del problema.
Ma poi mi sono detto: "Non è possibile che Panurgo posti una cosa così facile... rileggiamo...".
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Altezza e mediana

Messaggio da panurgo »

Per la cronaca: io non lo ho ancora risolto. Di solito aspetto di conoscere la soluzione prima di postare ma Gianfranco dice che questi problemi gli piacciono, perciò... :wink:
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Re: Altezza e mediana

Messaggio da Gianfranco »

altezza_mediana.png
altezza_mediana.png (14.27 KiB) Visto 423 volte
Ho dovuto usare un po' di trigonometria, ma in modo geometrico/algebrico.

L'obiettivo finale è stato quello di dimostrare che AE=EC da cui discende che ABC è inscritto in una semicirconferenza, perciò è rettangolo in A.

1) Ho dato un nome (scritto in rosso) alle misure degli elementi segnalati nella figura.

2) Risulta che:
$\large \tan(a)=\frac{k}{h}$

$\large \tan(b)=\frac{x}{h}$

$\large \tan(b+y)=\frac{k+2x}{h}$

3) Tangente della somma
$\large \tan(a+b)=\frac{h(k+x)}{h^2-kx}$

4) Per ipotesi, deve essere a+b=b+y perciò tan(a+b)=tan(b+y) nell'intervallo possibile per a, b, y.
Perciò uguaglio:
$\Large \frac{h(k+x)}{h^2-kx}=\frac{k+2x}{h}$

Risolvendo l'equazione ottengo:
$\large x=\frac{{{h}^{2}}-{{k}^{2}}}{2 k}$

5) Uso il valore di x per calcolare ${AE}^2$ con Pitagora ed ${EC}^2$ per sostituzione
Ottengo:
$\large {AE}^2={EC}^2=\frac{{{\left( {{k}^{2}}+{{h}^{2}}\right) }^{2}}}{4 {{k}^{2}}}$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: Altezza e mediana

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Gianfranco :D
(Bruno)

...........................
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l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

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