Una questione di Bombelli
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Una questione di Bombelli
...
Si tratta del Problema CXLIX del Libro Terzo dell'Algebra di Rafael Bombelli,
che mi è capitato sotto gli occhi ieri sera.
Questo è il testo originale:
Trovinsi due cubi tali che la differenza loro sia eguale alla differenza de' lati loro.
Possiamo trattarlo alla maniera di Diofanto, cioè cercando delle soluzioni
razionali.
Riporto anche, a mo' di stimolo, un passo che Bombelli stesso premette al
terzo libro:
Però essorto il Lettore ad applicargli l'animo totalmente, che di non pensata
contentezza e giovamento gli sarà.
Si tratta del Problema CXLIX del Libro Terzo dell'Algebra di Rafael Bombelli,
che mi è capitato sotto gli occhi ieri sera.
Questo è il testo originale:
Trovinsi due cubi tali che la differenza loro sia eguale alla differenza de' lati loro.
Possiamo trattarlo alla maniera di Diofanto, cioè cercando delle soluzioni
razionali.
Riporto anche, a mo' di stimolo, un passo che Bombelli stesso premette al
terzo libro:
Però essorto il Lettore ad applicargli l'animo totalmente, che di non pensata
contentezza e giovamento gli sarà.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
la nostra algebra ci dice che
$a^{\script 3} - b^{\script 3} = \left(a - b\right)\left(a^{\script 2} +ab + b^{\script 2}\right)$
quindi, per rispondere al Bombelli bisogna che sia
$a^{\script 2} +ab + b^{\script 2}-1=0$
Risolvendo rispetto ad $a$ (rispetto a $b$ le cose non cambiano)
$a = \frac {- b + \sqrt {4 - 3b^{\script 2}}} 2$
perché $a$ sia un numero reale non negativo (è una lunghezza) deve essere
$- b + \sqrt {4 - 3b^{\script 2}} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 0 \leq b \leq 1$
Gli unici numeri interi che danno il risultato voluto son $0$ e $1$.
Oppure ho sbagliato tutto!
$a^{\script 3} - b^{\script 3} = \left(a - b\right)\left(a^{\script 2} +ab + b^{\script 2}\right)$
quindi, per rispondere al Bombelli bisogna che sia
$a^{\script 2} +ab + b^{\script 2}-1=0$
Risolvendo rispetto ad $a$ (rispetto a $b$ le cose non cambiano)
$a = \frac {- b + \sqrt {4 - 3b^{\script 2}}} 2$
perché $a$ sia un numero reale non negativo (è una lunghezza) deve essere
$- b + \sqrt {4 - 3b^{\script 2}} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 0 \leq b \leq 1$
Gli unici numeri interi che danno il risultato voluto son $0$ e $1$.
Oppure ho sbagliato tutto!
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
...no, tutto Ok, Panurgo!Panurgo ha scritto:Oppure ho sbagliato tutto!
La questione però dovrebbe essere risolta semplicemente in numeri razionali, come
ha fatto lo stesso Bombelli e come in questi casi faceva anche Diofanto (a cui il Bombelli
s'ispira).
(Bruno)
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sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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{Rudi Mathematici}
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{Rudi Mathematici}
Una soluzione elementare del bel problema di Bruno puo' essere la seguente.
Scambiando a e b con x e y (scusate la ridondanza ma se non vedo x e y
nel piano cartesiano mi si confondono le idee!!) l'equazione trovata da Panurgo
diventa :$x^2+xy+y^2=1$ che rappresenta un'ellisse di centro l'origine O e passante,ad esempio,per A(1,-1).
Intersechiamo allora la retta generica per A,di equazione y+1=m(x-1),con tale
curva ottenendo come ulteriore intersezione (vi risparmio i calcoli) il punto
variabile P(x,y) dove risulta:
$x=\frac{m^2+2m}{m^2+m+1},y=\frac{-2m-1}{m^2+m+1}$
Se ,come e' necessario, deve essere x,y>0 allora occorre che sia mx=3/7,y=5/7
m=-5/2--->x=5/19,y=16/19[/b]
ed e' facile verificare che tali numeri soddisfano la richiesta di R.Bombelli.
Chissa' come quest'ultimo l'avra' poi risolto!!
Leandro
Scambiando a e b con x e y (scusate la ridondanza ma se non vedo x e y
nel piano cartesiano mi si confondono le idee!!) l'equazione trovata da Panurgo
diventa :$x^2+xy+y^2=1$ che rappresenta un'ellisse di centro l'origine O e passante,ad esempio,per A(1,-1).
Intersechiamo allora la retta generica per A,di equazione y+1=m(x-1),con tale
curva ottenendo come ulteriore intersezione (vi risparmio i calcoli) il punto
variabile P(x,y) dove risulta:
$x=\frac{m^2+2m}{m^2+m+1},y=\frac{-2m-1}{m^2+m+1}$
Se ,come e' necessario, deve essere x,y>0 allora occorre che sia mx=3/7,y=5/7
m=-5/2--->x=5/19,y=16/19[/b]
ed e' facile verificare che tali numeri soddisfano la richiesta di R.Bombelli.
Chissa' come quest'ultimo l'avra' poi risolto!!
Leandro
...
Bell'approccio, Leandro!
Naturalmente, vedrei molto volentieri anche altre proposte
la metterò solo dopo le vostre (e la mia, sempre che la consideri ancora
in qualche modo meritevole, che cioè non sia uguale a una di quelle inviate).
Bruno
Bell'approccio, Leandro!
Naturalmente, vedrei molto volentieri anche altre proposte
...avevo già intenzione di passare allo scanner la soluzione di Bombelli, peròleandro ha scritto:Chissa' come quest'ultimo l'avra' poi risolto!!
la metterò solo dopo le vostre (e la mia, sempre che la consideri ancora
in qualche modo meritevole, che cioè non sia uguale a una di quelle inviate).
Bruno
(Bruno)
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{Rudi Mathematici}
Il procedimento di Pan mi pare esatto e se il discorso non è geometrico, allora è sufficiente imporre $4-3b^2\ge 0$, ovvero $-\frac{2}{3}\sqrt{3}\le b \le \frac{2}{3}\sqrt{3}$, da cui: $\text -\frac{sqrt{3}}{3}\le a\le \frac{sqrt{3}}{3}$.
L'unica differenza sta nel fatto che, in base al testo e per una maggiore comprensibilità da parte di eventuali lettori alle prime armi, sarei arrivato al procedimento di Panurgo, partendo da:
$a^3 - b^3 = a - b$, da cui:
$\frac {a^3 - b^3}{a - b} = 1$
$a^2 + ab + b^2 = 1$
$a^2 + ab + b^2 - 1 = 0$
Ai principianti occorre però dire che il procedimento di Pan è più elegante, perché inizia e conclude in due soli passaggi.
L'unica differenza sta nel fatto che, in base al testo e per una maggiore comprensibilità da parte di eventuali lettori alle prime armi, sarei arrivato al procedimento di Panurgo, partendo da:
$a^3 - b^3 = a - b$, da cui:
$\frac {a^3 - b^3}{a - b} = 1$
$a^2 + ab + b^2 = 1$
$a^2 + ab + b^2 - 1 = 0$
Ai principianti occorre però dire che il procedimento di Pan è più elegante, perché inizia e conclude in due soli passaggi.
Ultima modifica di Pasquale il ven mar 24, 2006 5:15 pm, modificato 1 volta in totale.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Approfitto del suggerimento di leandro per visualizzare come non ci siano che due soluzioni intere (che dovessero esser tali mi è stato suggerito da Diofanto).
Ovviamente, le soluzioni razionali sono infinite...
Ovviamente, le soluzioni razionali sono infinite...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
...certo, Pasquale, la correttezza dell'approccio di Panurgo è fuori discussione.Pasquale ha scritto:Il procedimento di Pan mi pare esatto (...) Ai principianti occorre però dire che il procedimento di Pan è più elegante, perché inizia e conclude in due soli passaggi.
Ed è pure elegante, non ci piove. Anche se penso che quest'ultimo aspetto possa
dipendere da molti fattori, non solo dal numero dei passaggi eseguiti (per esempio,
può avere a che fare con il tipo del ragionamento applicato, con le idee utilizzate etc.).
A me è capitato di vedere metodi risolutivi senz'altro meno brevi di altri, ma che
ai miei occhi sono apparsi comunque più interessanti e, in un certo senso, più
eleganti. Comunque questo è solo un mio punto di vista e certi concetti sono
decisamente al di là della mia portata (e non potrei mai trattarli di fronte ai principianti,
essendo io stesso un principiante).
Mi ha fatto però piacere vedere anche il procedimento di Leandro (che peraltro ha
fornito le formule finali dei due numeri richiesti) per come ha interpretato la questione.
Una piccola nota. Oggi si usa chiamare "equazione diofantea o diofantina" una
relazione (anche indeterminata, cioè con infinite soluzioni) che sia risolvibile in
numeri interi. Diofanto, tuttavia, nei suoi problemi si preoccupava piuttosto di
trovare delle soluzioni razionali, e così ha fatto anche lo stesso Bombelli in diversi
punti della sua Algebra. La ricerca delle soluzioni intere delle equazioni, quindi, non
ha caratterizzato il lavoro di Diofanto, anche se i matematici posteriori hanno ideato
su certi suoi problemi alcune potenti proprietà della Teoria dei Numeri.
Altre proposte?
Un saluto a tutti!
(Bruno)
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X Panurgo
anzichè imageShack è possibile utilizzare l'account http://www.base5images.altervista.org;
per i dettagli vedi qui
si fa prima, ed inoltre abbiamo le immagini tutte su di un account.
Ciao
Admin
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Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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...
Sto preparando le immagini della soluzione di Bombelli.
Intanto ne approfitto per riportare il mio procedimento.
Parto dall'equazione a cui è giunto Panurgo, ipotizzando
perciò che sia $\,{\small a\,\neq\,b}\,$:
$a^2+ab+b^2 = 1$ (*)
e la trasformo in questa:
$(a+b)^2-ab = 1$,
ossia:
$ab = (a+b-1)(a+b+1)\,$
con $\,{\small a+b\,\neq\,\pm1\,,}\,$ quindi trascuro i valori nulli per $\,a\,$ e $\,b\,$.
A questo punto considero:
$\frac{a}{a+b-1} = \frac{a+b+1}{b} = k\,$,
dove $\,k\,$ è un numero razionale diverso da 0.
Con semplici passaggi, allora, posso esprimere $\,a\,$ e $\,b\,$
attraverso $\,k\,$:
$\{a = \frac{k(k-2)}{k^2-k+1}\\b = \frac{2k-1}{k^2-k+1}\, ,$
per $k$ diverso sia da ½ che da 2.
Nel campo dei numeri razionali, lo si dimostra facilmente,
il denominatore di queste frazioni è sempre positivo.
Posso scrivere, inoltre, la seguente identità:
$\[\frac{k(k-2)}{k^2-k+1}\]^{\small 3}-\[\frac{2k-1}{k^2-k+1}\]^{\small 3} = \frac{k(k-2)}{k^2-k+1}-\frac{2k-1}{k^2-k+1}\,$,
la quale, fra l'altro, permette di trovare infinite soluzioni
intere anche per l'equazione diofantea indeterminata:
$x^2+xy+y^2 = z^2$.
^.^.^.^.^
Se volessi (o volassi?) prendere $\,a\,>\,b\,>\,0\,$ e $\,k\,>\,0\,$ ,
otterrei:
per $\; a\,>\,b\,:\;\;k^2-2k\,>\,2k-1\,\to\,(k-1)^2-2(k-1)\,>\,2\,\to\,(k-2)^2\,>\,3\,$,
per $\;b\,>\,0\,:\;\;\frac{k(k-2)}{k^2-k+1}\,>\,0\,\to\,k\,>\,2\,$,
e dunque:
$(k-2)^2\,>\,3\,\to\,k\,>\,2+\sqrt{3}$.
Due esempi:
$k = \frac{15}{4}\,\to\,\{a = \frac{105}{181}\\b = \frac{104}{181}\;$, quindi: $\;\(\frac{105}{181}\)^3-\(\frac{104}{181}\)^3=\frac{105}{181}-\frac{104}{181}$
$k = 5\,\to\,\{a = \frac{5}{7}\\b = \frac{3}{7}\;$, quindi: $\;\(\frac{5}{7}\)^3-\(\frac{3}{7}\)^3=\frac{5}{7}-\frac{3}{7}$
>Se&o
(Bruno)
....................
(*) Per la ricerca delle eventuali soluzioni intere di questa relazione,
si potrebbero esaminare le seguenti sue forme: (a+b)²-ab=1 e
(a-b)²+3ab=1, utilizzando la prima quando a e b non siano
contemporaneamente positivi o negativi, o uno di essi sia nullo, e
ricorrendo alla seconda nelle altre eventualità.
E' immediato rendersi conto che la seconda forma, cioè con a e b
entrambi positivi o negativi, non può portare a soluzioni intere. Mentre
la prima impone di cercare, innanzitutto, i quadrati non maggiori di 1,
ossia 0 e 1 stesso. Pertanto, per a>b, l'unica soluzione intera non
negativa dell'equazione è (a,b)=(1,0).
Esistono naturalmente delle altre soluzioni intere, anche relative, dove
comunque |a| e |b| < 2.
Sto preparando le immagini della soluzione di Bombelli.
Intanto ne approfitto per riportare il mio procedimento.
Parto dall'equazione a cui è giunto Panurgo, ipotizzando
perciò che sia $\,{\small a\,\neq\,b}\,$:
$a^2+ab+b^2 = 1$ (*)
e la trasformo in questa:
$(a+b)^2-ab = 1$,
ossia:
$ab = (a+b-1)(a+b+1)\,$
con $\,{\small a+b\,\neq\,\pm1\,,}\,$ quindi trascuro i valori nulli per $\,a\,$ e $\,b\,$.
A questo punto considero:
$\frac{a}{a+b-1} = \frac{a+b+1}{b} = k\,$,
dove $\,k\,$ è un numero razionale diverso da 0.
Con semplici passaggi, allora, posso esprimere $\,a\,$ e $\,b\,$
attraverso $\,k\,$:
$\{a = \frac{k(k-2)}{k^2-k+1}\\b = \frac{2k-1}{k^2-k+1}\, ,$
per $k$ diverso sia da ½ che da 2.
Nel campo dei numeri razionali, lo si dimostra facilmente,
il denominatore di queste frazioni è sempre positivo.
Posso scrivere, inoltre, la seguente identità:
$\[\frac{k(k-2)}{k^2-k+1}\]^{\small 3}-\[\frac{2k-1}{k^2-k+1}\]^{\small 3} = \frac{k(k-2)}{k^2-k+1}-\frac{2k-1}{k^2-k+1}\,$,
la quale, fra l'altro, permette di trovare infinite soluzioni
intere anche per l'equazione diofantea indeterminata:
$x^2+xy+y^2 = z^2$.
^.^.^.^.^
Se volessi (o volassi?) prendere $\,a\,>\,b\,>\,0\,$ e $\,k\,>\,0\,$ ,
otterrei:
per $\; a\,>\,b\,:\;\;k^2-2k\,>\,2k-1\,\to\,(k-1)^2-2(k-1)\,>\,2\,\to\,(k-2)^2\,>\,3\,$,
per $\;b\,>\,0\,:\;\;\frac{k(k-2)}{k^2-k+1}\,>\,0\,\to\,k\,>\,2\,$,
e dunque:
$(k-2)^2\,>\,3\,\to\,k\,>\,2+\sqrt{3}$.
Due esempi:
$k = \frac{15}{4}\,\to\,\{a = \frac{105}{181}\\b = \frac{104}{181}\;$, quindi: $\;\(\frac{105}{181}\)^3-\(\frac{104}{181}\)^3=\frac{105}{181}-\frac{104}{181}$
$k = 5\,\to\,\{a = \frac{5}{7}\\b = \frac{3}{7}\;$, quindi: $\;\(\frac{5}{7}\)^3-\(\frac{3}{7}\)^3=\frac{5}{7}-\frac{3}{7}$
>Se&o
(Bruno)
....................
(*) Per la ricerca delle eventuali soluzioni intere di questa relazione,
si potrebbero esaminare le seguenti sue forme: (a+b)²-ab=1 e
(a-b)²+3ab=1, utilizzando la prima quando a e b non siano
contemporaneamente positivi o negativi, o uno di essi sia nullo, e
ricorrendo alla seconda nelle altre eventualità.
E' immediato rendersi conto che la seconda forma, cioè con a e b
entrambi positivi o negativi, non può portare a soluzioni intere. Mentre
la prima impone di cercare, innanzitutto, i quadrati non maggiori di 1,
ossia 0 e 1 stesso. Pertanto, per a>b, l'unica soluzione intera non
negativa dell'equazione è (a,b)=(1,0).
Esistono naturalmente delle altre soluzioni intere, anche relative, dove
comunque |a| e |b| < 2.
Ultima modifica di Bruno il lun apr 03, 2006 1:12 pm, modificato 1 volta in totale.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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{Rudi Mathematici}
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...
E questa è la risoluzione di R. Bombelli del problema proposto
........................................................................................................................................
Le porzioni provengono da L'Algebra - Opera di Rafael Bombelli da Bologna, Prima edizione integrale
(B.S.F., Feltrinelli Editore Milano, 1966)
E questa è la risoluzione di R. Bombelli del problema proposto
........................................................................................................................................
Le porzioni provengono da L'Algebra - Opera di Rafael Bombelli da Bologna, Prima edizione integrale
(B.S.F., Feltrinelli Editore Milano, 1966)
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